00020-高等数学(一)自考历年真题
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2012年10月高等教育自学考试《高等数学(一)》试题
课程代码:00020
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分) 1.在区间),0(+∞内,下列函数无界的是( B )。
A .x sin
B .x x sin
C .x x cos sin +
D .)2cos(+x
2.已知极限2211lim e x bx
x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+∞
→,则=b ( D )。
A .1
B .2
C .3
D .4
3.设函数)(x f 二阶可导,则极限=⎪⎭
⎫
⎝⎛∆-∆-→∆bx
x x x f x x f )(')2('lim 000( C )。
A .)(''0x f -
B .)(''0x f
C .)(''20x f -
D .)(''20x f
4.函数
C x F dx x f +=⎰)()(,则=⎰xdx x f cos )(sin ( C )。
A .C x x F +sin )(sin
B .
C x x f +sin )(sin
C .C x F +)(sin
D .C x f +)(sin
5.函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在,则该函数在点),(00y x 处必( A )。 A .有定义 B .极限存在 C .连续 D .可微
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
6.已知函数x x x f +=12)(,则复合函数=)]([x f f x x
314+。 7.极限()=⋅+∞→x
x x 1
sin 1ln lim 0 。
8.某产品产量为q 时总成本2
200
1200)(q q C +=,则100=q 时的边际成本为 1 。
9.极限=-→x
x x x ln 1
lim
1 1 。 10.设函数x
x
y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。
11.已知直线l 与X 轴平行且与曲线x
e x y -=相切,则切点坐标为 (0,-1) 。 12.函数)1ln()(2
x x f +=在区间[-1,2]上最小值为 0 。 13.设函数⎰
=
Φx
tdt t x 20
cos )(,则=Φ)('x x x 2cos 4。
14.求函数)arcsin(2
2
y x z +=的定义域为12
2
≤+y x 。 15.设函数)(2
e x z +=,则
=∂∂)
0,1(y
z 4 。
三、计算题(一)(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
16.求极限x
x
x x sin 11lim
0--+→。
解:原极限x
x x x
x sin )11(2lim 0
-++=→ (3分)
=1. (5分)
17.已知函数)(x f 可导,且)(sin )(,)0('x f x g a f ==,求)0('g 。 解:x x f x g cos )(sin ')('=, (3分) a f g ==)0(')0('。 (5分) 18.设函数)0(1>=x x y x
,求dy 。
19.设函数)(x f 在区间I 上二阶可导,且0)(''>x f ,判断曲线)
(x f e
y =在区间I 上的凹
凸性。
20.计算不定积分⎰
+dx x x )1cos(2。
四、计算题(二)(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
21.设函数x
x
x y -=
ln 的单调区间与极值。
22.求微分方程0)(=--dy dx y x 满足初始条件10
-==x y
的特解。
23.计算二重积分⎰⎰=
D
dxdy y x
y I sin
,其中 区域D 由其线1,0,===y x x y 围成。
五、应用题(本大题9分)
24.过点(1,2)作抛物线12
+=x y 的切线,设该切线
与抛物线及y 轴所围的平面区域为D. (1)求D 的面积A ;
(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积x V 。
六、证明题(本大题5分)
25.设函数)(x f 可导,且0)0(,cos sin )(sin '2
=-
=f x x x f ,证明1ln 2
1)(2
-=x x f 。