广东广州市普通高中2018届高三上学期数学期末模拟试题+03+Word版含答案

（第9题图）2018届高三上学期数学期末模拟试题05满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分） 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数sin 2y x =的最小正周期为 ．2．已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =>，则A B = ．3．若(12i)(i)z a =--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ． 4．若数列{}n a 的通项公式为3n a n =+(*)N n ∈，则12lim4n n n a a n++∞+=→ ．5．若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P （1, 2)，则b 的值为_________．6．已知1tan 2α，1tan()3βα-=-,则tan(2)βα-的值为 ．7．已知直线1l ：20x ay ++=和2l ：(2)360a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a = ．8．91()x x+的展开式中5x 的系数是 （用数字作答）．9．执行右边的程序框图，若10p =,则输出的S = ．10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球,其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于 ．11．已知⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，且函数()()F x f x x a =+-有且仅有两个零点，则实数a 的取 值范围是 ．12．已知函数()x f x a =(0a >且1a ≠）满足(2)(3)f f >，若1()f x -是()f x 的反函数,则关于x 的不等式1(1)1f x -->的解集是 ．13．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m （m >0）到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ．FD 1C 1B 1A 1DCBA E14．已知命题“若22()f x m x =,2()2g x mx m =-，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅"是假命题,则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑,选对得5分，否则一律得零分． 15．在四边形ABCD 中,AB DC =,且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形16．已知1z =且z ∈C ,则|22i |z --（i 为虚数单位)的最小值是 （ )A ．22B ．2C ．122+D ． 122-17．若矩阵12341234a a a a b b b b ⎛⎫⎪⎝⎭满足下列条件:①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4};②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 A ．24 B ．48C ．144D ．28818．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4三、解答题(本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为线段1DD ，BD 的 中点．（1）求三棱锥E ADF -的体积； （2）求异面直线EF 与BC 所成的角．N P MDCBA20．(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中,角A , B , C 的对边分别为a , b ， c ，且A ， B ， C 成等差数列． （1）若3AB BC ⋅=-，且b =,求a c +的值; （2）若sin cos AM A，求M 的取值范围．21．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示,ABCD 是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ,要求：B 在AM 上，D 在AN 上,对角线MN 过C 点， 且矩形AMPN 的面积小于150平方米．（1）设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米,试用解析式将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分6分．给定椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F ，其短轴的一个端点到点F（1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与y 轴正半轴的交点P 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个交点，求12,l l 的方程；（3）若点A 是椭圆C 的“准圆”与x 轴正半轴的交点，,B D 是椭圆C 上的两相异点，且BD x ⊥轴，求AB AD ⋅的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数()y f x =与常数,a b ,若(2)()f x af x b =+恒成立，则称(,)a b 为函数)(x f 的一个“P 数对”．设函数)(x f 的定义域为R +，且(1)3f =．（1）若(1,1)是()f x 的一个“P 数对”，求10(2)f ；（2）若(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，且当[1,2)x ∈时()f x =(2)k x -，求()f x 在区间2[1,2)n (*)N n ∈上的最大值与最小值;(3）若()f x 是增函数，且(2,2)-是()f x 的一个“P 数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①(2)n f -与22n -+(*)N n ∈；②()f x 与22x +1((2,2],*)N n n x n --∈∈．E A BCDA 1B 1C 1D 1F参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．π； 2．(2,3)； 3．2； 4．12; 5．4 6．1-； 7．3； 8．36； 9．81； 10．47; 11．(,1]-∞ 12．(1,1)a -； 13．6448(,)2525； 14．(7,0)-． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分,否则一律得零分． 15．A 16．D 17．C 18．B三、解答题(本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分,第2小题满分6分． 解：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中， ∵F 是AC 的中点， ∴112122CDFADC S S ∆∆==⨯=, ………………3分 又CE ⊥平面ABCD ，即CE ⊥平面CDF ，故11111333E CDF CDF V S CE -∆=⋅=⋅⋅=,所以三棱锥E ADF -的体积为13．………………6分（2）连1BD ，由E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点,可得EF ∥1BD ，故1D BC ∠即为异面直线EF 与BC 所成的角． ………………… 8分 ∵BC ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂≠平面11CDD C ,∴1BC CD ⊥， 在Rt △1BCD 中，2BC =,1D C =∴11tan D CD BC BC∠==1D BC ∠= 所以异面直线EF 与BC所成的角为 ………………………… 12分 20．