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高中数学选修2--1圆锥曲线
基本知识点与典型题举例
一、椭圆
1.椭圆的定义：
第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 图形 顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ± 对称轴 x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b 焦点 1(,0)F c -、2(,0)F c 1(0,)F c -、2(0,)F c 焦距 焦距为12 2(0),F F c c => 222 c a b =- 离心率 e =c a (0 例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 116 252 2=+y x (B) )0(116 252 2≠=+y y x (C) 125 162 2=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x 例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距 离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2 b a ±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不 存在 例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦 点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3 例5. P 点在椭圆120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥， 则P 点的坐标是 . 例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(- ,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1; ____. (4)离心率为 2 3，经过点(2，0); . 例7. 12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动， 则12||||PF PF ⋅的最大值是 ． 二、双曲线 1.双曲线的定义： 第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数 e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双 曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率 例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件 例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是（ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 例10. 过点(2，-2)且与双曲线12 22 =-y x 有相同渐近线的双曲线 的方程是( ) (A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)1422 2=-y x (D)1 422 2=-x y 例11. 双曲线2 21(1)x y n n -=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且 满足12PF PF +=,则12F PF 的面积为( ) ()1A 1 ()2 B ()2 C ()4D 例12 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2 1 sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________. 例13. 根据下列条件，求双曲线方程: ⑴与双曲线22 1916 x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)； ⑵与双曲线22 1164 x y -=有公共焦点，且过点(2). 例14. 设双曲线2 2 12 y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2）求直 线AB 方程； 注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）
