2012高考数学 专题练习 二十七 转化与化归思想 理
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用心 爱心 专心 - 1 - 高考专题训练二十七 转化与化归思想
班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1.e416，e525，e636(其中e为自然常数)的大小关系是( )
A.e416
C.e525
解析：由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝exx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.
而f′(x)＝exx2′＝ex·x2－ex·2xx4＝exx2－2xx4，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)
答案：A
2．在△ABC中，已知tanA＋B2＝sinC，给出以下四个论断：①tanA·1tanB＝1；②0
其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
解析：因为tanA＋B2＝sinC，所以tan90°－C2＝sinC，1tanC2＝2sinC2cosC2，
即cosC2sinC2＝2sinC2cosC2.
因为0°
即sinC2＝22，解得C＝90°，则有0°
用心 爱心 专心 - 2 - ①tanA·1tanB＝tanA·1tan90°－A＝tan2A.
当A≠45°时，tan2A≠1.所以结论①错．②因为0°0.又sinA＋sinB＝sinA＋cosA，而(sinA＋cosA)′＝cosA－sinA＝0，解得A＝45°.当0°0；当45°
因此当0°
对于相当数量的数学问题，解答的过程都是由繁到简的转化过程．本题是一道三角判断题，由所给的已知条件直接判断四个结论是困难的，因此对所给已知条件进行适当的化简变形是必不可少的．通过使用诱导公式、同角公式、倍角公式以及方程的思想，最终解得C＝90°.于是原问题等价于“在Rt△ABC中，C＝90°，给出以下四个论断：①tanA·cotB＝1；②0
本题是由繁到简进行等价转化的典型试题．
答案：B
3．已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)
C．(2－1，2＋1) D．(1,1＋2)
解析：易求A－c，b2a，△ABF2为锐角三角形，则∠AF2F1<45°即b2a<2c，e2－2e－1<0,1－21，故1
答案：D
4．已知k<－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是( )
A．1 B．－1
C．2k＋1 D．－2k＋1
解析：利用换元的方法，转化为二次函数在闭区间上的最值．
答案：A
5．设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是( )
A．－22 B．－533
C．－3 D．－72
用心 爱心 专心 - 3 - 解析：令a＝6sinα，b＝3cosα转化为三角函数问题．
答案：C
6．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则|a||b|等于( )
A.14 B．4
C.12 D．2
解析：(a＋2b)·(a－2b)＝0⇒|a|＝2|b|，|a||b|＝2.
答案：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得A＝{y|y>a2＋1或y
由 a≤2a2＋1≥4
得 a≤2a≥3或a≤－3，
∴a≤－3或3≤a≤2.
即A∩B＝∅时，a的取值范围为a≤－3或3≤a≤2.而A∩B≠∅时，a的取值范围显然是其补集，从而所求范围为{a|a>2或－3
答案：{a|a>2或－3
点评：一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”．
用心 爱心 专心 - 4 - 8．将组成篮球队的12名队员名额分配给7个学校，每校至少1名，不同的分配方法种类有________种．
解析：转化为分组问题．用隔板法共有C611＝462.
答案：462
9．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的大小关系是________．
解析：数形结合．
答案：f(2)
10．对a，b∈R，记max{a，b}＝ a，a≥bb，a
解析：转化为函数问题．
答案：32
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．(12分)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R，a>0)，其中f(0)＝3，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若f′(－1)＝f′(3)＝－36，f′(5)＝0，求函数f(x)的解析式；
(2)若c＝－6，函数f(x)的两个极值点为x1，x2满足－1
解：∵f(0)＝3，∴d＝3.
(1)据题意，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(－1)＝f′(3)＝－36知x＝1是二次函数f′(x)图象的对称轴，
又f′(5)＝f′(－3)＝0，
故x1＝－3，x2＝5是方程f′(x)的两根．
设f′(x)＝m(x＋3)(x－5)，
将f′(－1)＝－36代入得m＝3，
∴f′(x)＝3(x＋3)(x－5)＝3x2－6x－45，
比较系数得：a＝1，b＝－3，c＝－45.
故f(x)＝x3－3x2－45x＋3为所求．
(2)据题意，f(x)＝ax3＋bx2－6x＋3，
则f′(x)＝3ax2＋2bx－6，
又x1，x2是方程f′(x)＝0的两根，
用心 爱心 专心 - 5 - 且－10，
则 f′－1>0f′1<0f′2>0a>0，即 3a－2b－6>03a＋2b－6<06a＋2b－3>0a>0.
则点(a，b)的可行区域如图．
∵λ＝(a－3)2＋(b＋1)2，
∴λ的几何意义为点P(a，b)与点A(3，－1)的距离的平方，观察图形易知点A到直线3a＋2b－6＝0的距离的平方d2为λ的最小值d2＝3×3－2×1－6232＋22＝113，
故λ的取值范围是113，＋∞.
12．(13分)已知函数f(x)＝13x3＋x2－2.
(1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3.若点(an，a 2n＋1－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上；
(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．
解：(1)证明：∵f(x)＝13x3＋x2－2.∴f′(x)＝x2＋2x，
点(an，a2n＋1－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，
又an>0(n∈N*)，∴(an＋1－an)(an＋1－an－2)＝0，
∴Sn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n，
又∵f′(n)＝n2＋2n，∴Sn＝f′(n)，
故点(n，Sn)也在函数y＝f′(x)的图象上．
用心 爱心 专心 - 6 - (2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
注意到|(a－1)－a|＝1<2，从而
①当a－1<－2
②当a－1<0
③当a≤－2或－1≤a≤0或a≥1时，f(x)既无极大值又无极小值．
