2021年高中数学人教A版必修3综合测试题含答案 10

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

章末综合检测(三)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x －y ＝0的倾斜角为( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°解析：选A.由于直线的斜率为1，所以tan α＝1，即倾斜角为45°.故选A. 2．若三点A (0，8)，B (－4，0)，C (m ，－4)共线，则实数m 的值是( ) A ．6 B ．－2 C ．－6D ．2解析：选C.由于A 、B 、C 三点共线，所以k AB ＝k AC ， 所以8－00－（－4）＝8－（－4）－m ，所以m ＝－6，故选C.3．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D.由斜截式可得直线方程为y ＝－x －1，化为一般式即为x ＋y ＋1＝0. 4．已知点A (2m ，－1)，B (m ，1)且|AB |＝13，则实数m ＝( ) A ．±3 B ．3C ．－3D ．0 答案：A5．已知A (2，4)与B (3，3)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y －6＝0 D ．x －y ＋1＝0解析：选D.由已知得直线l 是线段AB 的垂直平分线，所以直线l 的斜率为1，且过线段中点⎝⎛⎭⎫52，72，由点斜式得方程为y －72＝x －52，化简得x －y ＋1＝0.故选D.6．直线l 过点A (3，4)且与点B (－3，2)的距离最远，那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C.由于过点A 的直线l 与点B 的距离最远，所以直线AB 垂直于直线l ，直线l 的斜率为－3，由点斜式可得直线l 的方程为3x ＋y －13＝0.故选C.7．三直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y －12＝0，2x －y －1＝0相交于一点，则a 的值是( ) A ．－2 B ．－8 C ．8D ．1解析：选B.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12＝0，2x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.故三条直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2.将其代入直线方程ax ＋2y ＋8＝0.解得a ＝－8.故选B.8．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．－6＜k ＜2B ．－16＜k ＜0C ．－16＜k ＜12D ．k ＞12解析：选C.两直线联立，求出交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＋22k ＋1，6k ＋12k ＋1， 又由于交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋22k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.9．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若A ，C 的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2，0)或(4，6)B ．(2，0)或(6，4)C ．(4，6)D ．(0，2)解析：选A.设B 点坐标为(x ，y )，依据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·y －3x －3＝－1，（x －3）2＋（y －3）2＝＝（0－3）2＋（4－3）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，所以B (2，0)或B (4，6)．10．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，－16 B ．⎝⎛⎭⎫12，－16 C.⎝⎛⎭⎫12，16D ．⎝⎛⎭⎫－12，16 解析：选B.接受赋值法．令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝⎛⎭⎫12，－16，此即为直线所过的定点．故选B. 11．已知点A (－1，－2)，B (2，3)，若直线l ：x ＋y －c ＝0与线段AB 有公共点，则直线l 在y 轴上的截距的取值范围是( ) A ．[－3，5] B ．[－5，3] C ．[3，5]D ．[－5，－3]解析：选A.直线l ：x ＋y －c ＝0表示斜率为－1的一族平行直线，所以把点A 、B 代入即可求得在y 轴上的截距的取值范围：代入点A 得c ＝－3，所以直线在y 轴上的截距为－3，同理代入点B 得直线在y 轴上的截距为5.12．如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最终经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．3 3D ．2 5解析：选A.易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A ′(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A ′(－2，0)两点间的距离．于是|A 1A ′|＝（4＋2）2＋（2－0）2＝210.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为________． 解析：直线的斜率k ＝2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，解得m ＝2或m ＝3.当m ＝2时，m 2－4＝0，直线的斜率不存在， 此时倾斜角为90°. 所以m ＝3.答案：3 14．已知直线l 1：mx ＋4y －2＝0与l 2：2x －5y ＋n ＝0相互垂直，且垂足为(1，p )，则m －n ＋p 的值为________． 解析：由于l 1⊥l 2，所以2m ＋4×(－5)＝0，解得m ＝10； 又由于点(1，p )在l 1上，所以10＋4p －2＝0，即p ＝－2； 又由于点(1，p )也在l 2上，所以2－5×(－2)＋n ＝0， 即n ＝－12. 所以m －n ＋p ＝20.答案：2015．已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．解析：设C (x ，y )，则AB ：x ＋y －2＝0，|AB |＝22，点C 到直线AB 的距离d ＝|x ＋y －2|2.