1 第五章 二元一次方程组
一、本章知识点梳理：
知识点1:二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义
知识点3:二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组）
知识点5:实际问题与二元一次方程组
二、各知识点分类讲解
知识点1：二元一次方程（组）的定义
1、二元一次方程的概念
含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。
（2）含有未知数的项的次数都是1。
（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）
2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。
即若axm+byn=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1
例1：已知（a－2）x－by｜a|－1＝5是关于x、y 的二元一次方程,则a＝______，b＝_____．
例2：下列方程为二元一次方程的有_________
①yx52，②14x,③2xy，④3yx,⑤22yx，⑥22yxxy，⑦
2 71yx
⑧yx23，⑨1cba
【巩固练习】
下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．3x-y2=0 B．2x+1y=1 C．3x—52y=6
D．4xy=3
2、二元一次方程组的概念
由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组
注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程.
例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（ ）
A、228423119...23754624xyxyabxBCDxybcyxxy
《求解二元一次方程组》
例1 解方程组)2( .0765 (1) ,0432yxyx
例2解方程组
)2(5225123)1(0223xyxyx
例3 解方程组)2(123)1(12yxxy
例4 用代入法解方程组).3()2(2)2(,5axyaxyx
例5解下列方程组：（1）6)(4)(22)(3)(5yxyxyxyx （2）1975432yxyx
例6 解方程组）（）（2 .5)1()2(21 ),1(22yxyx
例7若23yx是方程组53121nymxnymx的解，求nm2的值． 2 例8 解方程组）（）（2 .23 431 ,21332yxyx
例9用代入法解二元一次方程组)2(825)1(73yxyx 参考答案
例1 分析 先从方程组中选出一个方程，如方程（1），用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，把它代入另一个方程中，得到一个一元一次方程，解这个方程求出一个未知数的值，再代入求另一个未知数的值．
解 由（1），得243yx， （3）
把（3）代入（2）中，得0762435yy，解得2y
把2y代入（3）中，得24)2(3x，∴ 1x
∴
.2,1yx是原方程组的解．
例2 解：由（1）得 223yx （3）
把（3）代入（2），得 522512x，解得 21x．
把21x代入（3），得 22213y，解得 41y．
∴ 方程组的解为
.41,21yy
说明： 将yx23作为一个整体代入消元，这种方法称为整体代入法，本题把yx23看作一个整体代入消元比把（1）变形为232xy再代入（2）简单得多．
第17课 二元一次方程组的解法课程标准
1. 理解消元的思想；
2. 会用代入法解二元一次方程组.
3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；
4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；
5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．
知识点01 消元法
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做 思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
知识点02 代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做 消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为 的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．
代入消元法的一般步骤：
（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表
示出来.
（2）代入：把（
1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.目标导航
知识精讲（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确
定方程组的解.
