上海市上海中学2014-2015学年高一下学期数学练习(三)试卷

杨浦高级中学2014学年度第二学期期中测试高一数学试卷2015.4一、填空题（每小题3分，共36分）1．角α的终边经过点()43P -，,则2sin cos αα-= ．2．扇形的圆心角为π3，它所对的弦长是3cm ，则此扇形的面积为 2cm ．3．已知α是第三象限角，且71sin π25α⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则()()()3sin πcos 2πtan π2πcot 3πsin 2ααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．4．如果2sin 3α=,1cos 4β=-，α与β为同一象限角，则()cos αβ-= ． 5．已知θ是第二象限角，且445sin cos 9θθ+=,则sin 2θ= ．6．化简222ππsinsin sin 66ααα⎛⎫⎛⎫-++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．7．在ABC △中，2a =，3b =，sin A =ABC △的面积是 ．8．在ABC △中，若sin sin sin 324A B C =∶∶∶∶,则cos C = ．9．若1tan 22α=,则sin cos αα+= ．10．若tan α，tan β是方程2330xx --=的两个根，则()()()()22sin 3sin cos 3cos αβαβαβαβ+-++-+的值为 ．11．方程sin lg x x =的解的个数有 个．12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()cos sin cos sin sin cos x x xf x x x x⎧=⎨>⎩，≤，,给出以下结论: ①()f x 是周期函数; ②()f x 的最小值为1-；③当且仅当2πx k =,k ∈Z 时,()f x 取得最小值； ④当且仅当()π2π21π2k x k -<<+，k ∈Z 时,()0f x >；⑤()f x 的图像上相邻两个最低点的距离是2π， 其中正确的结论序号是 ． 二、选择题（每题4分共16分） 13．有下列命题：①终边相同的角的同名三角比的值相等; ②终边不同的角的同名三角比的值不相符； ③若sin 0α>则α是第一、二象限角;④若α是第二象限角，点()P x y ，是角α终边上一点,则cos α=．其中正确命题的个数有A ．1B ．2C ．3D ．4 14．下列四个命题中的假命题是A ．存在α和β,使得()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+B ．不存在无限多个α和β，使得()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+C ．对于任意的α和β,都有()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-D ．不存在α和β,使得()cos cos cos sin sin αβαβαβ+≠-15．已知π5sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,且π2π63α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则πsin 12α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 A ．BC ．D16．函数sin sin y x x =-的值域是A ．[]0B ．[]11-，C ．[]01，D ．[]22-， 三、解答题（共48分）17．（8分）已知θ是第四象限角，且1sin cos 5θθ+=，求值：（1）sin cos θθ-； （2）tan θ． 18．(8分)已知ππ42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，19．（10分）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离CD =米（如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗?看台D CBA20．（10分）已知函数()ππ2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，（1)求()f x 的最小正周期；(2）求函数()f x 的最大值及此时x 的集合．21．（12分)已知()sin 23sin αββ+=，设tan x α=,tan y β=，()y f x =．(1）求证：()tan 2tan αβα+=； （2）求()f x 的解析式；（3）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数()f x 的值域．。

