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嘉兴市2017—2018学年第一学期期末检测
高三数学试题卷（2018.1）
参考公式
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1．已知集合，，则
A．B．
C．D．
2．若复数，为虚数单位，则
A．B．C．D．
3．点到直线的距离是
A．B．C．1D．
4．已知是非零实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．实数满足，若的最小值为1，则正实数
A．2B．1C．D．
6．某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的表面积(单位：)是A．
B．
C．正视图侧视图
D．
俯视图
（第6题）
7．函数的图象与直线相切，则实数
A．B．1C．2D．4
8．若在内有两个不同的零点，则和
A．都大于1B．都小于1
C．至少有一个大于1D．至少有一个小于1
9．设点是双曲线与圆在第一象限的交点，是双曲线的两个焦点，且，则双曲线的离心率为
A．B．C．13D．
10．如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点.设，．
①四边形一定是菱形；
②平面；
（第10题）
③四边形的面积在区间上具有单调性；
④四棱锥的体积为定值.
以上结论正确的个数是
A．4B．3C．2D．1
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共7小题，多空题6分，单空题4分，共36分）
11．各项均为实数的等比数列，若，，则▲，公比▲．12．已知，则项的二项式系数是▲；
▲.
13．已知函数，则的单调递增区间是▲；
▲．
14．直角中，，为边上的点，且，则▲；若
，则▲．
15．在锐角中，内角所对的边分别是，若，
则的取值范围是▲．
16．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出3个，则取出的编号互不相同的概率是▲．
17．已知实数满足,则的取值范围是▲．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题14分）
已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设函数，求的值域．
（第18题）
19．（本题15分）
已知函数，（为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若是的极值点，求实数的值；
（Ⅱ）求的单调递增区间．
20．（本题15分）
如图，在矩形中，点在线段上，，，沿直线将翻折成，使点在平面上的射影落在直线上.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
（第20题）
21．（本题15分）
如图，为半圆的直径，点是半圆弧上的两点，，．曲线经过点，且曲线上任意点满足：为定值.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求面积最大时的直线的方程．
（第21题）
22．（本题15分）
已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的，都有
①；
②（）．
嘉兴市2017—2018学年第一学期期末检测
高三数学参考答案（2018.1）
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．D；2．B；3．A；4．D；5．C；
6．B；7．C；8．D；9．A；10．B
二、填空题（本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．3，；12．15，64；13．，3；14．4，；
15．；16．；17．．
三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本题14分）
（Ⅰ）由图象得周期，所以；
又由，得；所以.
（Ⅱ）
，因为，，，
所以的值域为．
19．（本题15分）
（Ⅰ）
由，得，此时是的极小值点.
（Ⅱ）由，得或.
①当时，，的单调递增区间是；
②当时，，的单调递增区间是；
③当时，，的单调递增区间是.
20．（本题15分）
如图，在矩形中，点在线段上，，.沿直线将翻折成，使点在平面上的射影落在直线上.
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
（第20题）
20．（Ⅰ）证明：在线段上取点，使，连接交于点.
正方形中，，翻折后，，，
又，平面，
又平面，平面平面
又平面平面，
点在平面上的射影落在直线上，
又点在平面上的射影落在直线上，
点为直线与的交点，
平面即平面，直线平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得是二面角的平面角的平面角.
，在矩形中，可求得，.
在中，，
二面角的平面角的余弦值为.
21．（本题15分）
如图，为半圆的直径，点是半圆弧上的两点，，．曲线经过点，且曲线上任意点满足：为定值.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与曲线交于不同的两点，求
面积最大时的直线的方程．
21．（Ⅰ）根据椭圆的定义，曲线是以为焦点的椭圆，
其中，.（第21题）
，
，，曲线的方程为；
（Ⅱ）设过点的直线的斜率为，则.
由得，
，
