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关于两根的非对称式求值问题的若干转化策略Microsoft Word 文档

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关于两根的非对称式求值问题的若干转化策略

一元二次方程两根对称式求值问题，一直是中考数学考查“根与系数关系”等知识的传统题。近年来，关于两根的非对称式求值问题

频繁出现在中考试卷中。这类试题深受命题者的青睐，主要基于以下两个特点：(1)改变对称式求值解法的程式化格调，这类试题一般
解法较多而富有变化；(2)要求学生能对所学知识和方法灵活运用，不墨守成规，体现时代创新精神；(3)这类试题一般都能转化为对
称式求值问题，突出了化归等数学思想的运用。本文拟就两根非对称式转化，突破比较常见的转化模式，较为系统地介绍十种转化
策略。
一、定义转化法
非对称式，常可以直接由方程根的定义转化为对称式。
例1、已知α、β是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则α2+αβ+2α的值为：________。(2000年辽宁省中考试题)
分析：由方程根的定义得α2+2α-5=0，故α2+αβ+2α=(α2+2α)+αβ=5+αβ=0。
二、降次变形法
降次思想是处理很多数学问题的重要思考方法。方程ax2+bx+c=0(a≠0)，经过移项可变形为，ax2=-bx-c，左边是x的二次式，右边是
x的一次式。利用这种从左到右的降次，是将非对称式转化为对称式的重要途径。

例2、已知x1、x2是关于x的方程x2-3x+m=0两个不相等的实数根，设2212S=x+x
(1)求S关于m的函数解析式，并求自变量m的取值范围；
(2)当函数值S=7时，求312x +8x的值。(1999年温州市中考试题)

分析：(1)由韦达定理和根的判别式易得S=9-2m(m＜94。
(2)当S=7时，m=1。可得方程x2-3x+1=0。欲求312x +8x，关键在于对“31x ”降次。由方程根的定义可得：31x =3x1-1，
故312x +8x=x1(3x1-1)+8x2=331x-x1+8x2=3(3x1-1)-x1+8x2=8x1-3+8x2=8(x1+x2)-3=21。
三、升次变形法
与降次处理相对的是，可用升次变形将非对称式转化为对称式。
例3、已知一元二次方程(m+1)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数。(1)求m的取值范围；

(2)当m在取值范围内取最小的偶数时，方程的两根为x1、x2，求321x(1-4x2)的值。(1998年黄冈市中考试题)

分析；(1)由题意得m＞-且m≠-1，m≠0，
(2)最小偶数m=2，可得方程3x2+4x-1=0，由方程根的定义得1-4x2=3 22x，故321x(1-4x2)=9(x1x2)2=1。
四、拆项变形法
例4、已知：m、n是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，代数式2m2+4n2-6n+1999的值=________。(1999年福州市中考试题)
分析：由方程根的定义可得：n2-3n=1。故对4n2进行拆项变形，可得：2m2+4n2-6n+1999=2(m2+n2)+2(n2-3n)+1999=2011。
五、添项变形法
例5、已知关于x的一元二次方程x2+2px-p2-1=0的两个实数根为x1和x2。
(1)略。

(2)若p=-1，求32122x +2x +2x的值。(2000年泰州市中考试题)
分析：添32x与31x配成对称式，则31x+222x+2x2=(31x+32x )-( 32x-222x-2x2)=( 31x+32x)-x2(22x-2x2-2)=31x+32x=
(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
。当p=-1时，方程为x2-2x-2=0，则x1+x2=2，x1x2=-2，故原式值为20。

说明：该问题的添项还有以下方案，请读者自行完成：

(1)添221x与222x配成对称式；
(2)添2x1与2x2配成对称式；
(3)添221x+2x1 与222x++2x2配成对称式。
六、减元变形法
利用数学的一个重要方法——减元法，设法将双根的非对称式减元为易于求值的单根代数式。
例6、若α、β是方程x2-3x-5=0的两个根，则α2+2β2-3β的值是多少？(1998年荆州市中考试题)
分析：由韦达定理得：α+β=3，则α=3-β，故α2+2β2-3β=(3-β)2+2β2-3β=3β2-9β+9=3(β2-3β)+9=3×5+9=24。
七、常值代换法
针对已知的二次方程的系数与非对称式中系数的特殊关系，利用两根之和或两根之积进行常值代换，将非对称式转化为对称式。
例7、同例6
分析：注意到方程与非对称式系数中都有数字“3”，由韦达定理可得3=α+β，故α2+2β2-3β=α2+2β2-(α+β) β=α2-αβ
根据系数特征，有时还需常值代换两根积，
例8、同例5

分析：注意到方程x2-2x-2=0和非对称式系数中都有数字“2”，则2=x1+x2=-x1x2，故31x+222x+2x2=31x+(x1+x2)22x-x122x=

