高等数学函数的微分教学ppt

微分

积分

极限函数

第一章函数、极限和连续

第一节函数

一、函数概念

1.函数的定义

设在某个变化过程中有两个变量和, 变量随变量的变

化而变化.

当变量在一个非空实数集合上取某一数值时, 变量依照

某一对应规则总有唯一确定的数值与之对应, 则称变量是变

量的函数, 记为, 其中叫做自变量,

叫做因变量.x

xx

xxy

yyy

yD

)()(Dxxfyf

数集称为这个函数的定义域.

全体函数值的集合称为函数的值域.D

解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.

1xy

x123456789

y149162536496481表格法：用列表的方法来表示函数关系.2. 函数的表示法

图示法：用平面直角坐标系上的曲线来表示函数关系.

该曲线通常称为函数的图形（图像）.xoy

3. 分段函数

有些函数，对于其定义域内自变量的不同值，函数不能用一

个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这

类函数称为分段函数. 例如：x











0,01,11,1

xxxxx

y

练习1：分段函数求值





为无理数当为有理数当

xx

y

,0,1

3x

2x练习2：如图，求函数的解析表达式

1234

二、初等函数

反函数

定义设已知函数为，如果由此解出的是一个函

飞数，则称是的反函数，记为.

的习惯上常用作为自变量，用作为因变量，因此将

是中的换为，将换为，从而得的反函数为)(xfy

.)(1

xfy

x)(yx



)(yx

)(xfy

)(1

yfx



)(1

yfx

y

xyxy)(xfy

性质①与的函数图像关于直线对称.)(xfy)(1

xfy

xy

②的定义域是的值域，的值

的域是的定义域.)(xfy)(1

xfy

)(xfy

)(1

xfy



基本初等函数

（1）常数函数

它的定义域是, 图像是一条平行于轴的直线.cy

),(x

（2）幂函数（为实常数）

它的定义域随值的不同而不同, 但不管的值是多少，它

在内总是有定义的.

xy



),0(

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§7 2 可分离变量的微分方程

授课次序43

教 学 基 本 指 标

教学课题 §71 微分方程的基本概念

§12 2 可分离变量的微分方程 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学

教学重点 微分方程与可分离变量的方程 教学难点 可分离变量的方程的解法

参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》

自编教材《高等数学习题课教程》 作业布置 《高等数学》标准化作业

双语教学 导数：derivative； 微分：differential calculus；微分方程：differential equation；阶：order ；

常微分方程：ordinary differential equation ；偏微分方程：partial differential equation；

解：solution；通解：general solution；特解：special solution；初始条件：initial condition

课堂教学目标 1． 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念

2． 掌握可分离变量的方程的解法

教学过程 1．微分方程的基本概念（35min）；

2．可分离变量的方程的解法（55min）

教 学 基 本 内 容

第七章 微分方程

§71 微分方程的基本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程

关于微分概念的教学

微分概念是高等数学中重要的概念之一，它是微积分学的基础，也是应用数学中的关键知识点。在教学中，理解微分概念对于学生而言可能有一定的难度，因此需要老师们通过生动的教学方式来帮助学生理解并掌握这一概念。本文将围绕微分概念展开教学的相关内容，并探讨一些教学方法和技巧，希望能够为教学实践提供一定的参考价值。

一、微分概念的引入

微分作为微积分学的基础概念，它的引入往往是从导数的概念开始的。教师可以通过引导学生思考一个问题来引入微分的概念，比如一个正在运动的物体，我们想知道它在某一时刻的速度是多少。这时，我们就需要求出这一时刻的速度，而速度的概念就是变化率。通过引入这样一个实际问题，可以引出导数的概念，然后再引入微分的概念，说明微分就是导数的极限形式，即刻画函数在某一点附近局部的变化情况。

二、微分的定义

在引入微分概念之后，接下来就是要讲解微分的定义。微分的定义是微积分学中的一个重要内容，它是导数的一种近似表示。在教学中，可以通过具体的例子来说明微分的定义，比如对于一个函数y=f(x)，那么在点x处的微分dy就是函数f(x)在这一点的导数f'(x)与自变量的增量dx的乘积，即dy=f'(x)dx。通过具体的例子来说明微分的定义，可以帮助学生更好地理解这一概念。

三、微分的几何意义

微分作为导数的近似表示，它有着重要的几何意义。在教学中，可以通过图形来说明微分的几何意义，比如通过求曲线在某一点的切线斜率来说明微分的概念。教师可以画出一个曲线和它在某一点的切线，然后通过导数与微分的关系来说明微分的几何意义，即微分可以近似地表示曲线在某一点附近的切线斜率。这样可以帮助学生更直观地理解微分的几何意义，从而更好地掌握这一概念。

四、微分的应用

微分作为微积分学的基础概念，它有着广泛的应用。在教学中，可以通过一些实际问题来说明微分的应用，比如通过速度的微分来求加速度，通过函数的微分来求极值点等等。通过这些实际问题的应用，可以帮助学生更好地理解微分的意义和作用，从而提高他们对微分概念的理解和掌握程度。

广西工业职业技术学院教案副页

1 第2章 导数与微分

本章简介：（2′）

微积分可以分为两部分：微分学和积分学。微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。

§2.1 导数的概念

新课引入：（3′）

中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。

一、变化率问题举例（15′）

1．平面曲线的切线斜率

设曲线C的方程为()yfx，求曲线C在点M处切线的斜率.

为此，需先明确曲线的切线的含义。

如图2.1，设N是曲线C上与点M邻近的一点，连结点M和N的直线MN称为曲线C的割线，如果当点N沿着曲线C趋近于点M时，割线MN绕着点M转动而趋近于极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长||MN趋近于零，NMT也趋近于零。

斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线MT的斜率不易直接CMNxyOy

x 0xx 0x ()yfx

T

图2.2 CMNOy

x ()yfx

图2.1 T 广西工业职业技术学院教案副页

2 求得，先求割线MN的斜率。如图2.2，设点M、N的坐标分别为00(,)xy、00(,)xxyy，割线MN的倾角为，切线MT的倾角为，则割线MN的斜率为

00()()tanfxxfxyxx。

显然，x越小，即点N沿曲线C越趋近于点M，割线MN的斜率越趋近于切线MT的斜率。当点N沿曲线C无限趋近于点M，即0x时，若割线MN的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C在点M处切线的斜率，即