又由于点C 在y ＝x 2上，所以d ＝|x ＋x 2－2|2.令S △ABC ＝12×22×|x ＋x 2－2|2＝2.解得x ＝0，－1，－1－172，－1＋172.所以满足条件的点有4个．答案：416．已知a ，b ，c 为某始终角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：m 2＋n 2＝(（m －0）2＋（n －0）2)2，设P (m ，n )，则|OP |2＝m 2＋n 2，明显|OP |的最小值即为点O到直线ax ＋by ＋2c ＝0的距离d ，且d ＝|2c |a 2＋b 2＝2c a 2＋b2＝2cc ＝2.所以m 2＋n 2的最小值为d 2＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0， (1)若b ＝0，且l 1⊥l 2，求实数a 的值；(2)当b ＝3，且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．解：(1)当b ＝0时，直线l 1的方程为ax ＋1＝0，由l 1⊥l 2，知a －2＝0，解得a ＝2.(2)当b ＝3时，直线l 1的方程为ax ＋3y ＋1＝0，当l 1∥l 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3（a －2）＝0，3a －1≠0，解得a ＝3，此时，直线l 1的方程为3x ＋3y ＋1＝0， 直线l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，即3x ＋3y ＋9＝0. 故所求距离为d ＝|1－9|9＋9＝423. 18．(本小题满分12分)已知直线l 过点P (－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 的方程．解：明显，直线l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形．设l 的斜率为k ，则k ≠0，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3； 令y ＝0，得x ＝－3k－2.于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为 12|(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫－3k －2|＝4， 即(2k ＋3)⎝⎛⎭⎫3k ＋2＝±8， 解得k ＝－12或k ＝－92.所以l 的方程为y －3＝－12(x ＋2)或y －3＝－92(x ＋2)，即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若点B 的坐标为(1，2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A 的坐标为(－1，0)．又直线AB 的斜率k AB ＝1，x 轴是∠A 的平分线， 所以k AC ＝－1，则AC 边所在的直线方程为 y ＝－(x ＋1)．①又已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率k BC ＝－2， 所以BC 边所在的直线方程为y －2＝－2(x －1)．②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6，即顶点C 的坐标为(5，－6)．20．(本小题满分12分)已知点A (0，3)，B (－1，0)，C (3，0)，试求点D 坐标使四边形ABCD 为等腰梯形．解：设所求D 点坐标为(x ，y )，(1)若AD ∥BC ，|AB |＝|CD |，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，（0＋1）2＋（3－0）2＝（x －3）2＋y 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去)(2)若AB ∥CD ，|BC |＝|AD |， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －0x －3＝3－00＋1，（－1－3）2＋02＝x 2＋（y －3）2.解得⎩⎨⎧x ＝165，y ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.(不合题意，舍去)综上，得点D 的坐标为(2，3)或⎝⎛⎭⎫165，35.21．(本小题满分12分)已知直线l ：3x －y －1＝0及点A (4，1)，B (0，4)，C (2，0)．(1)试在l 上求一点P ，使|AP |＋|CP |最小； (2)试在l 上求一点Q ，使|||AQ |－|BQ |最大．解：(1)如图①，设点C 关于l 的对称点为C ′(a ，b )，则b －0a －2＝－13，且3·a ＋22－b ＋02－1＝0，解得C ′(－1，1)，所以直线AC ′的方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，3x －y －1＝0得l 与直线AC ′的交点P ⎝⎛⎭⎫23，1，此时|AP |＋|CP |取最小值为5.(2)如图②，设点B 关于l 的对称点为B ′(m ，n )，则n －4m －0＝－13，且3·m ＋02－n ＋42－1＝0，解得B ′(3，3)，所以直线AB ′的方程为2x ＋y －9＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0得AB ′与l 的交点Q (2，5)，此时||AQ |－|BQ ||取最大值为 5.22．(本小题满分12分)A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A 、B 两工厂之间距离500 m ，且位于小河同侧．把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？解：如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 则点A (0，400)，点B (a ，100)． 过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400，所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)，由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320，即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。

() A.a∈P
B.{a}∈P
然数，而集合 P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，
所以 a∉P，只有 D 正确.
