晶格振动部分习题参考解答
9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为
a/2，求在q=0,q=
a
π
处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m ____________________________________________________
→←
→←
2
2
a
a 解：已知 21
)cos 2(12122212
12
qa m
m
A ββββββω++-
+=
(1) 21
)cos 2(12122212
12
0a m
m
ββββββω++-
+= (2) 由题意 2＝10
1＝10
代入（1）式
得
21
)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-=
=21
)cos 20101(11qa m
m +-ββ
=
[]2
1)cos 20101(11qa m
+-β
当q=0时 0)1111(0
2=-==m
q A
β
ω 当q=a
π时 m
m
a
q A β
β
ωπ2)911(2
=
-=
= 把
2=10
1=10
代入（2）式
得 []2
1)cos 20101(1120qa m
++β
ω＝
当q=0时 m q βω220
2
== 时a
q π±= m
a
q β
ωπ
202
0=
= 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=
0－Aq 2
（A
0），求证光学波
频率分布函数(格波密度函数)为：g()=
∑
-=)
1(31
s i 24πV
2
321
)(0A
i ωω- i ω≤0
g()=0 i ω>0
证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为
g (i ω)d i ω=
q d d V
i
i i
τπωωω
?+3
)2(
由题意可知在长波极限下等频率面为球面 则 g(i ω)d i ω=
dq q V
23
4)
2(ππ 当i ω0ω≤时 因为 q 2＝
A
q i )
(0ωω－ A
q q i )
(0ωω-=
dq=－
[]
2
1
2
1)(2)(0q A q d i i ωωω-
所以 g(i ω)=2
121)(21
4)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321
204)(A
V i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值
而当i ω>0ω时 因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)
所以 上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则 则 g(i ω)=0 又因为 三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波
所以 光学波频率分布函数为： g 2
32
1
2
03
31
4)()(A
V i S i πωωω-=
∑
-= i ω≤0ω
g(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长L ＝Na ，a 为原子间距，N 为原子数，在a
π
－ π ≤ 区域内q 只 能取N 个值，dq 间距内的格波数为 f(q)dq= dq L dq Na dq a N π ππ222== 色散关系为 2 sin 4qa m βω= (1) )cos 1(22 qa m -=β ω=22 m ω(1-cosqa) (2) 其中 m = 2 1)4( m β 由于对应于q, 取相同的值，（色散关系的对称性〕，则d 区间的格波数为 g()d ＝2dq d Nad dq Na ωπω π= ? 2 (3) 由色散关系（2）可得： 2 d =2 2 a m ωsinqa dq qa a qa a dq d m m 222cos 14sin 4-==ωωωωω=22 2 ωω-m a 代入(3)可得： g()= 2 2 2ω ωπ-m N (4) (2)在德拜模型下，色散关系为线性 ＝p q p dq d υω =代入(3)式 得； g()= p p L Na πυπυ= (5) 则零点能为： E 零＝ωωπυωωωωωd L d g p D D 22 1 )(0 η η? ? = ? = p D L πυω42 η (6) 又因为 N L d L d g p D p D D == = ? ? πυωωπυωωωω0 )( 得： π ωυN L D p = (7) 代入（6）式 得： E 零=a N Q K N N D B d 444ρυπωηη== 12试用平均声子数n ＝（1)1--KT e ωη证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为KT ； 当T < 3 )D Q T 。 解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则很低对满足 T k B ω η<<1的格波 把T B K w e η泰勒展开，只取到一次项T B K w e η－1≈（1＋ T k w B η）－1＝T k w B η， 平均声子数n ＝（1)1--KT e ω η，＝所以而属于该格波的声子能量为 T k n B ≈ 当T <<θD 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（3－72） g(w)= 23 2 23ωυπρ V 只有≤ η T k B 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为： ωωd g A T B K )(0 ? η ＝ ＝ 3 3 2)( 2η T k V B ρ υπ 由上已知，此时格波平均能量为K B T 则晶格热容可表示为 ??? ??????? T k T k V T C B B V )(232ηρυπ＝ ＝3 3324 2T vk B η ρυπ 把（3－75）式 ρυπω3 1)6(2 V N D ＝ 及 D B D Q K ＝ωη代入整理为： C v ＝12NK B 3 )( D Q T 所以晶格比热正比于（ 3 )D Q T 得证 13.