（本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴2,B A C =+ 又A B C π++=，∴3B π=， …………………………2分由3AB BC ⋅=-得，2cos33c a π⋅=-,∴6ac = ① ………………………4分 又由余弦定理得2222cos ,3b ac ac π=+-∴2218a c ac =+-，∴2224a c += ② ………………………6分 由①、②得,6a c += ……………………………………8分 （2)sin sin cos AM A A A=-NPM D CB A 2sin()3A π=- ……………………………………11分由（1）得3B π=，∴23A C π+=,由203C A π=->且0A >，可得20,3A π<<故333A πππ-<-<，所以2sin()(3A π-∈，即M的取值范围为(． …………………………14分 21．(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得DN DCNA AM=， ∴46x x AM -=，即64x AM x =-，……………………3分 故264x S AN AM x =⋅=-， ………………………5分 由261504x S x =<-且4x >，可得2251000x x -+<，解得520x <<，故所求函数的解析式为264x S x =-,定义域为(5,20)． …………………………………8分（2）令4x t -=,则由(5,20)x ∈，可得(1,16)t ∈,故2266(4)166(8)x t S t t t +===++ …………………………10分8)96≥=， …………………………12分当且仅当16t t=，即4t =时96S =．又4(1,16)∈，故当4t =时，S 取最小值96．故当AN 的长为8时,矩形AMPN 的面积最小，最小面积为96(平方米）…………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：(1）由题意知c =a ==可得1b =，故椭圆C 的方程为2213x y +=，其“准圆”方程为224x y +=． ………………4分（2）由题意可得P 点坐标为(0,2)，设直线l 过P 且与椭圆C 只有一个交点，则直线l 的方程可设为2y kx =+,将其代入椭圆方程可得 ………………6分223(2)3x kx ++=，即22(31)1290k x kx +++=，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得1k =±， ………………8分 所以直线1l 的方程为2y x =+，2l 的方程为2y x =-+,或直线1l 的方程为2y x =-+,2l 的方程为2y x =+．………………10分(3）由题意,可设(,),(,)B m n D m n -(m <,则有2213m n +=，又A 点坐标为(2,0)，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分又m <，故243()[0,732m -∈+,所以AB AD ⋅的取值范围是[0,7+． …………………………16分 23．（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知(2)()1f x f x =+恒成立，令2(*)N k x k =∈, 可得1(2)(2)1k k f f +=+,∴数列{(2)}k f 是公差为1的等差数列,故100(2)(2)10f f =+,又0(2)3f =，故10(2)13f =． ………………………………3分 （2)当[1,2)x ∈时，()(2)f x k x =-，令1x =，可得(1)f k =，由(1)3f =可得3k =,即[1,2)x ∈时,()3(2)f x x =-， …………………………………4分 可知()f x 在[1,2)上的取值范围是(0,3]．又(2,0)-是()f x 的一个“P 数对”，故(2)2()f x f x =-恒成立， 当1[2,2)k k x -∈(*)N k ∈时，1[1,2)2k x -∈，()2()4()24x xf x f f =-==…11(2)()2k k x f --=-, …………………………………6分故当k 为奇数时,()f x 的取值范围是1(0,32]k -⨯；当k 为偶数时，()f x 的取值范围是1[32,0)k --⨯． ……………………………8分 由此可得()f x 在2[1,2)n 上的最大值为2232n -⨯，最小值为2132n --⨯．………………10分 (3）由(2,2)-是()f x 的一个“P 数对”，可知(2)2()2f x f x =-恒成立,即1()(2)12f x f x =+恒成立， 令12k x =(*)N k ∈，可得1111()()1222k k f f -=+， …………………12分即1111()2[()2]222k k f f --=-(*)N k ∈，又01()2(1)212f f -=-=，∴11{()2}2k f --是一个等比数列，∴11()21()22n n f -=⨯，所以(2)22n n f --=+． …………………………………15分 当1(2,2](*)N n n x n --∈∈时，由()f x 是增函数，故11()(2)22n n f x f --≤=+，又12222222n n x --+>⨯+=+，故有()22f x x <+．…………………………………18分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

广州市2018届高三上学期第一次调研测试理科数学2017．12本试卷共5页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则A B =IA ．{}1-B ．{}1,0-C ．{}1,3-D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()12i 1i z +=-，则z =A ．25B ．35CD3．在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =A ．2B ．3C ．2-D ．3-4．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．4C ．5D ．65．912x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为22226．在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是 A ．sin x -B ．cos xC ．sin xD ．cos x -7．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A ．23B ．12C ．16D ．138．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种10．()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A ．6πB ．12πC ．4π D ．3π 11．在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为12．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足① ()00f =；② 当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③ 当120x x <<，且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()32132f x x x =-+；()2e 1x f x x =--；()()3ln 1,0,0;2,x x f x x x ⎧-+≤⎪= ⎨>⎪⎩ ()411,0,2120,0.x x x f x x ⎛⎫+≠ ⎪-⎝⎭=⎧⎪=⎨⎪⎩则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(),2x x =-a ，()3,4=b ，若a b P ，则向量a 的模为________． