22.3 实际问题与一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
（3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.
（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍.
（5）答:就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化;
(2)充分运用题目中所给的条件;
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系;
①利用题目中的关键语句作为相等关系;
②利用公式、定理作为等量关心;
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
例题选讲
例1 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛.x个队每两个队之间都要比赛一场总共比赛的场次为1(1)2xx场.依题意有: QPCAB1(1)742xx
整理得:2560xx
解方程得:128,7xx
根据问题的实际意义,27x不符合题意.
∴8x
答: 比赛组织者应邀请8个队参赛.
评注：在近年的中考试题中,常常出现一些贴近生活,生产的实际问题,解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句“译”出来.实际问题的解不仅要满足所列方程,还应该符合题目中的每一个条件.
22.3实际问题与一元二次方程（1）
教学内容
由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际 问题.
教学目标
掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题.
通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关 系”建立数学模型，并利用它解决实际问题.
重难点关键
1 •重点：用“倍数关系”建立数学模型
2 .难点与关键：用
教学过程
一、复习引入
（学生活动）问题
下表是某一周甲、
格）:
星期 -一- -二二 三 四 五
甲 12元 12.5 元 12.9 元 12.45 元 12.75 元
乙 13.5 元 13.3 元 13.9 元 13.4 元 13.75 元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手
续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加 200元，？星期三比星期二增加 1300
元，这人持有的甲、乙股票各多少股？
老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各 X、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是 乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加 期三比星期二增加1300元，便可列出等式.
解：设这人持有的甲、乙股票各
则 p5x + (72)y=200
l0.4x+0.6y =1300
答：（略）
二、探索新知
上面这道题大家都做得很好，
型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模 型解应用题呢？请同学们完成下面问题.
（学生活动）问题2:某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1万台，第一季度生产
电视机的总台数是 3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
老师点评分析：直接假设二月份、 三月份生产电视机平均增长率为 x. ?因为一月份是
22．3实际问题与一元二次方程（第一课时）
◆随堂检测
1、一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
2、某商品原价200元，连续两次降价a％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）
A．2002(1%)a=148 B．2002(1%)a=148
C．200(12%)a=148 D．2002(1%)a=148
3、某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）
A．100pp B．p C．1001000pp D．100100pp
4、某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为m千克，•第二年的产量为_______千克，第三年的产量为_______千克，三年总产量为_______千克．
5、据报道，我国农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，某地区2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定该地区每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率.(取2≈1.41)
◆典例分析
某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，•以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（•用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
九年级（上）数学预习稿
22.3实际问题与一元二次方程-----面积、体积问题
活动1（课本P47探究3）
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度 (结果保留小数点后一位) ?
专题1：如何理解正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形？
专题2：本题有哪些等量关系？
专题3：如何设未知数，根据等量关系列出方程？你有哪几种方法？
专题4：解方程并得出结论，对比各种方法各有什么特点？
活动2 某中学为方便师生活动，准备在长30米，宽20米的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3:2，若余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则道路的宽应为多少？
专题1：本题有哪些等量关系？由这些等量
关系你能得到什么新的等量关系？
专题2：你想如何利用这些等量关系？如何列出方程？
专题3：比较活动1和活动2的图，它们有什么联系与区别？从中受到什么启发？
