2016-2017学年河北省定州市高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．已知集合{}{}{|33},2,0,1,1,0,1,2I x Z x A B =∈-<<=-=-，则()I C A B ⋂等于（ ）A. {}1B. {}2C. {}1,2-D. {}1,0,1,2- 【答案】C【解析】{}2,1,0,1,2I =--,{}1,2I C A =-,(){}1,2I C A B ⋂=-.点睛: 集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．计算sintan63ππ+的值为（ ）A.B. C. 12+ D. 12+【答案】D【解析】根据特殊角的三角函数值可知，原式12=+ 3．{|02}A x x =≤≤，下列图象中能表示定义域和值域都是A 的函数的是（ ）A. B. C.D.【答案】A【解析】四个选项定义域都为[]0,2， B 选项值域为[]1,2，不符合题意， ,C D 选项值域为{}1,2，不符合题意，故选A .4= （ ）A. 2lg5B. 0C. 1-D. 2lg5- 【答案】B 【解析】由于l g 501->-<，所以原式()lg5011lg2lg2502220=---=⨯-=-=.5．已知函数()2(24,x bf x x b -=≤≤为常数）的图象经过点()3,1，则()f x 的值域为（ ）A. []4,16B. []2,10 C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】将()3,1代入函数，得321,30,3b b b -=-==，所以()32x f x -=，在区间[]2,4上为增函数，故值域为()()][12,4,22f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 6．已知向量()()()1,0,0,1,,a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那么 （ ）A. 1k =-且c 与d 反向B. 1k =-且c 与d 同向C. 1k =且c 与d 反向D. 1k =且c 与d 同向 【答案】A【解析】()(),1,1,1c k d ==-，由于//c b ，所以()110,1k k ⋅--==-，此时()()1,1,1,1,c d c d =-=-=-，所以,c d 反向，故选A .7．函数sin 212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象经过平移后所得图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，这个平移变换可以是（ ） A. 向左平移8π个单位 B. 向左平移4π个单位 C. 向右平移8π个单位 D. 向右平移4π个单位 【答案】C 【解析】令ππ20,1224x x +==-，为原函数零点的横坐标， πππ12248⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故只需向右平移π8个单位. 8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A. ()()()123f f f -<<B. ()()()234f f f <<-C. ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D. ()()()531f f f <-<- 【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>>⎪⎝⎭，故选D . 9．已知5sin ,sin ,cos ,cos ,366313a x x b x x a b ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin2x 的值为（ ）A.B. C. D. 【答案】B 【解析】πππππ5s in c363a b x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π12cos 2613x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以ππππππsin2sin 2sin 2cos cos 2sin 666666x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 10．函数()()sin (0,0,)2f x Awx A w πϕϕ=+>><的部分图象如图所示，若将()f x 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A. sin 12y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图像得1A =，311ππ3π,π,241264T T ω=-===，所以()()sin 2f x x ϕ=+，横坐标缩短为原来一半，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.11．在ABC ∆中，若对任意t R ∈都有2BA t BC BA BC -≥-，则ABC ∆的形状是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 不确定 【答案】A【解析】原不等式两边平方并化简得2222cos 4cos 40a t ac B t ac B a -⋅+-≥恒成立，故其判别式为非正数，即()222224cos 44cos 40a c B a ac B a ∆=--≤，化简得()2cos 20c B a -≤，即c o s 2c B a -=，由正弦定理得()sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin C B A B C B C B C==+=+，即2s iBC B C =-，由于sin 0,sin 0B C >>，所以cos ,cos C B 必有一个是负数，故三角形为钝角三角形.点睛：本题主要考查向量运算——平方、数量积等，考查一元二次不等式恒成立问题的求解方法，考查正弦定理和三角形的内角和定理，考查两角和的正弦公式.由于题目涉及到向量的模的不等式，故考虑两边平方进行化简，化简后根据一元二次不等式恒大于零，得到判别式小于或等于零，由此求得边角关系，并用正弦定理和三角形内角和定理进行化简，并判断出三角形的形状.12．