下载文档原格式
椭圆的基本知识
1．椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c) .
2.椭圆的标准方程：
（＞＞0）（＞＞0）
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程
3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法
解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x0, y0),
则x＝x0, y＝得x0＝x， y0＝2y.
∵x02＋y02＝4, 得x2＋(2y)2＝4,
即所以点M的轨迹是一个椭圆.
4.范围. x2≤a2，y2≤b2，∴|x|≤a，|y|≤b．
椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
5.椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．
原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.
长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的
长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．
在Rt△OB2F2中，|OF2|2＝|B2F2|2－|OB2|2，
即c2＝a2－b2．
7.椭圆的几何性质：
椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。总结如下：
几点说明：
（1）长轴：线段，长为；短轴：线段，长为；焦点在长轴上。
（2）对于离心率e，因为a>c>0，所以0 由于，所以越趋近于1，越趋近于，椭圆越扁平；越趋近于0，越趋近于，椭圆越圆。 （3）观察下图，，所以，所以椭圆的离心率e = cos∠OF2B2 8.直线与椭圆： 直线：（、不同时为0） 椭圆： 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组，通过方程组的解的个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 消去得到关于的一元二次方程，化简后形式如下 ， （1）当时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； （2）当时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点（相切）； （3）当时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为，那么线段的长度（即弦长）为，设直线的斜率为， 可得：，然后我们可通过求出方程的根或用韦达定理求出。 椭圆典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 例7 已知椭圆 （1）求过点且被平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足， 求线段中点的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则 ①－②得． 由题意知，则上式两端同 除以，有， 将③④代入得．⑤ （1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥ 将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求． （2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分） （3）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分） （4）由①＋②得：，⑦，将③④平方并整理得 ，⑧，，⑨ 将⑧⑨代入⑦得：，⑩ 再将代入⑩式得：，即． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例8已知椭圆及直线． （1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