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若201822a =，则2017201912a a +的最小值为________． 15．过抛物线C ：22(0)y px p => 的焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点．若6AF =，3BF =，则p 的值为________．16．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，cos (2)cos a B c b A =-． （1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA P ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若直线 PC 与平面ABCD 所成的角为o45，求二面角D CE P --的余弦值．19.（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该EDBCAP台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式∑∑∑===----=ni i ni i ni iiy y x x y yx x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20.（本小题满分12分）如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221y x a b+=()0a b >>的上焦点为1F ，椭圆C 的离心率为12 ，且过点261,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B （B 不在y 轴上），垂直于l 的直线与l交于点M ，与x 轴交于点H ，若110F B F H •=u u u r u u u u r，且MO MA =，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln bf x a x x=+()0a ≠．（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩，（α为参数），将曲线1C 经过伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩，后得到曲线2C ．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos sin 100ρθρθ--=．（1）说明曲线2C 是哪一种曲线，并将曲线2C 的方程化为极坐标方程；（2）已知点M 是曲线2C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()||f x x a =+． （1）当1=a 时，求不等式()211f x x ≤+-的解集；（2）若函数()()3g x f x x =-+的值域为A ，且[]2,1A -⊆，求a 的取值范围．2018届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题二．填空题13．10 14．4 15．4 16．11π三、解答题 17．（1）解法1：由已知，得cos cos 2cos a B b A c A +=．由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，…………………………………………1分即sin()2sin cos A B C A +=．…………………………………………………………………………2分因为sin()sin()sin A B C C π+=-=，…………………………………………………………………3分所以sin 2sin cos C C A =．………………………………………………………………………………4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =．………………………………………………………………………5分因为0A <<π，所以3A π=．…………………………………………………………………………6分解法2：由已知根据余弦定理，得()222222222a c b b c a a c b ac bc+-+-⨯=-⨯．……………………1分即222b c a bc +-=．……………………………………………………………………………………3分所以2221cos 22b c a A bc +-==．…………………………………………………………………………5分 因为0A <<π， 所以3A π=．…………………………………………………………………………6分（2）解法1：由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224bc b c +=+，………………………………………………………………………………………7分即2()34b c bc +=+．……………………………………………………………………………………8分因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………9分所以223()()44b c b c +≤++． 即4b c +≤（当且仅当2b c == 时等号成立）．……………………………………………………11分所以6a b c ++≤．故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分解法2：因为2sin sin sin a b c R A B C ===，且2a =，3A π=，所以b B =，c C =．…………………………………………………………………8分所以)2sin sin a b c B C ++=+22sin sin 33B B ⎡π⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦………………………9分 24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………10分因为203B π<<，所以当3B π=时，a b c ++取得最大值6． 故△ABC 周长a b c ++的最大值为6．………………………………………………………………12分18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA P ，且12OF PA =， 因为DE PA P ，且12DE PA =，所以OF DE P ，且OF DE =．………………………………………………………………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分（2）解法1：因为直线 PC 与平面ABCD 所成角为o45，所以ο45=∠PCA ，所以2AC PA ==．………………………………………………………………7分所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形． 设BC 的中点为M ，连接AM ，则AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系xyz A -（如图）．则()20,0，P ，()01,3，C ，()12,0，E ，()02,0，D ， ()21,3-=，PC ，()11,3，-=CE ，()10,0，=DE ．…………………………9分设平面PCE 的法向量为{}111,,x y z n =，则0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n n即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 11,y =令则11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．