八年级数学培优第十三讲平行四边形与一次函数.doc

第十二讲 平行四边形与一次函数

考点.方法.破译

1. 理解并掌握平行叫边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.

2. 理解三角形中位线定理并会应用.

3. 了解平行四边形是屮心对称阁形.

经典.考题.赏析

【例3】(南昌)如图:在平面直角坐标系巾，有(0,1) ,B

(-1,0) ,C (1,0)三点. ⑴若点£＞与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所 有符合条件的点D 的坐标； ⑵选择⑴中符合条件的一点求直线的解析式.

【解法指导】已知固定的三个点，作平行叫边形应有三种 可

能性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性.

【解】⑴D/ (2，1) D 2(-2, 1) D 3 (0, —1)

⑵若选择£)3(0，一1)，可求得解析式：y=—x —\ 【变式题组】已知固定的三个点，作平行叫边形吋应有三种 可能

性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性.

【解】(1)£＞/(2，1) D 2(-2, 1) D 3 (0, —1)

⑵若选择£b(0, — 1),可求得解析成：y= —x — 1

【变式题组】

3

01.如图，直线^7=— 一;V+3与y 轴交于点与直线/2交于X 轴上同一点B ，直线/2

交y 轴于点C 1，且点C*与点A 关于x 轴对称.

(1)求直线/2的解析式 ：

⑵设D(0, — 1),平行于y 轴的直线分别交直线6和/2于点

E 、F.是否存在f 的值，使得以A 、£＞、£、

F 为顶点的四边形 是平

行叫边形，若存在，求出f 的值；若不存在，请说明理由.1 r v

2 1 -2 -1 0 ■

>4 1 2 . T 「

，1 * C .2 ■ •V

02.如图，在直角坐标系中，（1，0），B （3，0）, P是＞，轴上一动点，在直线jdx • - 2

上是否存在点2,使4、6、P、0为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的0 点的坐标；若不存在，请说明理由.

03.（四川资阳）若一次函数y=2^-l和反比例函数＞，=—的图象都经过点（1，1）.

2x

（1）求反比例函数的解析式；

⑵已知点在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点的坐标；

⑶利用⑵的结果，若点B的坐标为（2, 0），且以点A、0、B、P为顶点的叫边形是

平行四边形，请你直接写出点P的坐标.

【例4】（齐齐哈尔）如图1.在叫边形MCD巾，/U?=CD，£、F分别是BC、4D的中点，连接£F并延长，分别与凡4、C£＞的延长线交于点似、况则（不耑证明）（温馨提示:在阁1屮，连接6D，取的屮点H，连接HE、根据三角形屮位线定理，证明从而Z1 = Z2，再利用平行线性质，可证得）

问题一：如图2,在叫边形中MB与C7）相交于点分别是BC、AD的巾点，连接£厂，分别交DC、AB于A/、判断AOM/V的形状，请直接写出结论.

问题二:如图3,在中，点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AZ）的屮点，连接并延长，与的延长线交于点G，若Z£FC=60°，连接GD，判断MGD的形状并证明.

【解法指导】出现屮点，联想到三角形屮位线是常规思路，因为三角形屮位线不仅能 进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移.

【解】⑴为等腰三角形.

⑵AAGD 为含有30°的直角三角形.

证明：连接取的屮点连接™、EM. 9：AF=FD f BM=MD 丄 AB

同理

MEli - CD. *：AB=CD :.MF=ME,

-2

又•••Z2=Z1=6O° , 为等边三角形，•••Z4=Z3 = 60°，Z5 = 60

••.△AG/7 为等边三角形:.FG=FD ••.ZAZ）G=30°

••.△ACT）为含有30°的直角三角形.

【变式题组】

01.（扬州）如图，己知四边形A5CD 中，/?、P 分别是5C 、CZ ）上的点，

E 、

F 分别是的屮点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点不 动时，那么下列

结论成立的是 （

） 4、线段的长逐渐增大

线段的长逐渐减小 C 、线段£F 的长不变 D 、线段£F 的长与点P 的位置有关

02.如亂在A/1BC 中，A/是BC 的中点，AZ ）是ZA 的平分线，

丄火£> 于 £>,AB=12，AC=22,则 A/D 的长为（ ）.

儿3 BA C.5 D.6

【例5】（浙江竞赛）如图1，在ZV1BC 中，ZC=90°，点M 在

价？上，且Z?A/=z4C ，点yv 在AC 上，且儿与z?yv 相交于点P,求

证：ZBPM=45°.

【解法指导】题屮相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置， 将B

图2 £ 3

C

囲

1

分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题.

=EN 在 AAMC 和 AB£A/屮，AC=BN ，ZBNE= ZC=^)0，ME=MC :./\AMC^/\BEM :.BE=AM=EN, Z3=Z4 VZ1 = Z2, Zl + Z4=90° •••Z2+Z3 = 90°， 为等腰直角三角形，ZBNE=45° , /.ZBPM=45°

方法2:如图3,过B 作连接AF,™也可证得.

【变式题组】

01.如图，在等腰A/1BC 中，延长边到点/），延长C4到点£，连接£>£,若 AD=BC=CE=DE,求

ZBAC 的度数

.

演练巩固反馈提高

05.（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6 得颜

色的花，如果有71B//EF//DC ，BC//GH//AD,那么下列说法错误的是 A.红花，绿花种植而积一定相等

及紫花，橙花种植而积一定相等 C*.红花，蓝花种植面积一定相等 D.蓝花，黄花种植面积一定相等