基本不等式及其应用(公开课)

基本不等式及其应用
2011.11.15
高考命题趋势：
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值
问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒
等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。
教学目标
1． 知识与技能
理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。
会运用基本不等式解决相关的问题。
2． 过程与方法
通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，
学会学习，学会探究。
3． 情感态度与价值观
鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学
生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值
难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件
教学过程：
一、 要点梳理
1、基本不等式
若a、b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”

若a、b∈R+,,则abba2，当且仅当a=b时取“=”
2、常用变形形式：

① 0,02222bababaab ④

② 22222babaab ⑤
③ 同号）、baabba(2
3、求最大值、最小值问题
（1）如果x、y∈(0,+∞),且xy=p（定值），那么当x=y时，x+y有 。

（2）如果x、y∈(0,+∞),且x+y=s（定值），那么当x=y时，xy有 。
概括为：“一正，二定，三相等”

abba222
21xx
二、 例题精讲
例1、若正数a、b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围。
例2、已知x>0、y>0,且191yx，求x+y的最小值。
变式训练：设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值
例3、已知a>0,求函数axaxy221的最小值。

练习:设x>-1求函数125xxxy的最值。
三、基础巩固
1、函数f(x)=x+421x(x>2),则f(x)有( )
A.最大值0 B.最小值0 C. 最大值-2 D. 最小值-2
2、下列各式中最小值是2的是（ ）

A.xyyx B.4522xx C.tan+cot D.xx22
3、已知2a为1-b、1+b的等比中项，则ab的最大值是 ；
a+2b的最大值是 。

四、[考题印证]
(1)[2010·安徽卷]
若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写
出所有正确命题的编号

①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋
1
b
≥2.

(2)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2，
ab＋bc＋ca、13的大小关系是________．

（3）(2010·山东高考)若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是
________．
五、小结
1、基本不等式及其常见变形形式；
2、利用基本不等式的放缩作用求函数的最值，要特别注意使用的条件。

六、作业
活页练习P242