设函数()f x 在(),-∞+∞上有意义，对于给定的正数k ，定义函数()()()(),{,k fx f x kf x k f x k<=≥，取()3,2xk k f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()2k k f x =的零点有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定，随k 的变化而变化【答案】C【解析】根据32l o g333322x⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得333222l o g 3,l o g 3l og 3x x <-<<，故()3322333223,log 3log 32{3,log 3,log 3xx f x x x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭=≤-≥，要使()332f x =，只能在3322log 3log 3x -<<段取得，即33,1,122xx x ⎛⎫===± ⎪⎝⎭，故零点有两个.点睛：本题主要考查新定义函数的理解，考查指数不等式的解法，考查函数方程与零点问题.首先处理新定义函数的定义域问题，也即是解()f x k <这个指数不等式，指数不等式或者对数不等式的解法常用的是化为同底的方法，结合函数的单调性即可求得x 的范围.确定有解的区间和函数表达式后，解方程可求得x 的值有两个，即有两个零点.二、填空题13．若幂函数()22133m m y m m x --=-+的图象不经过原点，则m 的值是__________．【答案】1【解析】由于函数为幂函数，故2331m m -+=，解得1,2m m ==，当2m =时， y x =经过原点，故舍去，故1m =，此时1y x=，不经过原点，符合题意. 14．若函数()24xf x x =+-的零点()1,x a b ∈，且1,,b a a b N-=∈，则a b +=__________． 【答案】3【解析】()()110,220f f =-=，故零点在区间()1,2上，故1,2,3a b a b ==+=.15．已知,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足()222017222αβπα+=+- 52πβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则αβ+= __________．【答案】512π【解析】cos 11cos 222αβ+-+=+，即02αβ-=，αβ=①. ()5πsin 2017πsin 2ααββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即s i n 2s i n αβ②，①②两式平方相加得22213cos sin 2,cos ,cos 2αααα+===由于两个角都为锐角，故ππ,cos 426αββ===，所以5π12αβ+=. 16．已知12,e e 是平面单位向量，且1212e e ⋅=-，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则b =__________．【答案】2【解析】由于两个向量是单位向量，设12,e e 所成的角为θ，则1212πcos ,23e e θθ⋅==-=.由于12b e b e ⋅=⋅，故b 在12,e e 的角平分线上，故b 与它们夹角都为π3，所以1πcos 1,23b e b b ⋅=⋅==. 点睛：本题主要考查单位向量的概念，考查两个向量数量积的运算，考查两个向量的夹角.首先根据1212e e ⋅=-，利用数量积的运算，可求得这两个向量的夹角，根据1210b e b e ⋅=⋅=>可知b 在12,e e 的角平分线上，故b 与它们夹角都为π3，再根据向量的数量积运算，可求得b .三、解答题17．设函数()()ln 2f x x m =-的定义域为集合A ，函数()g x =义域为集合B .（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）若A B φ⋂=，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(],2-∞（2）[)6,+∞ 【解析】试题分析： ()f x 的定义域为2m x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭， ()g x 的定义域满足30{10x x -≥->，解得13x <≤.（1）由于B 是A 的子集，所以1,22mm ≤≤；（2）由于,A B 交集为空集，所以3,62mm ≥≥. 试题解析： 可知集合2m A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{|13}B x x =<≤ （1）若B A ⊆，则12m≤，即2m ≤； 故实数m 的取值范围是(],2-∞； （2）若A B φ⋂=，则32m≥，故实数m 的取值范围是[)6,+∞18．已知sin cos αα+=，且0απ<<. （1）求tan α的值；（2）求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值. 【答案】（1）tan 3α=-（2）32-【解析】试题分析：（1）联立22{sin cos 1sin cos αααα+=+=，解出sin ,cos αα，进而求得tan α；（2）原式222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-，分子分母同时除以2cos α，转化为含tan α的式子，代入（1）的结论即可求得它的值. 试题解析：（1）由22{sin cos 1sin cos αααα+=+=，因为0απ<<，解得sin 1010αα==-，所以tan 3α=-； （2）22sin22tan 3sin sin cos cos21tan tan 22αααααααα==-+--+-.19．设函数()f x a b =⋅，其中向量()()2cos ,1,cos a x b x x ==. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）T π=，递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的坐标运算，和辅助角公式，化简()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由此求得最小正周期，将π26x +代入正弦函数的递增区间，解出x 的范围即是()f x 的单调递增区间；（2）由（1）知函数在给定区间上递增，故在端点取得最大值和最小值.