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九年级数学下册 第1章 解直角三角形练习题 (新版)浙教版

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1 第1章 解直角三角形

1．2017·金华在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是( )

A.34 B.43 C.35 D.45

2．2017·兰州如图1－BZ－1，一个斜坡长为130 m，坡顶到水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )

A.513 B.1213 C.512 D.1312

图1－BZ－1

图1－BZ－2

3．2017·绥化某楼梯的侧面如图1－BZ－2所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为( )

A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米

C．3.5tan29°米 D.3.5cos29°米

4．2017·绍兴如图1－BZ－3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( )

A．0.7米 B．1.5米

C．2.2米 D．2.4米

5．2017·泰州小明沿着坡度i为1∶3的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.

图1－BZ－3 2 图1－BZ－4

6．2016·上海如图1－BZ－4，在矩形ABCD中，BC＝2.将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A，C分别落在点A′，C′处，如果点A′，C′，B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为________．

7．2017·大连如图1－BZ－5，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n

mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．此时，B处与灯塔P之间的距离为________n mile.(结果取整数，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)

图1－BZ－5

图1－BZ－6

8．2017·东营一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图1－BZ－6，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A，B两点间的距离为s米，则塔高为______米．

9．2017·义乌以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D, 若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为__________．

10．2017·舟山如图1－BZ－7，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C＝1，tan∠BA2C＝13，tan∠BA3C＝17，计算tan∠BA4C＝__________……按此规律，写出tan∠BAnC＝__________(用含n的代数式表示)．

图1－BZ－7 3 11．2016·台州计算：tan45°－sin30°＋()2＋20.

12．2017·包头如图1－BZ－8，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.

(1)求AD的长；

(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

图1－BZ－8

13．2017·丽水如图1－BZ－9是某小区的一个健身器材示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

图1－BZ－9

4

14．2017·台州如图1－BZ－10是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)

图1－BZ－10

15．2017·赤峰王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1－BZ－11所示．已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)

图1－BZ－11

16．2017·舟山如图1－BZ－12是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙5 摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，小强身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台的距离GC＝15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)．

(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少？

(2)小强希望他的头部E点恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？

(参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，2≈1.41，结果精确到0.1 cm)

图1－BZ－12

6

1．A [解析] 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝52－32＝4，再根据正切的定义，得tanA＝BCAC＝34.

2．C [解析] 在直角三角形中，根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m，正切值为对边与邻边的比值，故斜坡与水平地面夹角的正切值等于50120＝512，故选C.

3．A [解析] 在直角三角形ABC中，已知斜边BC和锐角，求锐角的对边，故用正弦，ABBC＝sin29°，所以AB＝3.5sin29°米，故选A.

4．C [解析] 在Rt△ACB中，根据勾股定理求出AB＝2.5米，则A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，根据勾股定理求出BD＝1.5米，则CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(米)，故选C.

5．25 [解析] 如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度i＝1∶3，

∴tanA＝1∶3＝33，

∴∠A＝30°.

∵AB＝50 m，

∴BE＝12AB＝25 m.

∴小明沿垂直方向升高了25 m.

6.5－12 [解析] 设AB＝x，则CD＝x，A′C＝x＋2.

∵AD∥BC，∴C′DBC＝A′DA′C，即x2＝2x＋2， 7 解得x1＝5－1，x2＝－5－1(舍去)．

∵AB∥CD，∴∠ABA′＝∠BA′C.

∵tan∠BA′C＝BCA′C＝25－1＋2＝5－12，

∴tan∠ABA′＝5－12.

7．102 [解析] 过点P作AB的垂线，垂足为C，在Rt△APC中，∠APC＝90°－60°＝30°，∴PC＝PA·cos∠APC＝86×cos30°＝86×32＝43 3(n mile)．在Rt△BPC中，∠B＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝433÷22＝433×2≈102(n mile)，故答案为：102.

8.tanα·tanβtanβ－tanα·s

[解析] 在Rt△CBD中，BD＝CDtanβ，∴AD＝CDtanβ＋s.在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝(CDtanβ＋s)tanα，化简，得CD＝tanα·tanβtanβ－tanα·s(米)．

9．2 3 [解析] 如图，由题意可知AD是∠BAC的平分线．过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝2，所以DB＝DE＝2，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ABBD，所以AB＝2×3＝2 3.