31x+3
2
x
(下略)。

八、构造转化法
通过构造出一个对偶式，再设法消去这个式子，从而把非对称式转化为对称式。
例9、若α、β是方程x2-3x-5=0的两根，则α2+2β2-3β的值是( )
A、21 B、24 C、27 D、29(1998年扬州市中考试题)
分析：设α2+2β2-3β=A，它的对偶式β2+2α2-3α=B，则
A+B=3(α2+β2)-3(α+β)=3(α+β)2-6αβ-3(α+β)=48；A-B=(β2-α2)+3(α-β)=(β-α)(β+α-3)=0。
∴2A=48，即得A=24。 故α2+2β2-3β=24。
九、公式转化法 对于形如mα+nβ的非对称式，可直接运用下面的公式转化为对称式：

mα+nβ=(α+β)+(α-β)。
例10、已知方程x2-6x+7=0的两根为x1、x2，且x1＞x2，不解方程求3x1-x2的值。

分析：由韦达定理得x1+x2=6，x1x2=7，则(x1-x2)2=8，即x1-x2=2，由上述公式得：

3x1-x2=(x1+x2)+(x1-x2)=(x1+x2)+2(x1-x2)=6+4。
十、利用公式基本性质转化
有些非对称式是分式的形式，常需要运用公式的基本性质变形，从而转化为对称式问题。

例11、已知：m、n是一元二次方程x2+5x-3=0的两根，求代数式的值。(2000年孝感市中考试题)
分析：由题意得m+n=-5，mn=-3。则=。
例12、已知x1、x2是方程x2-3x-4=0的两个实数根，求的值。(1997年黄石市中考试题)
分析：由题意得x1+x2=3，x1x2=-4。易得(x1-x2)2=25，即x1-x2=±5。根据分式基本性质可得：

=4或-。
以上介绍了关于非对称式的十种转化途径。其中每个例题除已给出的解法外，大多
都能用其他转化方法加以研究(请读者自行研究)。在这充满变化的转化中，我们不难发现数学思想和方法的巨大作用。

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非对称形式下如何用韦达定理求解

非对称形式下如何用韦达定理求解


y1

0


8k2 k22
4
，故
C

k22 k22

4 4
,

8k2 k22
4

．
设直线 AD 的方程： y 2k2 x 1 ，
直线
AD 与椭圆 C
联立

x
2

y2 4
1
，消 y 得
2k2 x 1 y 2k2 0
x2
1

1

k

x2

k
1

k4 k2 4

x2

k
1
1 k
k k2
4 4

x2
1 k
即 2 k 1 ，解得 k 3 ．
1 k
解法三（椭圆第三定义）：
设 C x1, y1 ， D x2 , y2 ，
由

x2

y2 4
1
，消 y 得 4 k2 x2 2kx 3 0 ，
非对称形式下，如何用韦达定理求解
二、典型例题
【题型 1】 例1. 如图，椭圆 C : x2 y2 1短轴的左右两个端点分别为 A, B ，直线 l : y kx 1 与 x 轴、 y 轴分别交
4 于两点 E, F ，与椭圆交于两点 C, D ． （1）若 CE FD ，求直线 l 的方程；
设直线 CB 的方程： y k2 x 1 ，
直线 CB 与椭圆 C
联立

x2

y2 4
1
，消 y 得 4 k22 x2 2k22x k22 4 0 ，
一元二次方程根的非对称式值及构造一元二次方程解题

一元二次方程根的非对称式值及构造一元二次方程解题

例题选讲例1设m、n是一元二次方程0732=-+xx的两根，求nmm++42的值。

(2012江苏南通中考)例2 已知x1，x2是方程05342=--xx的两根，求21243x x+的值。

例3 已知m、n是方程012=--xx的两个实数根，求()222-+nmm的值。

(浙江绍兴竞赛)例4 已知m、n是方程0522=-+xx的两个实数根，求代数式nmmnm++-32的值。

(2014呼和浩特中考)习题精练1．已知x1，x2是方程0342=-+xx的两个实数根，且21222(53)2x x x a+-+=，求a的值。

(江苏南通中考)2．设x1，x2是方程042=-+xx的两个实数根，求1052231+-xx的值。

(第21届江苏数学竞赛)3．设x1，x2是方程032=-+xx的两根，求代数式1942231+-xx的值。

(全国初中数学联赛)4．设x1，x2是方程012=-+xx的两根，求代数式3251104xx+的值。

例 1 已知实数a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，且b a ≠，求abb a +的值。

【变式】已知实数a 、b 满足0122=--a a ，0122=--b b ，求abb a +的值。

例2若1≠ab ，且09201352=++a a ，05201392=++b b ，求ba的值。

(全国初中数学联赛)例3 已知m 、n 为实数，且满足05232=--m m ，03252=-+n n ，求nm 1-的值。

(江苏竞赛)习题精练1．设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，求代数式2015221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b ab 的值。