……………………………………………………………10分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，则0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．…………11分设二面角D CE P --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos cos ,4θ⋅=-=-==-⋅n m n m n m．所以二面角D CE P --的余弦值为46-．…………………………………………………………12分解法2：因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45o，且⊥PA 平面ABCD ，所以45PCA ∠=o，所以2==AC PA ．………………………………………………………………7分因为2AB BC ==，所以∆ABC 为等边三角形． 因为⊥PA 平面ABCD ，由（1）知//PA OF ， 所以⊥OF 平面ABCD ．因为⊂OB 平面ABCD ，⊂OC 平面ABCD ，所以⊥OF OB 且⊥OF OC ． 在菱形ABCD 中，⊥OB OC ．以点O 为原点，OB ，OC ，OF 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系-O xyz （如图）．则(0,0,0),(0,1,2),(0,1,0),((-O P C D E ，则(0,2,2),(1,1),(1,0)=-=-=-u u u r u u u r u u u rCP CE CD ．……………………………………………9分设平面PCE 的法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,CP CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即11111220,0.y z y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11=y ，则111,1.y z =⎧⎨=⎩，则法向量()0,1,1=n ．……………10分设平面CDE 的法向量为222(,,)x y z =m ，则0,0,CE CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m即222220,0.y z y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令21=x，则220.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩则法向量()1,=m ．………………………………………………z OyxPACBDE11分设二面角--P CE D 的大小为θ，由于θ为钝角，则cos cos ,θ⋅=-=-==⋅n m n m n m．所以二面角--P CE D的余弦值为．…………………………………………………………12分19．解：（1）由已知数据可得24568344455,455x y ++++++++====．……………………1分因为51()()(3)(1)000316ii i xx y y =--=-⨯-++++⨯=∑，………………………………………2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ………………………………………………3分==…………………………………………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分②安装2台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元，当30<X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y=2×3000=6000元，故Y的分布列为所以20000.260000.85200EY=⨯+⨯=元．………………………………………………………9分③安装3台光照控制仪的情形：当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元，当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元，当30<X≤70时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元，故Y的分布列为所以10000.250000.790000.14600EY=⨯+⨯+⨯=元．………………………………………11分综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分20．解：（1）因为椭圆C的离心率为12，所以12ca=，即2a c=．……………………………………1分又222+a b c=，得22=3b c，即2234b a=，所以椭圆C的方程为2222134y xa a+=．把点⎛⎝⎭代人C中，解得24a=．………………………………………………………………2分所以椭圆C的方程为22143y x+=．……………………………………………………………………3分（2）解法1：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=．…………………………………………………………4分设(),A A A x y ， (),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+，…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+．所以2221268,3434k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭……………………………………………………………………………6分因为MO MA =，所以M 在线段OA 的中垂线上， 所以1M y =，因为2M M y kx =+，所以1M x k =-，即1,1M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．………………………………7分设(,0)H H x ，又直线HM 垂直l ，所以1MH k k =-，即111H k x k=---．…………………………8分所以1H x k k =-，即1,0H k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………………9分又()10,1F ，所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，11,1F H k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ． 因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以2221249034341k k k k k k --⎛⎫⋅-= ⎪+⎝⎭-+，………………………………………10分解得283k =．……………………………………………………………………………………………11分12分解法2：设直线l 的斜率为k ，则直线l 方程+2y kx =，由222,1,34y kx x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩得()2234120k x kx ++=，…………………………………………………………4分设(),A A A x y ，(),B B B x y ，则有0A x =，21234B kx k -=+．…………………………………………5分所以226834B k y k -+=+． 所以21221249,3434k k F B k k ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭u u u r ，()1,1H F H x =-u u u u r．…………………………………………………6分因为110F B F H ⋅=u u u r u u u u r ，所以21234H kx k -⋅+2249034k k --=+，解得29412H k x k -=．