答案 D
3.(老教材必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且 y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
规律方法 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或 区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利 用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要 把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
A.{1，－1}
B.{1，－1，0}
C.1，－1，－34
D.－1，－34
(2)设集合 A＝{x|(x－a)2<1}，且 2∈A，3∉A，则实数 a 的取值范围为________.
解析 (1)由定义，当x＝0时，z＝1， 当 x＝－2 时，z＝1－2＋－12＝－1 或 z＝2－2－1＝－34.
因此 P⊙Q＝1，－1，－34. (2)由题意得（（32－－aa））22≥<11，，解得1a<≤a2<或3，a≥4. 所以1<a≤2. 答案 (1)C (2)(1，2]
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则
实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{－1}
B.{1}
C.{－1，1}
D.{－1，0，1}
(2)(2020·长沙长郡中学模拟)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋ 2m2<0(m>0)}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )

章末综合检测(二)[同学用书单独成册](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α解析：选B.由于已知两条不相交的空间直线a和b，所以可以在直线a上任取一点A，则A∉b，过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a⊂α，b∥α.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为() A．30°B．60°C．90°D．120°解析：选B.易知m，n所成的角与二面角的大小相等，故选B.3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方风光上的射影可能是()解析：选B.分别考虑该六边形在左、右侧面，前、后侧面及上、下底面上的投影，即可发觉选项B正好是上、下底面上的投影．4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()解析：选A.A中，由于CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB与CD 夹角的正切值为 2.5．如图所示，将无盖正方体纸盒开放，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．相交成60°解析：选D.如图所示，△ABC为正三角形，故AB，CD相交成60°.6．如图，在四周体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD 所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°解析：选D.取BC的中点H，连接EH，FH，则∠EFH为所求，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，从而可得∠EFH＝30°.7．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论肯定正确的是() A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排解选项A和C.若l4＝DC1，也满足条件，可以排解选项B.故选D.8．已知直二面角α-l-β，A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.62B．52C.63 D ．53解析：选C.如图，作DE ⊥BC 于点E ，由α-l -β为直二面角，AC ⊥l ，得AC ⊥β，进而AC ⊥DE ，又BC ⊥DE ，BC ∩AC ＝C ，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离．在Rt △BCD 中，利用等面积法得DE ＝BD ·DC BC＝1×23＝63.9．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面AC ，且P A ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( ) A.292B ．135C.175D ．1195解析：选B.如图，过点A 作AE ⊥BD 于点E ，连接PE . 由于P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AE ＝A ，所以BD ⊥平面P AE ， 所以BD ⊥PE .由于AE ＝AB ·AD BD ＝125，P A ＝1，所以PE ＝1＋⎝⎛⎭⎫1252＝135.10．在等腰Rt △A ′BC 中，A ′B ＝BC ＝1，M 为A ′C 的中点，沿BM 把它折成二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C -BM -A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 解析：选C.如图所示，由A ′B ＝BC ＝1，∠A ′BC ＝90°，得A ′C ＝ 2. 由于M 为A ′C 的中点，所以MC ＝AM ＝22，且CM ⊥BM ，AM ⊥BM ， 所以∠CMA 为二面角C -BM -A 的平面角． 由于AC ＝1，MC ＝AM ＝22， 所以∠CMA ＝90°.11．已知P 是△ABC 外一点，P A ，PB ，PC 两两相互垂直，P A ＝1 cm ，PB ＝2 cm ，PC ＝3 cm ，则△ABC的面积为( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：选A.