高中数学 用二分法求方程的近似解课件

课件《利用二分法求方程的近似解》

操作说明

课件《利用二分法求方程的近似解》（以下简称“该课件”）是专门针对普通高中课程标准实验教科书·《数学》1(必修)中的同名一节的内容而设计的辅助教学软件。

该课件可实现对任意方程的求解。只要输入方程，设定好解所在的区间及解的精确度，便能逐步得出求解过程，动态演示求解流程，并能作出对应的函数图象。

一、 课件界面

执行课件主文件“二分求解.exe”，出现如下界面：

分三个窗口：中间是主窗口、左侧是流程面板，右侧是作图面板。

二、 操作方法

1、 设定好待求解的方程。方程可通过两种方法得到：调用预先主窗口

流程窗口 作图窗口 设定好的或通过键盘输入自定义的。如下图所示：

已将教材中的大部分方程设定好的，预设的方程跟实际的书写相一致。如果要自已输入方程，则要单击“自定义”项后，输入方程。输入方程时，可单击输入框右侧的“„”调出输入面板(如图)。输入的方程只能显示在一行中，视觉效果不如预设的好。

2、 设定好解所在的区间及精确度。若求解区间无法把握，可通过作图面板先作出相应函数的图象，通过图象判断解的大致范围。

3、 单击“开始”后，在主窗口逐步得到实数解所在的区间表。同时，左侧的算法框图能动态演示求解过程。

4、 作图面板的操作。 预设状态，单击该下拉框，后选定一个方程 自定义方程

设定横坐标每单位的像素点及纵横比可对图象放大或缩小。四个方向按钮可移动坐标系，中间是复位按钮。若主窗口的方程等式两边都是非0式，可从“移项相减”或“分别作图”中选择一种作图方式。

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解

授课教师：雅礼中学

教学班级 雅礼 班

教学目的 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识..

教学难点 恰当的使用信息工具.

知识重点 用二分法求方程的近似解.

教学过程 方法和手段

引入 材料一：二分查找(binary-search)

（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

Ａ．1000 Ｂ．10 Ｃ．100 Ｄ．500

二分法检索（二分查找或折半查找）演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(xfy的零点（即0)(xf的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

概念教学 1. 教学二分法的思想及步骤：

① 出示例：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）

高一数学用二分法求方程的近似解039

课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解

教学目标：

知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：

环节教学内容设计师生双边互动

创

设

情

境材料一：二分查找 奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索，在最坏的情况下，需检索个单元。

Ａ．1000Ｂ．10Ｃ．100Ｄ．500

二分法检索演示．

材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔和伽罗瓦的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．

生：体会二分查找的思想与方法．

4.1.2 利用二分法求方程的近似解

.关于二分法

1. 变号零点与不变号零点:如果函数在一个区间[a， b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这样的零点叫做变号零点.有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点.

2.二分法的产生过程及二分法的定义 (3)二分法求零点近似解得步骤

当确定函数在某区间内存在一个零点以后，问题转化为如何求出这个零点.直到19世纪，根据阿贝尔和伽罗瓦的研究，人们认识到高于四次的函数（即高于四次的代数方程）不存在求根公式，在此情况下，直观想法是如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精度下，我们就可以得到零点的近似值.为了方便，通过“取中点”，不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值，这样的方法成为二分法.

3.二分法求零点近似解得步骤

已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数，即使得.

第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即.令.

第二步：取区间的中点，则该中点对应的横坐标为

.

计算和.判断：

①如果，则就是的零点，计算终止.

②如果，则零点位于区间中，令.

③如果，则零点位于区间中，令.

第三步：取区间的中点，则此中点对应的横坐标为

.

计算和.判断：

①如果，则就是的零点，计算终止.

②如果，则零点位于区间中，令.

③如果，则零点位于区间中，令.

直到第n步，判断是否达到精确度，当区间的长度小于2时，即)(xfy0)()(bfaf),(0bax0)(0xf)(xfy),(ba)(xfy)(xfy0xx||0xxDba],[)(af)(bf0)()(bfafbbaa00,],[00ba)(21)(21000000baabax)(0xf)(0af0)(0xf0x)(xf)(0xf0)(0af],[00xa0101,xbaa)(0xf0)(0af],[00bx0101,bbxa],[11ba)(21)(21111111baabax)(1xf)(1af0)(1xf1x)(xf)(1xf0)(1af],[11xa1212,xbaa)(1xf0)(1af],[11bx1212,bbxa],[nnba时，计算终止，这时区间的中点就是函数的近似零点，函数的近似零点与真实零点的误差不超过.