一、多选题
1．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥
2．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ?<
D ．2S =
4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ）
A ．::sin :sin :sin a b c A
B
C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >
D ．
sin sin sin +=+a b c A B C
5．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+- 7．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ）
A ．a b ⊥
B ．2a b +=
C ．2a b -=
D ．,60a b =?
9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ?=
D ．AB AC AB AC +=-
10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D 11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立
C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形
D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形
12．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对
C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()
11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ==
13．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C
处,,那么x 的值为( )
A B ．C ．D ．3
14．下列命题中正确的是( )
A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1)
B ．31,2?
?-- ??
?
C ．31,2?? ???
D ．(8，－1)
17．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =
C ．若,,,A B C
D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 18．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =，则
边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（ ） A ．
23
π B ．
43
π C ．
6
π D ．
3
π 19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ）
A ．5
B ．22
C ．4
D ．16
20．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=?，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边
AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ） A ．M
B ．N
C ．22
D ．1
21．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，42c =，
45B =?，则sin C 的值等于（ ）
A ．
441
B ．
45
C ．
425
D ．
441
41
22．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
23．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ）
A ．sin sin A
B >
B ．cos cos A B <
C ．sin2sin2A B >
D ．cos2cos2A B <
24．在ABC ?中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则
()AG AW BC +?=（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．14
25．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A ．3
B ．1
C ．
12
D ．
3 26．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2?? ???
B ．10,3?? ???
C ．1,02??
-
??? D ．1,03??- ???
27．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为
A ．33(
,)2
B ．3
(
,3)2 C ．3(,3]2
D ．3
(,3)2
28．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 29．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）
A ．1-
B ．12
-
C ．2-
D ．32
-
30．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=?，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ?=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
31．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则
ABC ?为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
32．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A ．
3
B ．
3
C ．2
D 33．已知1a b ==，1
2
a b ?=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ）
A ．(
-∞
B ．)
+∞
C ．(
-∞
D ．)
+∞
34．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
?=?=?，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
35．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的
取值范围是( ) A ．06
,π??????
B ．,3ππ??
?
???
C ．2,33ππ???
???
D ．,6ππ??
?
???
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；
对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同 解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
2．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan
tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=-
-?，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
3．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；
再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD 【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ??==?△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
4．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．AC
【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的
坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,1a b a b a b
?<>=
=
=
?+
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
6．BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：
解析：BD 【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】
对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；
对于选项D ：()()
0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
7．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
8．AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误；
，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
解析：AC 【分析】
由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】
1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A
正确；
()2
22
22a b
a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误； ()
2
2
2
22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；
由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】
本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.
9．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
?=??∠=??
=?=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确.
故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
10．AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理，可得， ，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=，可得1
20sin 22sin 153
b A B a ?
===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos 3
B ==±. 故选：AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
11．ABD 【分析】
对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得
解析：ABD 【分析】
对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由
02
2
A B π
π
>>
->，可得
sin sin()cos 2
A B B π
>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由
cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：
2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即
可判断出正误. 【详解】
对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,
)2
B π
∈，
2
A B π
+>
，∴
02
2
A B π
π
>>
->，
sin sin()cos 2
A B B π
∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；
对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：
sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，
22A B ∴=或222A B π=-，
A B
∴=或2
A B π
+=， ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.
对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，
可得2
()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.
故选：ABD . 【点睛】
本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.
12．BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C
解析：BC 【分析】
由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】
由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，
对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】
若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使
12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 13．AB 【分析】
由余弦定理得，化简即得解. 【详解】
由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：AB 【分析】
由余弦定理得293
cos306x x
?
+-=，化简即得解.
【详解】
由题意得30ABC ?
∠=,由余弦定理得293
cos306x x
?
+-=
,
解得x =x 故选：AB. 【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．ABD 【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故 正确． 对于：若，当 时，无法得到，故不正确． 对
解析：ABD 【详解】
解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：
()m a b ma mb -=-，故A 正确．
对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．
对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确． 对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．B 【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而
12MN ＝1
2(－8,1)＝14,2??- ??
?，
所以34122x y -=-???+=??，解得1
32x y =-???=-??
，即31,2P ?
?-- ???，
故选B. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 17．C 【分析】
根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】
因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；
,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形
ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则//AB DC 且
||||AB DC =，所以AB DC =，故C 正确；0a b ?>时，,a b 的夹角可能为0，故D 不正
确.
故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积. 18．A 【分析】 根据题意得出
tan tan tan A B C
a b c
==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧
长. 【详解】
0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b
OC OA OB c c
∴=-
-， 同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C
b B
c C ?-=-??∴??-=-??，
tan tan tan A B C
a b c
∴
==， 由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111
cos cos cos A B C
==， cos cos cos A B C ∴==，
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3
A B C π
===
， 设ABC ?的外接圆半径为R
，则22
sin a
R A
=
==，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133
R A ππ?=?=. 故选：A. 【点睛】
本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,
再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++?-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =?，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=?，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =?，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=?，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ==
=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 21．B 【分析】
在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =?，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦
定理
sin sin b c
B C =求解. 【详解】
在三角形ABC 中， 1a =
，c =45B =?， 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
1322125=+-??=， 所以5b =， 由正弦定理得：
sin sin b c
B C
=，
所以
2
sin 42sin 55
c B
C b
=
==， 故选：B 【点睛】
本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 22．D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=?，45BDC ∠=?
120CBD
由正弦定理得：
sin120sin 45
BC
302sin 45203BC
3tan 30203
20AB
BC
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 23．C 【分析】
由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】
设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；
sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =， 当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；
2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】
取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则0DW BC ?=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】
解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心 0DW BC ∴?=
()()
22113323
AG AD AB AC AB AC ∴=
=?+=+ ()
1
2
AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()
115326
AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=
++++=++ ()()()
5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ??
∴+?=?=???++++???
()
5
6
AB A BC C =?+ ()()
5
6
C AC AB AB A =
?+- ()
()2222421055
66
AC AB =
-=-= 故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题．
25．B 【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a. 【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为2
2
2
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223
a c
b B a
c π
+-===,
因此13
a ccos π
==选B.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 26．D 【分析】
设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据
3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x
的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，
则()
()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ?
?∈ ???
，
又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ??∈- ???
. 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般. 27．A 【分析】
先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6
B π
=
，再化简
cos sin A C +)3
A π
+，利用三角函数的图像和性质求其范围.
【详解】