【配套K12】三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题15不等式性质线性规划与基本不等式

最新K12教育

教案试题 专题15 不等式性质，线性规划与基本不等式

考纲解读明方向

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

不等式的

概念和性质 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景 理解 2017山东,7;

2016北京,5;

2013陕西,10 选择题 ★★☆

分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

1.平面区域

问题 ①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;

②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组 理解 2016浙江,3;2016山东,4;

2015课标Ⅰ,15;2014课标Ⅰ,9 选择题

填空题 ★★★

2.线性规划

问题 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决 理解 2017课标全国Ⅱ,5;

2017课标全国Ⅰ,14;

2017课标全国Ⅲ,13;

2016课标全国Ⅲ,13 选择题

填空题 ★★★

分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

利用基本不等式求最值 ①了解基本不等式的证明过程;

②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 掌握 2017天津,12;

2017江苏,10;

2015陕西,9 选择题

填空题 ★★☆

分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.

考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度

不等式的综合应用 能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法 掌握 2017天津,8;

2014福建,13;

2013课标全国Ⅰ,11 选择题

填空题

解答题 ★★★

分析解读 不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.

最新K12教育

教案试题 2018年高考全景展示

1．【2018年理数天津卷】设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为

A. 6 B. 19 C. 21 D. 45

【答案】C

【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.

点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则

A.

B.

C. D.

【答案】B 最新K12教育

教案试题

点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.

3．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】分析：求出，得到的范围，进而可得结果。

详解：.，，

,即，又，即，故选B.

点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题。

4．【2018年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．

【答案】 -2 8

【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.

详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2. 最新K12教育

教案试题

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.

5．【2018年理数天津卷】已知，且，则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.

详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，

结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.

点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

6．【2018年理北京卷】若,y满足，则2y−𝚄最小值是_________.

【答案】3

【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值. 最新K12教育

教案试题 详解：不等式可转化为，即， 满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图

令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，

的最小值为.

点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.

7．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.

点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

8．【2018年理新课标I卷】若，满足约束条件，则的最大值为________．

【答案】6

【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，最新K12教育

教案试题 之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.

详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，

由，解得，此时，故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

9．【2018年理数全国卷II】若满足约束条件 则的最大值为__________．

【答案】9

【解析】分析：作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.

详解：不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.

点睛：线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标最新K12教育

教案试题 函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.

2017年高考全景展示

1.【2017课标II，理5】设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（ ）

A．15 B．9 C．1 D．9

【答案】A

【解析】

试题分析：绘制不等式组表示的可行域，

目标函数即：2yxz，其中z表示斜率为2k的直线系与可行域有交点时直线的截距值，

数形结合可得目标函数在点6,3B 处取得最小值12315z ，故选A。

【考点】 应用线性规划求最值

【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。

2.【2017天津，理2】设变量,xy满足约束条件20,220,0,3,xyxyxy则目标函数zxy的最大值为 最新K12教育

教案试题 （A）23 （B）1（C）32 （D）3

【答案】D

【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233ABCD，所以直线zxy过点B时取最大值3，选D.

【考点】线性规划

【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.

3.【2017山东，理4】已知x,y满足xy3xy30+5030x，则z=x+2y的最大值是

（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6

【答案】C

【解析】试题分析：由xy3xy30+5030x画出可行域及直线20xy如图所示，平移20xy发现，

当其经过直线3x+y50+与x-3的交点(3,4)时，2zxy最大为3245z，选C.

【考点】 简单的线性规划

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；