高中数学选修1-1课时作业10：3.1.3 导数的几何意义

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精品文档 3.1.2导数的几何意义

一、选择题

1．曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是( )

A．9 B．6

C．－3 D．－1

[答案] A

[解析] Δy＝(2＋Δx)3－3(2＋Δx)－23＋6＝9Δx＋6Δx2＋Δx3，

ΔyΔx＝9＋6Δx＋Δx2，

limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (9＋6Δx＋Δx2)＝9，

由导数的几何意可知，曲线y＝x3－3x在点(2,2)的切线斜率是9.

2．曲线y＝13x3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )

A．30° B．45°

C．135° D．60°

[答案] B

[解析] Δy＝13(－1＋Δx)3－13×(－1)3＝Δx－Δx2＋13Δx3，ΔyΔx＝1－Δx＋13Δx2，

limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (1－Δx＋13Δx2)＝1，

∴曲线y＝13x3－2在点－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.

3．函数y＝－1x在点(12，－2)处的切线方程是( )

A．y＝4x B．y＝4x－4

C．y＝4(x＋1) D．y＝2x＋4

[答案] B

[解析] Δy＝2ΔxΔx＋12，ΔyΔx＝2Δx＋12，limΔx→0 2Δx＋12＝4，

∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4x－12－2＝4x－4.

4．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )

A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0

C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

[答案] B 精品文档

精品文档 [解析] 由导数的几何意义可知f′(x0)＝－12<0，故选B.

5．下列说法正确的是( )

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

3.1.2 导数的概念

课前预习学案

预习目标：什么是瞬时速度，瞬时变化率。怎样求瞬时变化率。

预习内容：

1：气球的体积V与半径r之间的关系是33()4VrV，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.

2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h与起跳后的时间t的关系为：2()4.96.510httt. 求在12t这段时间里，运动员的平均速度.

3：求2中当t=1时的瞬时速度.

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念.

2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．

学习重难点： 1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用

二、学习过程

合作探究

探究任务一：瞬时速度

问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是

新知：

1．瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.

探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度ts当t趋近于0时的

得导数的定义：函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxx，我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy即000()()()limxfxxfxfxx

注意：(1)函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可以为0

(3)xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率

(4)导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度.

高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案

知识梳理

1．在高台跳水运动中，运动员在t1≤t≤t2这段时间里的位置为s1≤s≤s2，则他的平均速度为 .

2．已知函数y＝f(x)，令Δx＝ ，Δy＝ ，则当Δx≠0时，比值 ＝ΔfΔx，称作函数f(x)从x1到x2的平均变化率．

3．物体在某一时刻的速度称为 ．

4．一般地，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即v＝limΔt→0 ΔsΔt＝

5．一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝limΔx→0 ΔfΔx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ .

学习过程

1.平均变化率

[例1] 求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．

[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．

应用变式1

某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x＝1到x＝2时的平均速度为 ( )

A．－4 B．－8 C．6 D．－6

2.瞬时变化率

[例2] 以初速度v0(v0＞0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．

应用变式2

一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，求此物体在t＝2时的瞬时速度．

3.利用定义求函数某点处的导数

[例3] 根据导数定义求函数y＝x2＋1x＋5在x＝2处的导数．

1 1.1.3 导数的几何意义

【学习目标】

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系，理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

【自主学习】

1.如图课本7页1.1-2，当(,())(1,2,3,nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时，割线nPP的变化趋势是什么？曲线在点P处的切线概念如何定义？割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？切线PT的斜率k为多少？归纳导数的几何意义是什么?

2.求曲线在某点处和过某点的切线方程的基本步骤是什么?

3.什么是导函数？函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数 之间的区别与联系是什么？

【自主检测】

1．求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程______________.

2．求函数y=3x2在点(1,3)处的导数______________.

3．求函数y=3x2在点(1,3)处的导函数______________.

【典型例题】

例（1）求曲线1yxx在点(1,2)P的切线方程；

（2）求抛物线2yx过点5(,6)2P的切线方程.

(3)若曲线32yxx上一点P处的切线恰好平行于直线y=11x－1，求P点坐标.

(4)已知曲线2:23Cyxx,直线:40lxy,在曲线C上求一点P,使P到直线L的距离最短，并求出最短距离.

(5)若曲线3222yxaxax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，求a的取值范围.

【课堂检测】 2 1.已知曲线313yx和点A(1,0) , 求过点A的切线方程( )

.10Axy .10Bxy .10Cxy .10Dxy

2. 设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是4,0，则点P横坐标的取值范围为_______.