2019版一轮同步优化探究文数(北师大版)练习：第五章 第三节 等比数列及其前n项和 Word版含解
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课时作业
A组——基础对点练
1．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.
答案：B
2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A.13 B．－13
C.19 D．－19
解析：由题知公比q≠1，则S3＝a11－q31－q＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝19，故选C.
答案：C
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于( )
A．－3 B．5
C．－31 D．33
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得q≠1.
∵S3＝2，S6＝18，
∴1－q31－q6＝218，得q3＝8，
∴q＝2.∴S10S5＝1－q101－q5＝1＋q5＝33，故选D.
答案：D
4．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2.若am＝a1a2a3a4(m∈N*)，则m＝( )
A．11 B． 10
C．9 D．8
解析：am＝a1a2a3a4＝a41qq2q3＝24×26＝210＝2m，所以m＝10，故选B.
答案：B
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图像上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1
C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1
解析：因为点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图像上，所以Sn＝3·2n－3，所以an＝3·2n－1，所以bn＋bn＋1＝3·2n－1，因为数列{bn}为等比数列，设公比为q，则b1＋b1q＝3，b2＋b2q＝6，解得b1＝1，q＝2，所以bn＝2n－1，Tn＝2n－1，所以Tn＜bn＋1，故选D.
答案：D
6．(2018·郑州质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a25＝2a3a6，S5＝－62，则a1的值是________．
解析：设{an}的公比为q.由a25＝2a3a6得(a1q4)2＝2a1q2·a1q5，∴q＝2，∴S5＝a11－251－2＝－62，a1＝－2.
答案：－2
7．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.
解析：因为等比数列{an}为递增数列且a1＝－2<0，所以0
答案：13
8．若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝__________.
解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，
∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝1－3n－11－3，
∵a1＝1，∴an＝3n－1＋12.
答案：3n－1＋12
9．(2018·昆明市检测)数列{an}满足a1＝－1，an＋1＋2an＝3.
(1)证明{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)已知符号函数sgn(x)＝ 1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0，设bn＝an·sgn(an)，求数列{bn}的前100项和．
解析：(1)因为an＋1＝－2an＋3，a1＝－1，
所以an＋1－1＝－2(an－1)，a1－1＝－2，
所以数列{an－1}是首项为－2，公比为－2的等比数列．
故an－1＝(－2)n，即an＝(－2)n＋1.
(2)bn＝an·sgn(an)＝ 2n＋1，n为偶数，2n－1，n为奇数，
设数列{bn}的前n项和为Sn，则S100＝(2－1)＋(22＋1)＋(23－1)＋…＋(299－1)＋(2100＋1)＝2＋22＋23＋…＋2100＝2101－2.
10．(2018·合肥质检)在数列{an}中，a1＝12，an＋1＝n＋12nan，n∈N*.
(1)求证：数列{ann}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：由an＋1＝n＋12nan知an＋1n＋1＝12·ann，
∴{ann}是以12为首项、12为公比的等比数列．
(2)由(1)知{ann}是首项为12，公比为12的等比数列，
∴ann＝(12)n，∴an＝n2n，
∴Sn＝121＋222＋…＋n2n，①
则12Sn＝122＋223＋…＋n2n＋1，②
①－②得：12Sn＝12＋122＋123＋…＋12n－n2n＋1＝1－n＋22n＋1，
∴Sn＝2－n＋22n.
B组——能力提升练
1．(2018·长春调研)等比数列{an}中，a3＝9，前三项和S3＝27，则公比q的值为( )
A．1 B．－12
C．1或－12 D．－1或－12
解析：当公比q＝1时，
a1＝a2＝a3＝9，
∴S3＝3×9＝27.
当q≠1时，S3＝a1－a3q1－q，
∴27＝a1－9q1－q
∴a1＝27－18q，
∴a3＝a1q2，
∴(27－18q)·q2＝9，
∴(q－1)2(2q＋1)＝0，
∴q＝－12.
综上q＝1或q＝－12.选C.
答案：C
2．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( )
A．1 B．－1
C.12 D．2
解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λan－2λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.
答案：D
3．(2018·彬州市模拟)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－a，则a21＋a22＋…＋a2n＝( )
A．(2n－1)2 B.13(2n－1)
C．4n－1 D.13(4n－1)
解析：∵Sn＝2n－a，∴a1＝2－a，a1＋a2＝4－a，a1＋a2＋a3＝8－a，
解得a1＝2－a，a2＝2，a3＝4，
∵数列{an}是等比数列，∴22＝4(2－a)，解得a＝1.
∴公比q＝2，an＝2n－1，a2n＝22n－2＝4n－1.
则a21＋a22＋…＋a2n＝4n－14－1＝13(4n－1)．
答案：D
4．设数列{an}是公比为q(|q|＞1)的等比数列，令bn＝an＋1(n∈N*)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q＝( )
A.32 B．－43
C．－32 D．－52
解析：数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，且bn＝an＋1(n∈N*)，∴an＝bn－1，
则{an}有连续四项在{－54，－24,18,36,81}中，
∵数列{an}是公比为q(|q|＞1)的等比数列，
等比数列中有负数项，则q＜0，且负数项为相隔两项
∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增，按绝对值的顺序排列上述数值18，－24,36，－54,81，
相邻两项相除－2418＝－43，－3624＝－32，－5436＝－32，81－54＝－32，
∵|q|＞1，∴－24,36，－54,81是{an}中连续的四项，此时q＝－32.
答案：C
5．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
解析：由S3＋3S2＝0，得a1＋a2＋a3＋3(a1＋a2)＝0，即4a1＋4a2＋a3＝0，即4a1＋4a1q＋a1q2
＝0，即q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.
答案：－2
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝32an－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2log3an2＋1，求1b1b2＋1b2b3＋…＋1bn－1bn.
解析：(1)当n＝1时，a1＝32a1－1，∴a1＝2，
当n≥2时，∵Sn＝32an－1，①
∴Sn－1＝32an－1－1(n≥2)，②
①－②得an＝(32an－1)－(32an－1－1)，
即an＝3an－1，
∴数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＝2×3n－1.
(2)由(1)得bn＝2log3an2＋1＝2n－1，
∴1b1b2＋1b2b3＋…＋1bn－1bn＝11×3＋13×5＋…＋12n－32n－1＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－3－12n－1)＝n－12n－1.
7．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝n＋12nan(n∈N*)．
(1)证明：数列ann是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an4n－an，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2.
解析：(1)由题设得an＋1n＋1＝12·ann，又a11＝2，所以数列ann是首项为2，公比为12的等比数列，所以ann＝2×12n－1＝22－n，an＝n·22－n＝4n2n.
(2)证明：bn＝an4n－an＝4n2n4n－4n2n＝12n－1，
因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1，所以bn≤12n－1.
所以Tn≤1＋12＋122＋123＋…＋12n－1
＝21－12n<2.
