判别式和根与系数的关系(学生)

一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用

【主体知识归纳】

1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．

2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．

3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab

，x1x2=ac

4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q

【基础知识讲解】

1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系

2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42．

3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．

4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．

5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：

（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；

（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥0

6．判别式有以下应用：

(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；

(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；

(3)应用判别式进行有关的证明． 根与系数的关系有以下应用：

(1)已知一根，求另一根及求知系数；

(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；

(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数

(4)确定方程中字母系数的取值范围

(5)确定根的符号。

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根与系数关系

1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；

2、熟练应用根与系数的关系.

结论：

【知识梳理】

1、 一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。

2、 一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42

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（1）当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即x1＝242bbaca，x2＝242bbaca。

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根即x1＝x2＝2ba。

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]

如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21,xx，那么abxx21,acxx21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商。

➢ 韦达定理的逆定理：

如果实数21,xx满足acxxabxx2121，，那么21,xx是一元二次方程02cbxax的两个根。

利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确。

➢ 韦达定理的两个重要推论：

推论1：如果方程02qpxx的两个根是21,xx，那么pxx21，qxx21。

推论2：以两个数21,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx。

➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：

第三讲 一元二次方程的判别式及根系关系（一）

一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到222424bbacxaa，显然只有当240bac时，方程才有实数根.

一元二次方程根与系数的关系

（1）当ca＜0时，方程的两根必一正一负.若0ba，则次方程的整根不小于负根的绝对值；若ba＜0，则此方程的正根小于负根的绝对值.

（2）当ca＞0时，方程的两根同正或同负.若ba＞0，则此方程的两根均为正根；若ba＜0，则此方程两根均为负根.

一般的结论是：

若12,xx是200axbxca的两根（其中12xx），且m为实数，当0时，一般地：

①120xmxm＜12,xmxm＞＜

②120xmxm＞且120xmxm＞12,xmxm＞＞

③120xmxm＞且120xmxm＜12,xmxm＜＜

特殊是，当m=0时，上述就转化为200axbxca有两异根、两正根、两负根的条件

韦达定理的应用：

（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值

（2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值

（3）已知方程的两根，构造方程

（4）结合根的判别式，讨论根的符号特征

（5）逆用构造一元二次方程辅助解题，当已知等式具有相同的结构时，就可以把两个变元看作某一个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理

（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的是否为非负

【例1】（1）关于x的方程21-22110kxkx，有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

（2）已知a＞0，b＞a+c，判断关于x的方程20axbxc的根的情况，并给出必要的说明.

（3）设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：以下三个方程220axbxc，220bxcxa，220cxaxb，不可能都有2个相等的实数根.

1 金银学校2010年秋期初2011级一诊考试数学复习（二）

“第23章：一元二次方程”

第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）

一．课堂反馈

1．（03泸州）一元二次方程210xx的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.以上说法都不对

2．（04泸州17题）已知：一元二次方程2440(0)kxxk，当k为何值时，方程有两个相等的实数根（ ）A. 12k B.12k C. 1k D. 1k

3．（07泸州）若关于x的一元二次方程02.2mxx没有实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．1m B．1m C．1m D．1m

4．（08泸州）已知关于x的一元二次方程21210kxx有两个不相同的实数根，则k的取值范围是

5．(10安徽芜湖7题)关于x的方程2(5)410axx有实数根，则a满足（ ）

A．1a B．15aa且 C．15aa且 D．5a

6．（03泸州）设12,xx是方程22410xx的两个根，则2212xx= .

7．（10泸州）已知一元二次方程2(31)310xx的两根为12xx，，则1211xx_________.

8．（07泸州）若非零实数)(,baba满足020072aa,020072bb，则ba11____________.

9．（09泸州B4）已知方程11xx的两根为1x、2x，则21xx ．

10．（10日照）如果关于x的一元二次方程20xpxq的两根分别为122,1xx，那么,pq的值分别是（ ） A．－3，2 B 3，-2 C 2，－3 D 2，3