对于金刚石、Zns 、单晶硅、金属Cu 、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数 金刚石 Zns Si Cu 一维三原子晶格 初基元胞内原子数 2 2 2 1 3 初基元胞内自由度数 6 6 6 3 3 格波支数 6 6 6 3 3 声学波支数 3 3 3 3 1 光学波支数 3 3 3 0 2 14.证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T . ω η 证：在极低温度下，可用德拜模型，q 点密度为π 2L g ρυω＝ d 区间格波数为 g()d ＝2ωπυωππρ d L d dq L wq dw ＝12=? 所以格波密度函数g()＝ ρ πυL 只有η T k B ≤ 的格波才能被激发，已激发的格波数为； A ＝ η η T k L d g B T K B ? ? ρ πυωω＝ )(/0 由第12题已证，在极低温度下，一维单 式格子主要是长声波激发对满足 kT ω η<<1的格 波能量为K B T 。则晶格热容为 T LK T K T LK T C B B B V ρρυππυηη22＝＝ ??? ???????? 即热容正比于T 。 15.NaCl 和KCl 具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K 和230K 。KCl 在5K 时的 定容热容量为3.8×10-2J .mol -1.K -1，试计算NaCl 在5K 和KCl 在2K 时的定容热容量。 解： 设NaCl 和KCl 晶体所包含的初基元胞数相等，均为N ，T < C V =qNk(2 40 3 ) 1()-? x x D e dx e x Q T T D Q T Q D >>1. 积分上限近似可取为∞、则有 154)1(2 2 40 π=-? ∞ x x e dx e x 34)(512D B v Q T NK C π＝ 对KCl ： T ＝5K 时 C v ＝3.8X10-2 当T ＝2K 时 2 33 1 1024.012588.325 -???＝＝＝ v v C C (J.mol -1.K -1) 对NaCl ：T=5K 时 3 3103113 11 ) 320()230(8.3)()(2 ?=?=-X D D v v Q Q C C ＝1.41X10-2(J.mol -1.K -1) 16. 在一维无限长的简单晶格中，设原子的质量均为M ，若在简谐近似下考虑原 子间的长程作用力，第n 个原子与第n+m 和第n －m 个原子间的恢复力系数为m , 试求格波的色散关系。 解：设第n 个原子对平衡位置的位移为u n , 第n+m 和第n －m 个原子对平衡位置的位移为u n ＋m 和u n －m (m=1,2,3……), 则第n+m 和第n －m 个原子对第n 个原子的作用力为 f n,m = m （u n ＋m －u n ）＋m （u n －m －u n ）＝m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ） 第n 个原子受的总力为 F n = ∑∞ =1 ,m m n f = ∑ ∞ =1 m m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ） 因此，第n 个原子的运动方程为 M 2 2dt u d n = ∑ ∞ =1 m m （u n ＋m ＋u n －m －2u n ） 将格波的试解 u n ＝ A ) (t qna i e ω- 代入运动方程，得 －M 2 ＝ ∑∞ =-+1 )2(m iqma iqma m e e β = ∑∞ =-1 ]1)[cos(2m m qma β = －4 )2/(sin 1 2qma m m ∑∞ =β 所以 2 = M 4 )2/(sin 1 2qma m m ∑∞ =β 17. 求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。 提示：仍作近邻近似和简谐近似。 设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0) 原子间的力常数均为β，原子的振幅均为A 。 解：设原子编号为：0，1，2，3，4,······(表面原子为n=0) 第0个原子的运动方程：2 2dt U d m ＝－β（U 0－U 1） （1） 第1个原子的运动方程：2 1 2dt U d m ＝－β（U 1－U 2）－β（U 1－U 0） （2） 第n 个原子的运动方程：2 2dt U d m n ＝β（U n+1+U n-1－2U n ） （3） 设 试探解 U 0＝A 0t i e ω n=0 （4） U n ＝A 0 t i qna e ω+- n >1 q=q s +iq ’ （5） 把试探解(5)代入（3）得色散关系： m ω2 =2β[1－ch(qa)] （6） (chx=2 x e x e -+ e i π=e -i π =1) 另外，q=q s +iq ’’ 当q ’’＝ a π 时，代入上色散关系，得 m ωs 2 =2β[1+ch(q s a)] （7） 出现ω≥ωm(体内截止频率)――――相当于在禁带中出现表面能级。
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