二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质:
2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质:
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质:
二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,
处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2)
三、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?,其中2424b ac b h k a a -=-=
,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定
其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们
选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,
、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,
,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.
五、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.
当2b x a <-
时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时,y 有最小值2
44ac b a
-.
2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当
2b x a <-
时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值2
44ac b a
-.
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写
成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a
-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.
⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.
ab 的符号的判定:对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0 3. 常数项c ⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况: 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式. 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---; ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =---; 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+; ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =++; 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2 y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°) 2 y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-; ()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2 y a x h k =--+. 5. 关于点()m n , 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适 的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式. 二次函数图像参考: 十一、 2-3 2 y=-2x 2 y=3(x+4)2 2 y=3x 2 y=-2(x-3)2 【例题精讲】 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图像。 分析:画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标,并求它的单调区间。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个: (1) 配方法;如例3 (2) 公式法:适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4,可避免出错。 任何一个函数都可配方成如下形式:)0(44)2(2 2≠-++=a a b a c a b x a y 【二次函数题型总结】 1.关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(2 32 ++-=+-mx x m y m m 是二次函数, 那么m 的值为 。 例 2 抛物线 4 22-+=x x y 的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。 2.关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示, 则a 、b 、c ,?,c b a ++,c b a +-的符号 为 , 例 4 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax 2+bx +c 的图像的顶点可能在( ) (A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (B ) (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 3.确定二次函数的解析式 例5 已知:函数c bx ax y ++=2的图象如图:那么函数解析式为( ) (A )322 ++-=x x y (B )322 --=x x y (C )322+--=x x y (D )322---=x x y 4.一次函数图像与二次函数图像综合考查 例6 已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ). -1 O X=1 Y X 3 o -1 3 y x 例7 如图:△ABC是边长为4的等边三角形,AB在X轴上,点C在第一象限,AC与Y 抛物线c bx ax y+ + =2 经过B、C、D三点,求它的解析式; 6 4 2 -6 510 D O C A B 【练习题】 一、选择题 1. 二次函数247 y x x =--的顶点坐标是( ) A.(2,-11) B.(-2,7) C.(2,11) D. (2,-3) 2. 把抛物线2 2 y x =-向上平移1个单位,得到的抛物线是() A. 2 2(1) y x =-+ B. 2 2(1) y x =-- C. 2 21 y x =-+ D. 2 21 y x =-- 3.函数2 y kx k =-和(0) k y k x =≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数2(0) y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当1 x=和3 x=时,函数值相等;③40 a b +=④当2 y=-时, x的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象 可知关于x 的一元二次方程2 0ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和( ) A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示,则点(,)ac bc 在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 7.方程2 2 2x x x -= 的正根的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为 A. 2 2y x x =-- B. 2 2y x x =-++ C. 22y x x =--或2 2y x x =-++ D. 22y x x =---或2 2y x x =++ 二、填空题 9.二次函数2 3y x bx =++的对称轴是2x =,则b =_______。 10.已知抛物线y=-2(x+3)2+5,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______. 11.一个函数具有下列性质:①图象过点(-1,2),②当x <0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大;满足上述两条性质的函数的解析式是 (只写一个即可)。 12.抛物线2 2(2)6y x =--的顶点为C ,已知直线3y kx =-+过点C ,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数2 241y x x =--的图象是由2 2y x bx c =++的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB 上离中心M 处5米的地方,桥的高度是 (π取3.14). 