函数的连续性与间断点

无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x

x0
x0
要使 f (0) f (0 ) f (0), a 1,
故，当且仅当 a 1时，f (x)在x 0处连续.
11
二、函数的间断点
1. 间断点（不连续的点）
o
设 f (x) 在U (x0, )内有定义.
若 f (x)具有下列三种情形之一：
(1) 在 x x0 无定义；
(2)
在x
x0
有定义，但
o
x
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例 9 讨论 f (x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 f (x) 在x 0处没有定义,
且 limsin 1不存在.
x0
x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
y sin 1 x
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例10 求
f
(
x)
x3 sin
x x
,
ln(1
x)
sin
1 x2 1,
例6
讨论
x, f (x) 1 x,
x 0, 在 x 0处的连续性. x 0,
解: f (0 ) 0, f (0 ) 1, f (0 ) f (0 ),
x 0 为跳跃间断点.
y
o
x
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(2) 可去间断点
若 f (x) 在间断点 x0 处的左右极限存在相等，则称 x0 为 f (x)的可去间断点 .
9
例3 证明 y sin x 在区间(, )内连续.
证 任取 x (, ),
y sin(x x) sin x 2sin x cos( x x)
2
2
cos( x x) 1, y 2 sin x .
2
2
对任意的，当 0时，有 sin ，

并且, lim sin x = sin x0
x → s x = cos x0
x→x0
所以, 多项式及正, 余弦函数在任何点x0处连续.
一、函数的连续点与间断点
x, 当x ≥ 0时, 在x = 0处连续. 例1. 证明f ( x) =| x |= − x, 当x < 0时,
0
x→ x0
间断点有2类： 跳跃间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)存在但不相等； 第一类间断点： 可去间断点： f ( x)存在但 lim f ( x) ≠ f ( x ).或f ( x )无定义 lim 0 0 x → x0 x → x0 第二类间断点：f ( x0 + 0), f ( x0 − 0)中至少有一不存在.
第 二 类 间 断 点
0
x0
y
y
x
0
x 振荡型
无穷型
一、函数的连续点与间断点
lim f ( x) ≠ f ( x0 )或f ( x0 )无定义
+ 0 − 0
间 断 点
可去间断点
x → x0
跳跃间断点 xlim f ( x ) ≠ xlim f ( x ) →x →x 无穷间断点
f ( x ) 在 x 0点 左 右 极 限 至 少 有 一 个 为 无 穷 大
x →0
故, f (x)在x=0间断. 图形为
y 1 o –1
y=f (x)
x
一、函数的连续点与间断点
若f (x)在(a, b)内每一点连续, 则称f (x)在 开区间(a, b)内连续.
若f (x)在(a, b)内连续, 且f (x)在x=a右连续. 在x=b左连续. 则称f (x)在闭区间[a, b]上连续.

函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。

如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。

如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。

如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。

二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。

（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。

如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。

如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。

如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。

如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。

至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。

历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。