如图，作PD ⊥AB 于点D ，连接CD . 由于PC ⊥P A ，PC ⊥PB ，P A ∩PB ＝P ， 所以PC ⊥平面P AB ，则PC ⊥AB ，PC ⊥PD ， 又AB ⊥PD ，PC ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面PCD ，则AB ⊥CD .在Rt △P AB 中，P A ＝1 cm ，PB ＝2 cm ，则AB ＝ 5 cm ，PD ＝25cm.在Rt △PCD 中，PC ＝3 cm ， 则CD ＝PC 2＋PD 2＝9＋45＝75(cm)． 所以S △ABC ＝12AB ·CD ＝12×5×75＝72(cm 2)．12．动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于点M ，N .设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选B.取AA 1的中点E 和CC 1的中点F ，连接EF ，则MN 在平面BFD 1E 内平行移动，且MN ∥EF ，当P 点移动到BD 1的中点时，MN 有唯一的最大值，排解答案A ，C ；当P 点移动时，由于总保持MN ∥EF ，所以x 与y 的关系是线性的(例如：取AA 1＝1，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，32时，x 32＝y 3⇒y ＝2x .同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤32，3时，有3－x 32＝y 3⇒y ＝23－2x ，排解答案D)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过P 点的两条直线AC ，BD 分别交α于点A ，B ，交β于点C ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为________．解析：若点P 在平面α，β的同侧，由于平面α∥平面β，故AB ∥CD ，则P A PC ＝ABCD ，可求得CD ＝20；若点P 在平面α，β之间，可求得CD ＝4.答案：20或414．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 渐渐远离点A 时，∠PCB 的大小________．(填“变大”“变小”或“不变”)解析：由于直线l 垂直于平面ABC ，所以l ⊥BC ，又∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面APC ，所以BC ⊥PC ，即∠PCB 为直角，与点P 的位置无关．答案：不变15．已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件________时，有m ∥β；(2)当满足条件________时，有m ⊥β.解析：利用线面平行和垂直的相关学问得出，由③⑤⇒m ∥β；由②⑤⇒m ⊥β. 答案：(1)③⑤ (2)②⑤ 16. (2022·马鞍山质检)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1∶2∶3；③以正方体的顶点为顶点的四周体的体积都是16；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是π6.其中正确命题的序号为________．解析：①设对角线AC 1与平面A 1BD 相交于点M ，则AM ⊥平面A 1BD ，所以13AM ·34×(2)2＝13×12×1×1×1，解得AM ＝33＝13AC 1，设对角线AC 1与平面B 1CD 1相交于点N ，则NC 1⊥平面B 1CD 1，所以13C 1N ·34×(2)2＝13×12×1×1×1，解得C 1N ＝33＝13AC 1，因此对角线AC 1被平面A 1BD 和平面B 1CD 1三等分，①正确；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为12、22、32，因此它们的表面积之比为4π·⎝⎛⎭⎫122∶4π·⎝⎛⎭⎫222∶4π·⎝⎛⎭⎫322＝1∶2∶3，②正确； ③以A 1，B ，D ，C 1为顶点的三棱锥的体积为V ＝13－4×16＝13，不是16，③不正确；④正方体与以A 为球心，1为半径的球的公共部分的体积为V ＝18×4π3×13＝π6，④正确．答案：①②④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E 、F 、G 分别是BC 、DC 、SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 证明：(1)如图，连接SB ，由于E 、G 分别是BC 、SC 的中点， 所以EG ∥SB .又由于SB ⊂平面BDD 1B 1， EG ⊄平面BDD 1B 1， 所以直线EG ∥平面BDD 1B 1. (2)连接SD ，由于F 、G 分别是DC 、SC 的中点， 所以FG ∥SD .又由于SD ⊂平面BDD 1B 1，FG ⊄平面BDD 1B 1， 所以FG ∥平面BDD 1B 1，且EG ⊂平面EFG ， FG ⊂平面EFG ，EG ∩FG ＝G ，所以平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 18．(本小题满分12分)如图，△ABC 和△BCD 所在平面相互垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D -BCG 的体积． 解：(1)证明：由已知得， △ABC ≌△DBC ，因此AC＝DC.又G为AD的中点，则CG⊥AD.同理BG⊥AD，又由于CG∩BG＝G，因此AD⊥平面BCG.由题意，EF为△DAC的中位线，所以EF∥AD.所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内作AO⊥CB，交CB的延长线于O(图略)，由于平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以AO⊥平面BCD.又G为AD的中点，因此G到平面BCD的距离h ＝12AO.在△AOB中，AO＝AB sin 60°＝3，所以V D­BCG＝V G­BCD＝13S△BCD×h.