（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。
知识点03 加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做 消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： (1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
八年级(上)册巅峰对决数学第５章 二元一次方程组 第１课 认识二元一次方程组知识目标认识二元一次方程和二元一次方程组ꎻ了解二元一次方程和二元一次方程组的解ꎻ会判断一组数是不是二元一次方程组的解.重、难点认识二元一次方程和二元一次方程组.思维目标方程思想.１.含有 两 个未知数ꎬ并且所含未知数项的次数都是 １ 的方程叫作二元一次方程.注意: ①二元一次方程两个未知项的次数是１ꎬ且系数不为０ꎻ ②二元一次方程的左边和右边都应是整式.２.共含有 两个 未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组.３.适合一个二元一次方程的一组未知数的值叫作二元一次方程的一个解(二元一次方程的解有无数个).４.二元一次方程组中各个方程的 公共解 ꎬ叫作二元一次方程组的解.二元一次方程定义与特征【例１】填选题: (１)下列方程:①ｙ＝３ｘ２＋ｘꎻ②３ｘ＋ｙ＝１ꎻ③２ｘ＋４ｚ＝５ｚꎻ④ｘｙ＝２ꎻ⑤ｘ＋ｙ３＋ｙ＝０ꎻ⑥ｘ＋ｙ＋ｚ＝１ꎻ⑦１ｙ＋ｘ＝４ꎬ是二元一次方程的有( Ｂ ) Ａ.２个Ｂ.３个Ｃ.４个Ｄ.５个 (２)下列方程组中是二元一次方程组的是( Ａ ) Ａ.ｘ＋ｙ＝４２ｘ＋３ｙ＝７{Ｂ.２ａ－３ｂ＝１１５ｂ－４ｃ＝６{ Ｃ.ｘ２＝９ｙ＝２ｘ{Ｄ.ｘ＋ｙ＝８ｘ２－ｙ＝４{ (３)方程ｘ∣ａ∣－１＋(ａ－２)ｙ＝２是关于ｘꎬｙ的二元一次方程ꎬ则ａ的值为 －２ . 分析:(１)(２)按二元一次方程(组)的定义即可得解ꎻ(３)要注意未知项
的次数为１ꎬ且系数不为０ꎬ则有∣ａ∣－１＝１且ａ－２≠０ꎬ解之即得.二元一次方程(组)解的含义及运用【例２】填选题: (１)已知一个二元一次方程组的解是ｘ＝－１ｙ＝－２{ꎬ则这个方程组是( Ｃ ) Ａ.ｘ＋ｙ＝－３ｘｙ＝２{Ｂ.ｘ＋ｙ＝－３ｘ－２ｙ＝１{ Ｃ.２ｘ＝ｙｘ＋ｙ＝－３{Ｄ.ｘ＋ｙ＝０３ｘ－ｙ＝５{ (２)已知ｘ＝２ｙ＝－１{是方程组ｍｘ＋ｙ＝３ｘ－ｎｙ＝６{的解ꎬ则ｍ＝ ２ ꎬｎ＝ ４ . 分析:(１)用验证法即可排除ꎬ要注意Ａ选项不是二元一次方程组ꎻ(２)若知道方程(组)的解ꎬ则直接代入相关方程ꎬ则可求出相应字母的值. 解:(１)Ｃꎻ(２)２ꎬ４.特定条件下的二元一次方程组的解【例３】求二元一次方程３ｘ＋２ｙ＝１９的正整数解. 分析:观察方程特点ꎬ发现２ｙ是偶数ꎬ则３ｘ应是奇数ꎬ故ｘ应是奇数ꎬ故让ｘ＝１ꎬ３ꎬ５即可得到相应的ｙ值. 解:由已知得ｙ＝１９－３ｘ２ꎬ∴当ｘ＝１时ꎬｙ＝８ꎻ当ｘ＝３时ꎬｙ＝５ꎻ当ｘ＝５时ꎬｙ＝２ꎻ∴方程的正整数解为ｘ＝１ｙ＝８{ꎬｘ＝３ｙ＝５{ꎬｘ＝５ｙ＝２{.１.下列方程组中是二元一次方程组的是( Ｄ )Ａ.ｘｙ＝１ｘ＋ｙ＝２{Ｂ.５ｘ－２ｙ＝３１ｘ＋ｙ＝３{Ｃ.２ｘ＋ｚ＝１３ｘ－ｙ＝１５{Ｄ.ｘ＝５ｘ２＋ｙ３＝７{２.(２０１６临沂)为了绿化校园ꎬ３０名学生共种７８棵树苗.其中男生每人种３棵ꎬ女生每人种２棵ꎬ该班男生有ｘ人ꎬ女生有ｙ人.根据题意ꎬ所列方程组正确的是( Ｄ )Ａ.ｘ＋ｙ＝７８３ｘ＋２ｙ＝３０{Ｂ.ｘ＋ｙ＝７８２ｘ＋３ｙ＝３０