2．设实数s 、t 分别满足0199192=++s s ，019992=++t t ，且1≠st ，求ts st 14++的值。

3．若实数x 、y 满足162523535=+++yx ，163533535=+++yx ，求x+y 的值。

专题27 根与系数关系的非对称运用-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)

专题27 根与系数关系的非对称运用-2021年高考数学一轮复习优拔尖必刷压轴题(选择题、填空题)

专题27 根与系数关系的非对称运用【方法点拨】在一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若0∆>，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：12b x x a +=-，12cx x a=，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理12x x -、1211x x +、2212x x +之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求21x x 、12x x λμ+之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.【典型题示例】例1 已知圆()22:18C x y ++=，定点()1,0A ，M 为圆上动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且满足2AM AP =,0NP AM =,点N 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过定点()0,2F 的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间)，且满足FG FH =λ,求λ的取值范围.【分析】求λ的取值范围，突破口在于将FG FH =λ转化为12=x x λ，可以直接用向量转化，也可以用三角相似转化.下一步关键在于如何将λ和k 联系，处理策略是()2121212x x x x +=γ++γ，这样就建立了λ和k 联系，再利用k 的取值范围就能求出λ的范围.【解析】(1)∵2AM AP =,0NP AM =.∴NP 为AM 的垂直平分线，∴NA NM =又∵CN NM +=,∴2CN AN +=>∴动点N 的轨迹是以点()0C -1，，()1,0A为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a =，焦距222,1,1c a c b ====.∴曲线E 的方程2212x y +=.（3）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为2y kx =+，代入椭圆方程2212x y +=，得2214302k x kx ⎛⎫+++=⎪⎝⎭，由0>∆得232k >.设()()1122,,,G x y H x y ，122248=1122k k x x k k --+=++(1)，1222361122x x k k ==++(2) ∵=FG FH λ,∴()()11122122,2,2,x x y x y x x x -=λ-∴=λ∴λ=， ()()()2222113232+2=1231+232k k k ⇒λ+=λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵2233216,4,12332k k >∴<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴116142.3,0133<λ++<<λ<<λ<λ113∴<λ< 又当直线HG 斜率不存在方程110,,33x FG FH ==λ=，∴111,133⎡⎫≤λ<λ∈⎪⎢⎣⎭，. 例2 函数321()13f x ax ax x =-++在12,x x 处有极值，且2115x x <≤，求a 的取值范围.【答案】915⎛⎤ ⎥⎝⎦，【解析】令2()210f x ax ax '=-+=，则有122x x +=，121x x a=令21x t x =，则21x tx =(15t <≤)，得()1211x x t x +=+，2121x x tx =， 所以()()2212121x x t x x t++=，即142a t t =++，因为15t <≤，解得915a <≤. 点评：像这种21x tx =非对称的结构，我们可以通过配凑成正常的韦达定理处理结构来.21x tx =，得()1211x x t x +=+，2121x x tx =，所以()()2212121x x t x x t++=.【巩固练习】1. 设直线l 过点P (0，3)，和椭圆22194x y +=顺次交于 A 、B 两点，则AP PB的取值范围为 .2.椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD |=322时，求直线l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ⋅ 为定值.3.椭圆22194x y +=的左右顶点分别为A 、B ，过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆交于 P 、Q 两点，设直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2.证明：12k k 为定值.4. 已知A 、B 分别是椭圆2214x y +=的右、上顶点，CD ∥AB ，C 、D 在椭圆上，设直线AC 的斜率为k 1，直线BD 的斜率为k 2.证明：12k k 为定值.5.已知椭圆22143x y +=，M 、N 分别是上、下顶点，过点P (0,1)的直线l 交椭圆于A 、B 两点(异于M 、N )，直线AM 、BN 交于点T .求证：点T 的纵坐标为定值.【答案或提示】1.【答案】115⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】设直线l 的方程为：y = kx + 3，代入椭圆方程，消去y 得(9k 2+4)x 2+54kx +45=0(*)则12212254944594k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 注 意 到1122x x AP PB x x ==，设12xx λ=，则12x x λ=，所 以()1211x x x λ+=+，2121x x x λ=，所以()()2212121x x x x λλ++=，即22132424520k k λλ++=+ .在(*)中，由判别式0∆>，可得259k >， 从而有2232436445205k k <<+，所以136425λλ<++<，解得155λ<<.结合01λ<< ，得115λ<<. 综上，115AP PB≤<. 点评：12x x λ=经常出现在圆锥曲线的题型为：过点Q 的直线与圆锥曲线交于不同的两点 , A 、B ，且满足QA QB λ=之类的，或者是QAQB之类的.其中QA QB λ=，用坐标表示出来后，就可以选择一个较简单的式子来转化到韦达定理；QAQB我们可以设他们的比值为λ，这样可以转化到QA QB λ=，再用同样的办法来解决. 2.【答案】(I) 1y =+或1y =+ ；(II)略.【解析】(Ⅰ)因椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，由已知得1b =，1c =，所以22a =，则椭圆方程为2212y x +=．直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，联立221,21,y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210k x kx ++-=， 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，则22244(2)8(1)k k k ∆=++=+，12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，||CD ==．=，解得k =所以直线l的方程为1y =+或1y =+． (Ⅱ)直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+(0k ≠且1k ≠±)，所以P 点的坐标为1(,0)k-．设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(Ⅰ)知12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，直线AC 的方程为：11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为：22(1)1yy x x =--，方法一：联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩设00(,)Q x y ，解得12212112012211221(1)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)y x y x y x y x x y x y x y x y x -++++-==-+---+， 不妨设12x x >，则211202112(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)kx x kx x x kx x kx x ++++-=++-+-12122112122()()()()2kx x x x k x x k x x x x +++-=++-+2222k k--===k -， 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1()()01OP OQ k k⋅=-⋅-+=．故OP OQ ⋅为定值． 方法二：联立方程1122(1),1(1),1y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪+⎩消去y 得()()211221121212111111y x kx x kx x x x y x kx x kx x +++++==-+-+-，(x 1 、x 2的系数出现了不对称) 又12222kx x k+=-+，12212x x k =-+，12222k x x k =--+， 代入上式可得，2222222222111222211122k k kx x x k k k k k x k k x x k k ⎛⎫⎛⎫-++--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫----+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即11x x +-11k k +=-，解得x k =-． 因此Q 点的坐标为0(,)k y -，又1(,0)P k -，∴1()()01OP OQ k k⋅=-⋅-+=．故OP OQ ⋅为定值．3.【证明】令直线PQ 的方程是1x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y则由22321201x y x my ⎧+-=⎨=+⎩，得()2234690m y my ++-=则122634m y y m +=-+，122934y y m =+(♯) 又1111123y y k x my ==++，2222221y y k x my ==-- 所以()()121121221122133y my k my y y k y my my y y --==++(*) 由(♯)得()121232y y y y m=+，代入(*)得：()()121121212212313122233933222y y y y y k k y y y y y +-+===+++. 4.【答案】14证明：令直线CD 的方程是12y x t =-+，11(,)C x y ，22(,)D x y则由2244012x y y y t ⎧+-=⎪⎨=-+⎪⎩，得222(22)0x tx t -+-= 所以()121121212************ t x t x t y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-- ()()()1211221221222222211142424x t x t x t x x x x x x x x x --+--===--.5.【答案】3【证明】设直线l 的方程是1y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y则由22341201x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩，得22(43)880k x kx ++-=所以12122288,4343k x x x x k k +=-=-++，所以12121x x x x k +=又因为11:y AM y x x =+22:y BN y x x =所以(2121y y y y x x +=故y ==3==.。

