分段函数的零点问题
典例剖析 例题1.已知函数,0()1ln ,0
k x f x x x x ?≤?=-??>?，若关于x 的函数(())y f f x =有且只有一个零点，则实数k 的取值范围 .
【变式】已知函数2,0,()1,0,x k x f x x x -+
，其中0k ≥.若关于x 的函数(())y f f x =有2个不同零点，则实数k 的取值范围 .
例题2.已知函数21,1()32,(),1,11x f x x x h x x x =??=-+=?≠?-?
则函数(())y f h x =的零点 . 【变式】已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =-，则函数(())y f f x =的零点个数 .
例题3. 已知函数11,2(),1(2),22
x x f x f x x ?--
【变式】. 已知函数33,(),,ax x a x a f x ax x a x a ?-+
若对任意的实数a ，总存在0x ，使得0()0f x ≠，则0x 的取值范围 .
巩固提升
1. 已知函数21,0(),21,0
x x f x x x x +≤?=?-+>?，若函数2()[()](1)()()g x f x a f x a a R =-++∈恰有5个不同零点，则实数a 的取值范围 .
2. 已知函数2221,01()2,1x mx x f x mx x ?+-≤≤=?+>?
，若函数()f x 在区间[0,)+∞上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围 .
3. 已知函数2,0()ln ,0x e x f x x x ?-≤=?>?，则函数[()1]1(0)y f f kx k =++≠的零点数 .
4. 已知函数1,,(),()().1,x x x a f x g x f x b e x x a
-?≥?==-??--
5.已知函数20,01,()ln ,()42,1,x f x x g x x x <≤??==?-->??，则函数1()()y f x g x =-+的零点个数 .
6. 已知函数2222()log (0)1
x f x x x =>+，若函数2()()()23g x f x m f x m =+++有3个不同零点，则实数m 的最大值 .
7. 已知函数24,()43,x m f x x x x m ≥?=?+-
，若函数()()3g x f x x =-恰有3个零点， 则实数m 的取值范围 .
复合函数、分段函数零点个数问题 1.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判 断不正确．．． 的是【 】 A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 5.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是【 】 A ．13 B ．16 C ．18 D ．22 6 已知函数31+,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．为【 】 A 3 B 4 C 5 D 6 7． 已知函数f(x)＝????? ax ＋1，x ≤0，log 2x ， x ＞0。则下列关于函数y ＝f(f(x))＋1的零点个数的判断正确的是【 】 （A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点
专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.
（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且
复合函数、分段函数零点个数问题 2012.12.31 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．的是（ ） A .若)(,41x g t = 有一个零点 B .若)(,4 1 2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2 +=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2 ()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0()3,0x x f x x x x ??=??+≤? ， 则函数)2(-)2()(F 2 >+=a a x x f x 的零点个数不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域
复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数 则下列关于函数的零点个数的判断 正确的是（ ） A. 当 时，有3个零点；当时，有2个零点 B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点 C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点 例3、已知函数f (x )＝????? |ln x |，x >0x 2＋4x ＋1，x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x )－bf (x )＋c ＝0(b ，c ∈R )有8个不同的实数根，则b ＋c 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B ．(0,3] C ．[0,3] D ．(0,3) 例4、已知函数c bx ax x x f +++=23)(有两个极值点21,x x ，若211)(x x x f <=，则关 于x 的方程0)(2)(32=++b x af x f 的不同实根个数为。
及时训练 1、已知函数和在的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程有且仅有6个根 ②方程有且仅有3个根 ③方程有且仅有5个根 ④方程有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数21)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、??? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 )(x f y =)(x g y =]2,2[ -0)]([=x g f 0)]([=x f g 0)]([=x f f 0)]([=x g g
复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0) x x f x x x x ?=? -≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为________. 5.已知函数1+ (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个 不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且
分段函数零点问题研究
分段函数作业 1. 已知函数f(x)＝???（1－2a ）x ＋3a ，x<1，lnx ，x ≥1 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是________． 2. 已知函数f(x)＝???（3a －1）x ＋4a ，x<1，log a x ，x ≥1在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 3. 已知函数f(x)＝???x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ， 若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 4. 已知函数f(x)＝? ??x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是________． 5. 已知函数f(x)＝? ????－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x>4，若函数y ＝f(x)在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 6. 已知函数f(x)＝?????（x －a ）2 ，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x>0，若f(0)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围为_____． 7. 已知函数f(x)＝???|x|，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ， 其中m>0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f(x)＝b 有3个不同的根，则m 的取值范围是________． 8. 已知函数f(x)＝?????1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]， 且g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1，1]内有且仅有2个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 9. 已知函数f(x)＝???（2a －4）x ＋2a －3，x ≤t ，－x 2＋3x ，x>t ， 无论t 取何值，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上总是不单调，则实数a 的取值范围是________． 10. 设函数f(x)＝???log 2??? ?－x 2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x>－1， 若f(x)在区间[m ，4]上的值域为[－1，2]，则实数m 的取值范围为________．
复合函数零点 类型一：直接作图 1、直线1y =与曲线2y x x a =-+有4个交点，则a 的取值范围是 2、已知(x)f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21(x)x 22 f x =-+.若函数(x)a y f =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 3、已知函数),0()0,()(+∞-∞ 是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时， 1)(4)(2),2(2 1,20,12)(|1|-=?????>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为 类型二：与二次函数结合 1、设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______________. 2、已知函数 ，若关于 的方程 有 个不同的实数解，则实数 的取值范围是______. 3、设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++?=?--+≤??，若关于x 的方程2(x)3(x)0(a R)f f a -+=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A. 1 (0,)4 B. 1(,3)3 C. (1,2) D. 9(2,)4 5.函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，21,(02)16()1(),(2)2 x x x f x x ?≤≤??=??>??，若关 于x 的方程[]2()()0f x af x b ++=，,a b R ∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取