又在△BCD中，连接BF，则BF⊥DC，得BF＝BC cos 60°＝1，所以DC＝2FC＝23，所以S△BCD＝12DC·BF＝3，所以V D­BCG＝13×3×32＝12.19．(本小题满分12分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)求异面直线AC与EM所成角的大小；(2)求证：平面BDE⊥平面BCD.解：(1)由于M为DB的中点，如图，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN∥DC，且MN＝12DC，又由题图知，AE∥DC，AE＝12DC，所以MN∥AE，且MN＝AE，所以四边形ANME为平行四边形，所以AN∥EM，所以EM与AC所成的角即为AN与AC所成的角．在Rt△ABC中，∠CAN＝45°，所以异面直线AC与EM所成的角为45°.(2)证明：由(1)知EM∥AN，又由于平面BCD⊥底面ABC，AN⊥BC，所以AN⊥平面BCD，所以EM⊥平面BCD.由于EM⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面BCD.20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又由于AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.由于AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，且CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又由于AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)法一：由于A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.又由于CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又由于CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，且CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又由于AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.法二：由(1)知，AD⊥平面BCC1B1，由于BC⊂平面BCC1B1，所以AD⊥BC.由于A1B1＝A1C1，所以AB＝AC.所以D为BC的中点．连接DF(图略)，由于F是B1C1的中点，所以DF BB 1AA1.所以四边形ADF A1是平行四边形．所以A1F∥AD.由于AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.21．(本小题满分12分)如图(1)，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD ＝22，M，N分别为AD和BC 的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使两个半平面所成二面角为60°，如图(2)．(1)求证：BO⊥DO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．解：(1)证明：翻折前，由于M，N是矩形ABCD的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，DM⊥MN，折叠后垂直关系不变，所以∠AMD是两个半平面所成二面角的平面角，所以∠AMD＝60°.连接AD，由AM＝DM，可知△MAD是正三角形，所以AD＝ 2.在Rt△BAD中，AB＝2，AD＝2，所以BD＝6，由题可知BO＝OD＝3，由勾股定理可知三角形BOD 是直角三角形，所以BO⊥DO.(2)如图，设E，F分别是BD，CD的中点，连接EF，OE，OF，BC，又BD＝6，BC＝2，CD＝2，所以DC⊥BC，则EF⊥CD.又OF⊥CD，所以CD⊥平面OEF，OE⊥CD.又BO＝OD，所以OE⊥BD，又BD∩CD＝D，所以OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面BOD，所以平面BOD⊥平面ABCD.过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则OH是AO在平面BOD 的投影，所以∠AOH为AO与平面BOD所成的角．又AH是Rt△ABD斜边上的高，所以AH＝233，又OA＝3，所以sin∠AOH＝AHOA＝23.故AO与平面BOD所成角的正弦值为23.22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中(即侧棱垂直于底面的三棱柱)，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1­CD­C1的大小为60°.解：(1)证明：由于∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，所以B1C1⊥A1C1，又由直三棱柱的性质知B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥CD，由AA1＝BC＝2AC＝2，D为AA1中点，可知DC＝DC1＝2，所以DC2＋DC21＝CC21＝4，即CD⊥DC1，又B1C1⊥CD，所以CD⊥平面B1C1D，又CD⊂平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)当AD＝22AA1时二面角B1­CD­C1的大小为60°.假设在AA1上存在一点D满足题意，由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥CD.如图，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线于点E，连接EB1，由于B1C1∩C1E＝C1，所以CD⊥平面B1C1E，所以CD⊥EB1，所以∠B1EC1为二面角B1­CD­C1的平面角，所以∠B1EC1＝60°.由B1C1＝2知，C1E＝233.设AD＝x，则DC＝x2＋1，由于△DCC1的面积为1，所以12x2＋1×233＝1，解得x＝2，即AD＝2＝22AA1，所以在AA1上存在一点D满足题意．。