2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为cm．3．（4分）若cosα=﹣，则=．4．（4分）若cosα=﹣，，则=．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．6．（4分）函数的单调递减区间为．7．（4分）函数的定义域为．8．（4分）函数y=的值域为．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是．二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．415．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．2014-2015学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，其终边上有一点P（5，﹣12），则secα=．【解答】解：由题意可得x=5，y=﹣12，r=|OP|=13，∴cosα==，∴secα=．故答案为：．2．（4分）已知扇形的圆心角为2弧度，面积为9cm2，则该扇形的弧长为6cm．【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，则：r2===9．解得r=3∴扇形的弧长为l=rα=3×2=6l=rα=3×2=6cm．故答案为：6．3．（4分）若cosα=﹣，则=．【解答】解：∵cosα=﹣，则=﹣cosα=，故答案为：．4．（4分）若cosα=﹣，，则=﹣．【解答】解：∵cosα=﹣，，∴sinα==，∴=cosαcos+sinαsin==﹣故答案为：﹣．5．（4分）已知等腰三角形顶角的余弦值为，则这个三角形底角的正切值为．【解答】解：设等腰三角形顶角为α，则这个三角形底角为=﹣，且cosα=﹣，∴α为钝角．再根据cosα=﹣=2﹣1，求得cos=，∴sin=，tan=，∴这个三角形底角的正切值为tan（﹣）=cot==，故答案为：．6．（4分）函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：由题意可得：y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），由正弦函数的单调性可知y=sin（2x﹣）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即[kπ﹣，kπ+]，k∈Z所以y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．7．（4分）函数的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．【解答】解：∵函数，∴，解得，即﹣4≤x＜﹣π或0＜x＜π；∴y的定义域为[﹣4，﹣π）∪（0，π）．故答案为：[﹣4，﹣π）∪（0，π）．8．（4分）函数y=的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．【解答】解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，可直接得到：y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．解法一：原函数变形为，∵|cosx|≤1，∴，∴y≥3或．则函数的值域为（﹣∞，]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[3，+∞）．9．（4分）在△ABC，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则角B=．【解答】解：∵在△ABC，=，由正弦定理===2R得：=，∴=，∴sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB，又在△ABC，B+C=π﹣A，∴sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又B∈（0，π），∴B=．故答案为：．10．（4分）若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为．【解答】解：设x=a与f（x）=sinx的交点为M（a，y1），x=a与g（x）=cosx的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案为：．11．（4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）=4sin（x﹣）．【解答】解：由图象知A=4，T=2[4﹣（﹣2）]=12，则T==12，即ω=，则f（x）=4sin（x+φ），由五点对应法得×4+φ=0，即φ=﹣，故f（x）=4sin（x﹣），故答案为：f（x）=4sin（x﹣）．12．（4分）为了使函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则ω的取值范围是[，）．【解答】解：若函数y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]上仅出现10次最大值，则满足9T+≤1，且10T+＞1，即T且T＞，即＜T≤，＜≤，解得≤ω＜，故答案为：[，），二、选择题（每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，既是奇函数，又是以π为周期的函数是（）A．y=x3tanx B．y=|sinx|C．y=﹣2sinxcosx D．y=tan|x|【解答】解：由于y=x3tanx为偶函数，故排除A；由于y=|sinx|是偶函数，故排除B；由于y=﹣2sinxcosx=﹣sin2x是奇函数，且还是以π为周期的函数，故满足条件；由于y=tan|x|是偶函数，故排除D，故选：C．14．（5分）在△ABC中，下列命题中，真命题的个数为（）①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；②∠A＞∠B是cosA＜cosB的充要条件；③∠A＞∠B是tanA＞tanB的充要条件；④∠A＞∠B是cotA＜cotB的充要条件．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∠A＞∠B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故①∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件成立，故①正确，；②y=cosx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cosA＜cosB，反之也成立，故②正确；③若∠A=120°，∠B=45°，满足∠A＞∠B，但tanA＞tanB不成立，即充分性不成立，故③错误；④y=cotx在（0，π）上为减函数，∴∠A＞∠B⇒cotA＜cotB，反之也成立，故④正确；故真命题的个数为3，故选：C．15．（5分）要得到y=cos（2x﹣）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：∵y=cos（2x﹣）=sin[（2x﹣）+]=sin（2x+），∴若函数y=sin2x=f（x），则函数g（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]=f（x+）．因此，将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，可得y=sin（2x+）的图象，即函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=cos（2x﹣）的图象．故选：A．16．（5分）已知a是实数，则函数f（x）=1+asinax的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于振幅大于1时，三角函数的周期为：，∵|a|＞1，∴T＜2π，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期小于2π．对于选项A，a＜1，T＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选：D．三、解答题（共5题，共计52分）17．（8分）作出函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象，并写出函数的单调区间（不必证明）【解答】解：作函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|，的图象如下，结合图象可知，函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在（，π）上单调递增，在（π，）上单调递减．18．（10分）已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2α﹣2cos2α．【解答】解：∵由=3得tanα=，于是：（1）====3；（2）sin2α﹣2cos2α=2sinαcosα﹣2cos2α===﹣．19．（10分）已知函数f（x）=1﹣cos2（x﹣），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x）在上的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=+，由2x+=kπ，k∈Z得所以函数的对称轴为x=﹣，k∈Z．因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以x0=﹣，k∈Z．所以g（x0）=1+sin2（﹣）=1+sin（kπ﹣），若k是偶数，则g（x0）=1+sin（﹣）=，若k是奇数，则g（x0）=1+sin（）=．（2）h（x）=f（x）+g（x）=+cos（2x）+1+sin2x=+sin（2x+）．因为，所以：2x+∈（﹣，），sin（2x+）∈[﹣1，），所以：h（x）∈[1，）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积为，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，求a，b．【解答】解：（1）∵c=2，．∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣ab，①∵△ABC的面积为=absinC=ab，解得：ab=4，②∴②代入①可得：a2+b2=8，从而（a+b）2=a2+b2+2ab=16，解得：a+b=4，③∴由②③可解得：b=2，a=2．（2）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=sin（A+B）∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA，整理可得：cosA（sinB﹣sinA）=0，∴可得：cosA=0或sinB=sinA，∴当cosA=0时，由0＜A＜π，可得A=，又c=2，，可得：b=，a=，当sinB=sinA时，由正弦定理可得：a=b，又c=2，，由余弦定理可得：4=2a2﹣a2，解得：a=b=2．21．（12分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1﹣x）对任意的x∈R恒成立，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．（1）求证：f（x）是以2为周期的函数（不需要证明2是f（x）的最小正周期）；（2）对于整数k，当x∈[2k﹣1，2k+1]时，求函数f（x）的解析式；（3）对于整数k，记M k={a|f（x）=ax在x∈[2k﹣1，2x+1]有两个不等的实数根}，求集合M2015．【解答】解：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）所以：f（x）是以2为周期的函数；（2）∵当x∈[0，1]时，f（x）=x2，函数f（x）是定义在R上的偶函数∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x2，∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x﹣2k）=f（x），k∈Z设x∈[2k﹣1，2k+1]，则x﹣2k∈[﹣1，1]，∴f（x﹣2k）=（x﹣2k）2，即f（x）=（x﹣2k）2，x∈[2k﹣1，2k+1]（k∈Z），（3）当k∈N*，且x∈I k时，方程f（x）=ax化简为x2﹣（4k+a）x+k2=0，设g（x）=x2﹣（4k+a）x+k2，使方程f（x）=ax在I k上有两个不相等的实数根，则，解得0＜a≤，当k=2015时，∴集合M2015=（0，]。