圆锥曲线技巧提升：韦达化处理以及非对称韦达

圆锥曲线技巧提升：韦达化处理以及非对称韦达


而对于一般的和积关系，关系可能不是那么明显，如此例中正设直线，具体可参看策略三中的解析．
策略二：配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑
而半代换也有一定技巧，就是配凑．比如题中的 k1 k2
ty1 y2 y1 ty1 y2 3y2
，若只代换
y1 y2 ，
得 k1 k2
9t 4 3t 2
配凑可得 y1 y2 ( y1 y2 )2 2 y1 y2 5
y2 y1
y2
2
非对称韦达
此外，在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似 ( y2 2)x1 为定值的情形， ( y1 2)x2
通过直线代换可得：( y2 2)xl (kx2 2)x1 kx1x2 2x1 , 但此时式子并不能完全整理为韦达定理 ( y1 2)x2 (kx1 6)x2 kx1x2 6x2
k2
y2 从而目标信息 k1
x2 2
k2
y1 (x2 y1 (x1
2) 2)
，要证明其值为定值．从
目标信息的形式来看，用 x 或 y 表示并无差异，考虑到直线不与 x 轴重合，故采用反设直线要方便些，
因此设 l : x ty 1.
通过直线替换后可得 k1 y1 (x2 2) y1 (ty2 1) ty1 y2 y1 k2 y2 (x1 2) y2 (ty1 3) ty1 y2 3y2
y1
9t 4 3t 2
3y2
，依然无法得到定值，因为落单的 y1 和 3y2 不一致，而此时为分式结构，分式结构的
定值需要满足上下一致，且对应成比例，抓住这个核心，可以对 y1 和 3y2 其中某个进行配凑使其能构成比例
形式.以分子为例，分子要出现