10.113 1n2－n＋1 [解析]

根据所给的三角函数值进行分析可以得到如下规律：tan∠BA1C＝11＝112－（1－1），tan∠BA2C＝13＝122－（2－1），tan∠BA3C＝17＝132－（3－1），tan∠BA4C＝142－（4－1）＝113……按此规律，tan∠BAnC＝1n2－（n－1）＝1n2－n＋1. 8 11．解：原式＝1－12＋1＝32.

12．解：(1)在△ABC中，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，

∴∠BAC＝60°.

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠BAD＝12∠BAC＝30°.

在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝3，

∴AD＝2CD＝6.

(2)∵DE∥BA, DF∥CA，

∴四边形AEDF为平行四边形，∠BAD＝∠EDA.

∵∠CAD＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠EDA，

∴AE＝DE，

∴四边形AEDF为菱形．

∵DE∥BA，

∴∠CDE＝∠B＝30°.

在Rt△CDE中，∠C＝90°，

∴cos∠CDE＝CDDE，

∴DE＝3cos30°＝2 3.

∴四边形AEDF的周长为4DE＝4×23＝8 3.

13．解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，∵OD⊥CD，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°.在Rt△ABF中，AB＝2.7 m，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918(m)，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．

答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m. 9

14．解：如图，过点A作AC⊥OB于点C.

在Rt△AOC中，∠AOC＝40°，

∴sin40°＝ACAO.

又∵AO＝1.2米，

∴AC＝1.2×sin40°≈1.2×0.64＝0.768(米)．

∵0.768<0.8，

∴车门不会碰到墙．

15．解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

理由：过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠C＝50°，AC＝20 cm，

∴AD＝AC·sin50°≈20×0.8＝16(cm)，

CD＝AC·cos50°≈20×0.6＝12(cm)．

∵BC＝18 cm，

∴BD＝BC－CD＝18－12＝6(cm)，

∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292(cm)．

∵17＝289＜292，

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解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）

【学习目标】

1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函

数的定义解直角三角形；

2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．

【要点梳理】

要点一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2

+b2

=c2

(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：

，

，，

，

，.

④，h为斜边上的高.

要点诠释：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法

已知条件解法步骤

Rt△ABC两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，

锐角、对边∠B=90°－∠A，

(如∠A，a)

，

斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，

要点诠释：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意

标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的

顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少

有一个条件为边.

【典型例题】

类型一、解直角三角形

1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3

4则

sinC=_______.

【答案】12

13

【分析】解Rt△ABD，根据AD=12，tan∠BAD=3

(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册

(初中精品)第一章解直角三角形 锐角三角函数 学年浙教版九年级数学下册

【知识梳理】

一、锐角三角函数的概念

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的 边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边；

锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜边；

锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边.

同理sinBbBc的对边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tanBbBBa的对边的邻边．

要点诠释：

(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．

(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．

(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．

(4)由锐角三角函数的定义知：

当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．

锐角三角函数

ABCabc二、特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：

锐角

30°

45°

1

60°

要点诠释：

(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．

(浙教版)九年级数学同步单元双基双测AB卷：第1章 解直角三角形单元测试(B卷)含解析版答案

(浙教版)九年级数学同步单元双基双测AB卷：第1章 解直角三角形单元测试(B卷)含解析版答案

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第1章 解直角三角形单元测试（B卷提升篇）

【浙教版】

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

满分：120分 考试时间：100分钟

题号 一 二 三 总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题）

评卷人 得 分

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（ ）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．sinA＝ D．tanA＝

2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（

）

A．30° B．45° C．50° D．60°

3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）

2 / 25

A． B．

C． D．

5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（ ）

A．36 米 B．18米 C．72 米 D．36米

6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（ ）

A．sinA＜sinB B．cosA＜cosB C．tanA＜tanB D．sinA＜cosA

浙教版九年级数学解直角三角形教案

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----完整版学习资料分享---- 浙教版九年级下册第一单元解直角三角形知识点+习题

知识梳理

考点一、直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

可表示如下：  BC=21AB

∠C=90°

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

可表示如下：  CD=21AB=BD=AD

D为AB的中点

4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90° BDADCD•2

 ABADAC•2

CD⊥AB ABBDBC•2

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

AB•CD=AC•BC

考点二、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即casin斜边的对边AA

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cbcos斜边的邻边AA