新课标高考总复习专项演练：第六章 数列 6-1 Word版含解析
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1 6-1
A组 专项基础训练
(时间：45分钟)
1．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是an等于( )
A.（－1）n＋12 B．cos nπ2
C．cos n＋12π D．cos n＋22π
【解析】 令n＝1，2，3，…逐一验证四个选项，易得D正确．
【答案】 D
2．(2015·福建南安一中上学期期末)已知数列{an}中，a1＝1，若an＝2an－1＋1(n≥2)，则a5的值是( )
A．7 B．5
C．30 D．31
【解析】 由题意得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，
a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
【答案】 D
3．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
【解析】 由题意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
【答案】 A
4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝nn＋1，则1a5等于( )
A.56 B.65
C.130 D．30
【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nn＋1－n－1n＝1n（n＋1），
所以1a5＝5×6＝30.
【答案】 D
5．(2016·嘉兴模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10等于( )
2 A．64 B．32
C．16 D．8
【解析】 因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，
两式相除得an＋2an＝2.
又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，
则a10a8·a8a6·a6a4·a4a2＝24，即a10＝25＝32.
【答案】 B
6．若数列{an}满足关系：an＋1＝1＋1an，a8＝3421，则a5＝________．
【解析】 借助递推关系，则a8递推依次得到
a7＝2113，a6＝138，a5＝85.
【答案】 85
7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．
【解析】 由题意知：a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
∴an＝nn－12(n≥2)，∴a3＋a5＝322＋542＝6116.
【答案】 6116
8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，
都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，
得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
【答案】 (－3，＋∞)
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．
【解析】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)
＝2n＋1－2n＝2n；
因为a1也适合此等式，所以an＝2n(n∈N*)．
(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，
3 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.
B组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( )
A．3×44 B．3×44＋1
C．45 D．45＋1
【解析】 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，
即an＋2＝4an＋1，
∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝1（n＝1），3×4n－2（n≥2）.
∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.
【答案】 A
4 12．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当an＋1>|an|(n＝1，2，…)时，
∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．
当{an}为递增数列时，若该数列为－2，0，1，
则a2>|a1|不成立，
即知：an＋1>|an|(n＝1，2，…)不一定成立．
综上知，“an＋1>|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．
【答案】 B
13．已知数列n2n2＋1，则0.98是它的第________项．
【解析】 n2n2＋1＝0.98＝4950，∴n＝7.
【答案】 7
14．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
【解析】 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴bn＝23（n＝1），1n（n≥2）.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1，
∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋1
＝12n＋3－12n＋2＝－1（2n＋3）（2n＋2）<0，
∴cn＋1 ∴数列{cn}为递减数列． 15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； 5 (2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围． 【解析】 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)． 即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通项公式为 bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N＋. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋， 于是，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2 ＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－21232n－2＋a－3， 当n≥2时，an＋1≥an⇒1232n－2＋a－3≥0⇒a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 综上，所求的a的取值范围是－9，3)∪(3，＋∞)．