上海中学2014学年第二学期期中考试（时间 90 分钟，满分 100 分）高一年级数学试卷2014年3月一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）1．若2013α=o，则与α具有相同终边的最小正角为 。

2. 已知扇形的圆心角为32π，半径为5，则扇形的面积为 。

3．已知角α的终边经过点()4,3P -，则=αcos 。

4. 函数(02)y x =≤≤π的定义域为 。

5．若22tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα 。

6．若)23,(ππα∈，化简：=+++αααα22cot 1sin tan 1cos 。

7.已知2-=αtan ，则sin(7)5cos(2)33sin()sin()2παπαπαα-+-+--= 。

8.在ABC ∆中,1tan tan <⋅B A ,则这个三角形的形状是 。

9．在ABC ∆中,已知,2,60a b A ===o ，则这样的三角形的有____ ___个。

10．在(0,2)π内，使cos sin tan x x x >>的成立的x 的取值范围是 。

11．凸函数的性质定理为：如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，则对D 内的任意n x x x ,,,21Λ，有n x f x f x f n )()()(21+++Λ12()nx x x f n+++≤L .函数x x f sin )(=在区间),0(π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值为 。

12．方程0cos 2=-x x 的解可视为函数x y cos =的图像与函数2x y =的图像的交点的横坐标，方程012sin102=+-xx x π的实数解的个数为 。

二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）13．“23πα≠”是“tan α≠成立的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件。

建平中学2014学年度第二学期期中考试高一数学试题B 卷2015.4.21一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知()tan cos P αα，在第三象限，则角α的终边在第 象限 2．已知4cos 5α=-，()0πα∈，，则tan α的值是3．已知2强度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是4．若()()1sin πcos π2x x +++=，则sin 2x =5．把)2sin cos x x x +()sin A x ωϕ+（0A >，0ω>，[]02πϕ∈，）的形式；6．若5π7π22α≤≤= 7．函数()πsin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是8．函数ππ2sin cos 36y x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x ∈R ）的最小值为9．已知3ππ4αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，()7sin 25αβ+=-，π4sin 45β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为10．设有向线段MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0MP OM <<；②0OM MP <<；③0OM MP <<；④0MP OM <<，其中正确的是11．已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，60A =︒∠，a 则2c b+的最大值为12．已知函数()πsin 2f x x =，任取t ∈R ，定义集合：（1还是t ？）()()()()(){|t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==，点，，，满足．设t M ，t m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-．则函数()h t 的最大值是 ．二、选择题（每小题3分，共12分） 13．已知α是第一象限角，则2α是A ．第一或第二象限角B ．第一或第三象限角C ．第一或第四象限角D ．第二或第四象限角14．若()()sin cos cos sin m ααβααβ---=，且β为钝角，则cos β的值为A ．BC ．D ．15．若满足30A =︒∠，10BC =的ABC △恰好有不同的两个，则边AB 长的取值范围为A ．()510，B ．()1020，C ．[)20+∞，D ．()[)51020+∞，，∪ 16．设α，β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中的正确的个数是（1）cos sin αβ>（3）cos cos 1αβ+> （2）sin sin αβ+（4）()1tan tan 22αβαβ++<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（8分+10分+12分10+分12+分） 17．已知α是第三象限角，化简：()()()π3πcos cos 2πtan 22cot πsin πααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭----．18．已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos2ααα-+的值．19．在ABC △中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知()cos23cos 1A B C -+=．（1）求角A 的大小；（2）若ABC △的面积S =5b =，求sin sin B C 的值；（3）若1a =，求ABC △的周长l 的取值范围．20．如图，摄影爱好者在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30︒，已知摄影爱好者的身高约为S 距地面的距离SA按OSBA（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB 和立柱的高度OB（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN ，且MN 绕其中点O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN 的视角MSN ∠是否存在最大值？若存在，求出MSN ∠取最大值；若不存在，请说明理由．21．已知0a <，函数()cos f x a x =ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．（1）设t =t 的取值范围，并把()f x 表示为t 的函数()g t ； （2）求函数()f x 的最大值（可以用a 表示）；（3）设1a =-，若对区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内的任意1x ，2x ，若有()()12f x f x m -≤，求实数m 的取值范围．。