………………………7分因为MO MA =u u u u r u u u r ，所以()22222M M M M x y x y +=+-，解得1M y =．………………………………8分 所以直线MH 的方程为219412k y x k k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．………………………………………………………9分联立22,194,12y kx k y x k k =+⎛⎫-=--⎧ ⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎩解得()22920121M k y k +=+．……………………………………………10分由()229201121M k y k+==+，解得283k =．………………………………………………………………11分12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()222a x af x x x x+'=+=．………………………………1分① 当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增， (2)分取10e ax -=，则211e 1e 0a af --⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………3分（或：因为00x <<01e x <时，所以()200001ln ln ln 0ef x a x x a x a a a =+<+<+=．） 因为()11f =，所以()()010f x f <g ，此时函数()f x 有一个零点．………………………………4分②当0a <时，令()0f x '=，解得x =当0x <<()0f x '<，所以()f x 在⎛ ⎝上单调递减；当x >()0f x '>，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．要使函数()f x 有一个零点，则ln 02af a ==即2e a =-．………………………5分综上所述，若函数()f x 恰有一个零点，则2e a =-或0a >．………………………………………6分（2）因为对任意121,,e ex x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()12e 2f x f x -≤-成立，因为()()()()12max min f x f x f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()max min e 2f x f x -≤-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………………………………………………………………7分因为0a b +=，则a b =-．所以()ln b f x b x x =-+，所以()()11bb b x b f x bx x x---'=+=． 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增，()()min 11f x f ==⎡⎤⎣⎦，………………8分因为1e e bf b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()e e bf b =-+，所以()()max 1max ,e e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎡⎤⎨⎬ ⎪⎣⎦⎝⎭⎩⎭． (9)分设()()1e e e2e bbg b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0b >，则()e e220bbg b -'=+->=．所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=，所以()1e e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．从而()maxf x =⎡⎤⎣⎦()e e bf b =-+．………………………………………………………………………10分所以e 1e 2b b -+-≤-即e e 10bb --+≤，设()=e e 1bb b ϕ--+()0b >，则()=e 1bb ϕ'-．当0b >时，()0b ϕ'>，所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10bb --+≤，即为()()1b ϕϕ≤，解得1b ≤．……………………………11分因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），因为2.x x y y '=⎧⎨'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .x y αα'=⎧⎨'=⎩，．………………………………………………2分所以2C 的普通方程为224x y ''+=．……………………………………………………………………3分所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分所以2C 的极坐标方程为24ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分曲线2C 上的点M 到直线l的距离+)10|d απ-==8分 当cos +=14απ⎛⎫ ⎪⎝⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d2-．……………9分当cos +=14απ⎛⎫- ⎪⎝⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d+10分解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252|1000|=--=d ，…………………………7分因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分②当112x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分③当12x ≥-时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分综上可知，原不等式的解集为{1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分（2）解法1：①当3a ≤时，()3,3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪-≥-⎩ (6)分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤．………………………………………………………7分②当3a >时，()3,,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪=++-<<-⎨⎪-≥-⎩…………………………………………………8分所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨-≥⎩，，解得5a ≥．………………………………………………………9分综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，…………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ． 所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩，，解得1a ≤或5a ≥．所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．…………………………………………………10分。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

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