利用导数的几何意义求切线的斜率

（II）由（I）知，
f
(
x)

3mx2

6(m
1) x

3m

6
=
3m(
x
1)
x

1
2 m

当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x

,1
2 m

1 2 m
1

2 m
切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x ，x 3－x +2）， 00 0
k= f/(x )= 3 x 2－1， 00
∴切线方程为
y－ ( x 3－x +2)=(3 x 2－1)(x－x )
00
0
0
又∵切线过点A(1,2)
∴2－( x 3－x +2)=( 3 x 2－1)(1－x )
(3) y 1 (x sin x) 1 cosx
x sin x
x sHale Waihona Puke Baidun x
(4)
y

x
1 2
1
log
3
e (x2
1)

2x log 3 e x2 1
例、已知f (x) =2x2+3x f (1), f (0)=
解:由已知得: f (x)=4x+3 f (1), ∴ f (1)=4+3 f (1), ∴ f (1)=-2 ∴ f (0)= 4×0+3 f (1)=3×(-2)=-6
f
' (1)

0

a

1 3
,
b


1 2
单增区间为（-∞，-1/3）和（1，+∞） 单间区间为（-1/3，1）
练习巩固： 设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在 原点相切，若函数的极小值为-4 （1）、求a、b、c的值 （2）、求函数的单调区间
答案（1）a=-3,b=0,c=0 （2）单增区间为(-∞,0)和(2,+∞)
（2）y= e2x cos x
（3）y=ln(x+sinx)
（4）y= log 3 (x 2 1)
解(1)y′=
1
(x

1
2) 2
(3x
1)2

x 2 2 (3x 1) 3
2
(3x 1)2 6(3x 1) x 2 2 x2
(2) y 2e2x cos x e2x sin x
（III）当 x 1,1 时,函数 y f (x) 的图象上任意一
点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
解:(I) f (x) 3mx2 6(m 1)x n 因为 x 1 是函数 f (x) 的 一个极值点 ,所以 f (1) 0 ,即 3m 6(m 1) n 0 ，所以 n 3m 6 .
例:已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小 值-1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间。
分析：f(x)在x=1处有极小值-1，意味着f(1)=-1 且f`(1)=0，故取点可求a、b的值，然后根据求 函数单调区间的方法，求出单调区间 。
f (1) 1
略解：

• 解:由已知,函数f (x)过原点(0,0), ∴ f (0) =c=0 ∵ f (x)=3x2+2ax+b 且函数f (x)与y=0在原点相切， ∴ f (0)=b=0 即f (x)=x3+ax2 由f (x)=3x2+2ax=0,得x1=0,x2=(-2/3)a
由已知 f 2 a 4 3
即 8 a3 4 a3 4 27 9
解得a=-3
小结： •导数的应用主要表现在：
1. 利用导数的几何意义求切线的斜率；
2. 求函数的单调区间，只要解不等式f(x) ＞0或f(x)＜ 0即可；
3. 求函数f(x)的极值，首先求f `(x),在求f `(x)=0的根， 然后检查方程根左右两侧的导数符号而作出判定；
4. 函数f(x)在［a,b］内的最值求法：①求f(x)在（a,b） 内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中 最大的是最大值，最小的为最小值。
例：已知 x 1 是函数 f (x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中
m, n R, m 0 ， （I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f (x) 的单调区间；
8.若f(x)=lnx，则f'(x)=
1 x
返回
Ⅲ、求导法则
Ⅳ、复合函数求导 Ⅴ、导数的几何意义
函数 y f（x）在点x0处的导数 f（ x0），
就是曲线 y f（x）在点P x0 ，f（x0）处
的切线的斜率． Ⅵ、导数的应用 1．判断函数的单调性 2．求函数的极值
3．求函数的最值
例．已经曲线C：y=x3-x+2和点A(1,2)求在点A处的
,1
1
1,
f (x)

0

0

f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m

0 时,
f
(x)
在

,1

2 m

单调递减,在
1

2 m
,1
单调递增,
在 (1, ) 上单调递减.
（III）由已知得 f (x) 3m ，即 mx2 2(m 1)x 2 0 .又 m 0 所
第一章 复习
知 识 结 构
Ⅰ、导数的概念
例：设函数f（x）可导，已知 f '(1) a 求
lim f (1 x) f (1)
x0
3x
练习：若 f '(x0) 2
求
lim f (x0 k) f (x0)
k 0
2k
2 基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
6.若f(x)=ex，则f'(x)=ex
7.若f(x)=logax，则f'(x)=
1 xlna
化简得(x0－1)20(2 x +1)=00，
0
0
0
1
解得x =1或x =－
002
①当x =1时，所求的切线方程为：y－2=2(x－1),即y=2x 0
1
②当x =－ 时，所求的切线方程为：
2 0
y－2=1－ (x－1),即x+4y－9=0
4
例：用公式法求下列导数：
（1）y= x 2(3x 1)2