考前必记的34个概念、公式Microsoft Word 文档

一、考前必记的34个概念、公式 1．四种命题的相互关系

2．熟记五种常考函数的定义域 (1)当f(x)为整式时，函数的定义域为R. (2)当f(x)为分式时，函数的定义域是使分母不为0的实数集合． (3)当f(x)为偶次方根时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合． (4)当f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为大于0且不为1的实数集合．

(5)当f(x)中有tan x时，则应考虑x≠kπ＋π2(k∈Z)． 3．指数函数与对数函数的对比区分表 解析式 y＝ax(a＞0且a≠1) y＝logax(a＞0且a≠1) 定义域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R

图像 关于直线y＝x对称 奇偶性 非奇非偶 非奇非偶

单调性 0＜a＜1时，在R上是减函数； a＞1时，在R上是增函数 0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数； a＞1 时，在(0，＋∞)上是增函数 4.方程的根与函数的零点 (1)方程的根与函数零点的关系： 由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (2)函数零点的存在性： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方 考前必记的34个概念、公式—1 程f(x)＝0的实数根． 5．导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：C′＝0(C为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)；(sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x；(ex)′＝ex；

(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ln x)′＝1x；

(logax)′ ＝1xln a(a>0且a≠1)． (2)导数的四则运算：(u±v)′＝u′±v′；(uv)′＝u′v＋uv′；uv′＝u′v－uv′v2

(v≠0)． (3)复合函数的导数：[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)，如y＝sin 2x有y′＝2cos 2x. 6．导数与极值、最值 (1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值． (2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”． 7．同角三角函数的基本关系

(1)商数关系：sin αcos α＝tan αα≠kπ＋π2，k∈Z； (2)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．

8．三角函数的诱导公式 (1)sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z. (2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α. (3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.

(4)sinπ2－α＝cos α，cosπ2－α＝sin α， sinπ2＋α＝cos α，cosπ2＋α＝－sin α. 9．三角函数图像的三种基本变换 y＝sin x的图像向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位得到y＝sin(x＋φ)的图像；

y＝sin x图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω倍，得到y＝sin ωx的图 考前必记的34个概念、公式—2 像； y＝sin x图像上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asin x的图像． 10．三角函数的对称中心与对称轴

(1)函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，对称轴为x＝kπ＋π2(k∈Z)．

(2)函数y＝cos x的对称中心为kπ＋π2，0(k∈Z)，对称轴为x＝kπ(k∈Z)． (3)函数y＝tan x的对称中心为kπ2，0(k∈Z)，没有对称轴． 11．三角恒等变换的主要公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β；

sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝2tan α1－tan2α. 12．辅助角公式 asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)， 其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2 . 13．平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb. 两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (3)三个点A，B，C共线⇔AB，AC共线；向量PA、PB、PC中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β，使得PA＝αPB＋βPC，且α＋β＝1. (4)向量的数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则|a|2＝a2＝a·a，a·b＝|a|·|b|·cos θ＝x1x2

＋y1y2，cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝a·b|b|＝x1x2＋y1y2x22＋y22.

14．中点坐标和三角形重心坐标 (1)P1，P2的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， MP1＋MP2＝2MP⇔P为线段P1P2的中点，

中点P的坐标为x1＋x22，y1＋y22. 考前必记的34个概念、公式—3 (2)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)．B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心的坐标是G x1＋x2＋x33， y1＋y2＋y33. 15．an与Sn的关系 (1)对于数列{an}，Sn＝a1＋a2＋„＋an为数列{an}的前n项和．

(2)an与Sn的关系式：an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2. 16．判断等差数列的常用方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 17．判断等比数列的三种常用方法

(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)通项公式法：an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 18．不等式的性质 (1)a＞b，b＞c⇒a＞c. (2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (3)a＞b⇒a＋c＞b＋c. (4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (6)a＞b＞0，n∈N，n≥1⇒an＞bn.

(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒na>nb. 19．一元二次不等式的恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是 a＞0，Δ＜0.

(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是 a＜0，Δ＜0. 20．简单分式不等式的解法 (1)fxgx＞0⇔f(x)g(x)＞0，fxgx＜0⇔f(x)g(x)＜0. 考前必记的34个概念、公式—4 (2)fxgx≥0⇔ fxgx≥0，gx≠0，fxgx≤0⇔ fxgx≤0，gx≠0. (3)对形如fxgx＞a(x≥a)的分式不等式要采取：移项—通分—化乘积的方法转化为(1)或(2)的形式求解． 21．简单几何体的表面积和体积 (1)S直棱柱侧＝ch(c为底面的周长，h为高)．

(2)S正棱锥侧＝12ch′(c为底面周长，h′为斜高)．

(3)S正棱台侧＝12(c′＋c)h′(c与c′分别为上、下底面周长，h′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式： S圆柱侧＝2πrl(r为底面半径，l为母线)， S圆锥侧＝πrl(同上)， S圆台侧＝π(r′＋r)l(r′，r分别为上、下底的半径，l为母线)． (5)体积公式： V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)，

V锥＝13Sh(S为底面面积，h为高)，

V台＝13(S＋SS′＋S′)h(S，S′为上、下底面面积，h为高)． (6)球的表面积和体积公式： S球＝4πR2，V球＝43πR3. 22．空间向量与空间角 (1)夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cosa，b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23

.

推论：(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)． (2)异面直线所成的角：

cos θ＝|cosa，b|＝|a·b||a||b|，其中θ(0°＜θ≤90°)为异面直线a，b所成的角，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量．

(3)直线AB与平面α所成的角β满足：sin β＝|cosAB，m|＝|AB·m||AB||m|(m是平面α的法向量)． 考前必记的34个概念、公式—5