1第23讲 三角函数的概念
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；
3．会利用任意角的三角函数的定义求值；
4．掌握公式一并会应用.
知识点 1 任意角的三角函数的定义
1、利用单位圆定义任意角的三角函数
设
是一个任意角，它的终边OP
与单位圆交于点
yxP,
．
三角函数定义记作符号表示
正弦函数点P
的纵坐标sinsiny
余弦函数点
P
的横坐标
cos
cos
x
正切函数点P
的纵坐标
与横坐标的比值tan
tan(0)y
x
x
我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数sin,yxxR2
余弦函数cos,yxxR
正切函数
tan,
2yxxkkZ
2、用角的终边上点的坐标表示三角函数
如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点P
（不与原点重合）的坐标为
,xy
，点P
到原点的距离为22
()rrxy
，则siny
r
，cosx
r
，tany
x
．
【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P
的位置无关．
知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号
1、三角函数的定义域
三角函数定义域
sin
R
cos
R
tan,
2kkZ
【说明】单位圆上,xy
的取值范围是[1,1]
，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得
到正弦函数、余弦函数的值域．
2、三角函数值在各象限的符号
根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、
正切函数的值在各个象限的符号，如下图．
由于原点到角的终边上任意一点的距离r
是正值，根据三角函数的定义，值
（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y
的符号；
（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x
的符号；3（3）正切函数值的符号取决于由,xy
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：
在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。因此正弦函数的定义可以表示为：
sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y
2.余弦函数定义：
同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。因此余弦函数的定义可以表示为：
cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x
正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：
3.正弦函数的诱导公式： 根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：
sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα
但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：
sinθ = -sinα
4.余弦函数的诱导公式：
同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：
cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα
为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数
在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修（A版）》（简称“人教A版”）中，三角函数采用了如下定义（简称“单位圆定义法”）：
“如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
（1）y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；
（2）x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；
（3）叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）．
可以看出，当α=(k∈Z)时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”
1．部分教师的疑惑和意见
由于种种原因，实验区有的教师对上述定义不理解，认为该定义不如以往教材采用的定义，即在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离为r，比值，，分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数（简称“终边定义法”）．其理由主要有以下几点：
第一，“单位圆定义法”中，“交点是特殊的，缺乏一般性，不符合数学定义的要求”；“终边定义法”中，“所取得点是任意的，具有一般性，符合数学定义的要求”．有的老师说，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”．
第二，“单位圆定义法”不利于将锐角三角函数推广到任意角三角函数；“终边定义法”有利于这种推广．有的老师说，“用单位圆上点的坐标定义正弦、余弦函数带来了不少便利，其根本原因是它化简了三角函数的比值．而用单位圆上点的坐标定义正切函数，由于它未能化简三角函数的比值，所以它就没有什么特别的意义．”
第三，“单位圆定义法”不利于解题．有的老师说，在解“已知角α终边上一点的坐标是（3a,4a）,求角α的三角函数值”时，用“终边定义法”非常方便，而用“单位圆定义法”很不方便．
1 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：任意角的正弦函数、余弦函数
1．单位圆定义：
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆．
作用：单位圆是研究三角函数的有利工具．
2．任意角的正弦、余弦函数的定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作sinv；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作cosu．若用x表示角的大小，y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y＝sinx，y＝cos x(x∈R)．
要点诠释：
(1)三角函数值只与角的终边所在位置有关，与P点在终边上的位置无关．
(2)设角终边上任一点P(x，y)，||OPr，则sinyr，cosxr。
(3)定义域：sinyx和cosyx的定义域都是R．值域：sinyx和cosyx的值域都是[-1，1]．
要点二：正弦、余弦函数在各象限的符号
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三全负，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限正弦、余弦函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限为负，在第四象限余弦值为正。
要点三：三角函数的周期性
1．周期函数的定义及理解
(1)定义：一般地，对于函数f(x)，若存在一个非零的常数T，对定义域内任意一个x，都有f(x+T)＝f(x)．我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
(2)规定：对于周期函数，若所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后提到的函数周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