试题解析：由题意得，得()f x a b =⋅2cos cos 2sin 216x x x x π⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， （1）()f x 的最小正周期为T π=， 由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）求（1）可知，函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()max 36f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭， ()min 14f x f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭20．在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+.（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比；（2）若N 为AB 中点， AM 与CN 交于点P ，且(),AP xAB yAC x y R =+∈，求x y +的值.【答案】（1）14（2）47【解析】试题分析：（1）根据3144AM AB AC =+可得3BM MC =，故M 是靠近B 的四等分点，所以面积比为1:4；（2）由于,AM AP 共线，对比系数可知3x y =.利用,AB AC 表示出,CP NP ，再根据这两个向量共线，可求得21x y +=，结合3x y =可求出,x y 的值，进而求得x y +的值. 试题解析：（1）在ABC ∆中， 3144AM AB AC =+，可得3BM MC =， 即点M 在线段BC 靠近B 点的四等分点. 故ABM ∆与ABC ∆的面积之比为14； （2）因为31,//44AM AB AC AM AP =+， (),AP xAB yAC x y R =+∈，所以3x y =， 因为N为AB中点，所以1122NP AP AN xAB y AC AB x AB y AC ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， ()1CP AP AC xAB yAC AC xAB y AC =-=+-=+-因为//NP CP ，所以()112x y xy ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即21x y +=， 又3x y =，所以31,77x y ==，所以47x y +=.21．某网店经营的一种商品进行进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销售量P（件）与单价x （元）之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元.（1）根据周销售量图写出P （件）与单价x （元）之间的函数关系式；（2）写出利润y （元）与单价x （元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润. 【答案】（1）112,50k b =-=， 250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.【解析】试题分析：（1）在][12,20,20,28⎡⎤⎣⎦这两个区间上，函数图像都是线段，故利用斜截式，列方程组，可求得其函数表达式；（2）利润是销售量乘以每件的利润，再减去固定成本25，结合（1）求得的表达式，可求得y 关于x 的关系式，并利用二次函数配方法可求得最大值. 试题解析：（1）①设当[]12,20x ∈时， 11P k x b =+，代入点()()12,26,20,10， 得112,50k b =-=，②设当(]20,28x ∈时， 22P k x b =+，代入点()()20,10,28,2， 得221,30k b =-=，故周销量P （件）与单价x （元）之间的函数关系式 为250,1220,{30,2028,x x P x x -+≤≤=-+<≤（2）()()()()()2501025,1220,1025{301025,2028,x x x y P x x x x -+--≤≤=--=-+--<≤， ①当[]12,20x ∈时， 235175222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以352x =时， max 1752y =； ②当(]20,28x ∈时， ()22075y x =--+，可知()22075y x =--+在(]20,28x ∈单调递减，所以75y <，由①②可知，当352x =时， max 1752y =， 故当该商品的销售价格为17.5元时，周利润最大为87.5元.点睛：本题主要考查函数实际应用问题.本题分成两个步骤，第一个步骤是先根据题目所给函数的图像，求出销售量的表达式，这个过程中由于函数图像分成两个线段，故采用设出线段所在直线的斜截式方程，代入点的坐标即可求得函数的解析式.第二问要算利润，即是销售利润减去固定成本，写出利润表达式后利用配方法求最值. 22．已知()()2log 2log 3(0m m f x x x m =+->，且1)m ≠ （1）当2m =时，解不等式()0f x <；（2）()0f x <在[]2,4恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1{|2}8x x <<（2）()4,⎛⋃+∞ ⎝. 【解析】试题分析：（1）2m =时，原不等式变为()222log 2log 30x x +-<，解这个一元二次不等式可求得23log 1x -<<，进而求得解集为1{|2}8x x <<；（2）原不等式恒成立，等价于3log 1m x -<<在[]2,4上恒成立.对m 分成， 01,1m m <两类，利用单调性讨论得出m 的取值范围. 试题解析：（1）当2m =时，解不等式()0f x <，得()2log 2log 30m m x x +-<， 即23log 1x -<<， 故不等式的解集为1{|2}8x x <<；第 11 页 共 11 页 （2）由()0f x <在[]2,4恒成立，得3log 1m x -<<在[]2,4恒成立，①当1m >时，有3log 2{log 21m m -<<，得4m >， ②当01m <<时，有3log 4{log 21m m -<<，得0m << 故实数m的取值范围()4,⎛⋃+∞ ⎝. 点睛：本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于m 是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得23log 1x -<<，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得3log 1m x -<<，由于m 的范围不确定，故要对m 分成两类，结合单调性来讨论.。