三、解答题: 15.已知二次函数图象的对称轴是30x +=,图象经过(1,-6),且与y 轴的交点为(0,52 -). (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x 为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值y 随x 的增大而增大? 第15题图 16.某种爆竹点燃后,其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式2 012 h v t gt =- (0 计算.这种爆竹点燃后以v 0=20米/秒的初速度上升, (1)这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15米? (2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内,判断爆竹是上升,或是下降,并说明理由. 17.如图,抛物线2 y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ,此抛物线与x 轴的另一个交点为C ,抛物线顶点为D. (1)求此抛物线的解析式; (2)点P 为抛物线上的一个动点,求使APC S ?:ACD S ?=5 :4的点P 的坐标。 二次函数图象性质及应用(讲义) ?课前预习 回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识,回答下列 问题: 1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说,a,b,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当时,开口向; 当时,开口向. c 是抛物线与交点的. b 的符号:与a ,根据可推 导.判断下面函数图象的a,b,c 符号: (1)已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限,那么() A.a > 0,b > 0,c > 0 C.a < 0,b < 0,c > 0 B.a < 0,b < 0,c = 0 D.a > 0,b > 0,c = 0 (2)二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示,其对称轴为直线x=-1,给出下列结论:①abc>0;②2a-b=0.其中正确的是. 2.函数y 值比大小,主要利用函数的增减性和数形结合.如点 A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b 上,当k>0,x1<x2时,y1y2. 1 ?知识点睛 1.二次函数对称性:两点对称,则相等;纵坐标相等, 则两点;由(x1,y1),(x2,y1)知,对称轴为直线.2.二次函数增减性:y 值比大小、取最值,常利用, 借助求解. 3.观察图象判断a,b,c 符号及组合: ①确定符号及信息; ②找特殊点的,获取等式或不等式; ③代入不等式,组合判断残缺式符号. ?精讲精练 1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表: x -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x,纵坐标y 的对应值 如下表: x …-2 -1 0 1 2 … y …0 4 6 6 4 … 从上表可知,下列说法中正确的是.(填写序号) ①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0); ②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6; ③抛物线的对称轴是直线x =1 ; 2 ④在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大. 3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 .若x ≥2 时,函数值y 随 x 的增大而增大,则m 的取值范围是;若x≤1 时,函数值y 随x 的增大而减小,则m 的取值范围是. 4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中,若y 随x 的增大而增大, 则x 的取值范围是. 2 二次函数草图的画法: 1. 一般草图 1找准开口方向、对称轴、顶点坐标,画二次函数; 2根据各点与对称轴的距离描点(或结合函数间关系画图).2. 坐标系下画草图时,往往要根 据四点一线来确定大致图 象.四点:二次函数顶点,二 次函数与y 轴的一个交点,二 次函数与x 轴的两个交点. 一线:二次函数对称轴. § 3.4一元二次函数的图象和性质 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义; 2、会用描点法画出二次函数的图象; 3、掌握二次函数的两种表达形式:一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式; 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值; 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c (a、b、c是常数,a≠0)其特点是:解析式是自变量的整式表达式,自变量最高次数是二次,二次项系数必须不为零。当b=c=0时,就是一个特殊的二次函数y=ax2(a≠0),我们首先学习的就是这类最简单的二次函数,y=ax2的图象是一条顶点在原点,对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上,函数有最小值当x=0时,最小值是0;当a<0时,抛物线的开口向下,函数有最大值当x=0时,最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k (a≠0),顶点的坐标为(h,k),对称轴为x=h,当 a>0时,抛物线开口向上,此时,当x=h时y有最小值为k;当a<0时,抛物线开口向下,此时当x=h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件,分别求二次函数的解析式: ⑴顶点为(2,3),图象经过点(0,1) ⑵当x=4时,函数有最小值-3,且图象经过点(1,0) ⑶对称轴为x=2,图象经过(1,4),(5,0) ⑷形状与y=3x2相同,当x=-1时,y有最大值2 巩固练习: 1.二次函数y=2x 2-4x+3通过配方化为顶点式为y=______. 2.将函数y=-2x 2 +8x -7,写成y=a (x -h )2 +k 的形式为_______,其顶点坐标是______,对称轴是_______. 3.已知抛物线y=x 2-6x+5的部分图象如图1,则抛物线的对称轴为直线x=_______.?满足y<0的x 的取值范围是________,将抛物线y=x 2-6x+5向________平移______?个单位,可得到抛物线y=x 2 -6x+9. 4.老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质: 甲:函数的图像经过第一、二、四象限;乙:当x <2时,y 随x 的增大而减小. 丙:函数的图像与坐标轴... 只有两个交点. 已知这三位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________. 5.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 . 6.如图,如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,? 与y 轴交于C 点,且OB=OC= 12 OA ,那么b= _______________. 7.以下画抛物线y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的步骤,顺序正确的是( ) ①利用函数的对称性列表;②确定抛物线的开口方向;③描点画图;?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a (x -h )2+k 的形式 A .③②①④ B .④②①③ C .②④①③ D .③②④① 8.把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,则有( ) A .b=3,c=7 B .b=-9,c=-15 C .b=3,c=3 D .b=-9,c=21 9.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2,则下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③a> 12 ;④b<1.其中正确的结论是( ) A .①② B .②③ C .②④ D .③④ 10.满足a<0,b>0,c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的( ) 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗? 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0二次函数图象性质及应用(讲义及答案)
一元二次函数的图像和性质
二次函数的图象和性质
二次函数的图像及性质
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像和性质总结