函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数 x ，在 集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x) ， x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数(一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 tan y x 中()2 x k k Z . (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义 . (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)] 的定义域，是指满足 () a g x b 的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)] 的定义域是[a,b], 求f[h(x)] 的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值 域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法3).值域 : 先考虑其定义域3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法；3.2分段函数的值域是各段的并集3.3复合函数的值域
复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =???? 2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =????函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知()()2 2,x f x g x x x ==-，计算()2g f ???? 解：()2 224 f ==()()2412 g f g ∴==????3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。例如：已知()2x f x =，()2 2g x x x =-，若()0g f x =????，求x 解：令()t f x =，则()2 020g t t t =?-=解得0,2t t == 当()0020x t f x =?=?=，则x ∈? 当()2222x t f x =?=?=，则1x = 综上所述：1x = 由上例可得，要想求出()0g f x =????的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，外层是解关于 g(x)的方程，观察有几个t ，g(t)的值使得等式成立；内层 是结合着()f x =t ，求出每一个()f x =t 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 例1：关于x 的方程()2 22 13120x x ---+=的不相同实根的个数是（ ） A.3 B.4 C.5 D.8
零点与分段函数综合应用 1、零点：()()=0()f x f x f x x ??有零点有解图像与轴有交点。 2、求零点的主要方法：???? ?????? ?? 解方程图像法 重点零点存在性定理二分法 3、分段函数：???求值图像与零点的综合应用类型一：零点 1、求函数2()=-2f x x x 的零点个数？ 2、求函数(1)ln(1) ()= 3 x x f x x ---的零点个数？ ★3、（2012年高考（湖北文））函数 ()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点 个数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4、函数1 2 1 ()()2x f x x =-的零点个数为 5、已知()sin f x x π=，1 ()4 g x x =，求 ()()f x g x =的零点个数。 6、求函数()cos f x x x =-的零点个数 ★ 7、（12湖南）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是 ()f x 的导函数,当[]0,x π∈时,0()1f x <<; 当(0,)x π∈且2 x π ≠ 时 ,()()02 x f x π '->,则 函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为 （ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．8 8、函数()23x f x x =+的零点所在的一个区 间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 9、函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是 Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0-Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2 ★10、函数32 ()ln 2x f x x =-的零点所在一个区间是 Ａ．()1,2 Ｂ．()2,3Ｃ．()3,4 Ｄ．()4,5 类型二：分段函数 1 、 设 1, ()0, 1, f x ???=??-??0(0)(0) x x x >=<, 1, ()0, g x ??=? ??
11. 已知函数f(x)＝? ????x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x ≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x ≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2 ＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝? ????－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝?????－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝?????－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为?????－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或? ????x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4.
零点个数问题 该问题题常以分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围和通过函数性质求解不等式问题等.解决该类问题的途径往往是根据函数的性质作出示意图，利用数形结合研究分界位置，结合函数、方程、不等式刻画边界位置，其间要注意导数的应用. 一、 分段函数的零点问题 【例1】（2020?漳州一模）已知函数21,1()43,1x e x f x x x x ?-<=?-+? ，若y kx =与()f x 有三个公共点，则实数k 的取 值范围是( ) A ．4,1)e -B ．4,0) (0,1)e -C ．4,1)(1,1)e - D ．4,0)(0,1)(1,1)e - 解：如图所示，函数()f x 的图象，y kx =的图象． 1x -→时，()1f x e →-，可得(1,1)A e -，1OA k e =-． 1x <时，()1x f x e =-，()x f x e '=． 1x 时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，()24f x x '=-． 假设()f x 与y kx =相切于原点时，01k e ==． 结合图形可得：11k e <<-时y kx =与()f x 有三个公共点． 设直线y kx =与2()43(1)f x x x x =-+相切于点0(P x ，2 043)x x -+， 则 2 0000 4324x x x x -+=-，化为：2 03x =， 解得：0x = 4k =． 结合图形可得：41k <<时，y kx =与()f x 有三个公共点． 综上可得：41k <<，或11k e <<-时，y kx =与()f x 有三个公共点．故选：C ．
2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇 副题1 分段函数与函数的图像 【副题考法】本热点考题类型为选择或填空题，考查分段函数的图象、性质及分段函数求值、函数的图象、分段函数求值、复合函数求值及利用图像性质研究函数的零点、方程的解，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，长为1-2个小题，每小题5分，共5到10分. 【主题考前回扣】 1.函数的图象 (1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性 ①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数图象的基本变换 (1)平移变换 y ＝f (x )――→h ＞0，右移 h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k ＞0，上移 k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换 y ＝f (x )――→0<ω<1，伸 ω＞1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0 微专题分段函数的零点问题 活动一：预习反馈导学 1.已知函数f (x )＝????? －x 2＋12x x ，x ＋x ， 若函数y ＝f (x )－kx 有3个零点，则实数k 的取值范围是________． 2.已知函数311,,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 3.【2014江苏，理13】已知错误！未找到引用源。是定义在错误！未找到引用源。上且周期为3的函数，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，若函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上有10个零点（互不相同），则实数错误！未找到引用源。的取值范围是 . 4.【2015高考江苏，13】已知函数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，则方程错误！未找到引用源。实根的个数为 活动二. 合作提炼探究 例1.设函数f (x )＝????? x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为________． 变式 已知32,(),x x a f x x x a ?≤=?>?，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是___． 探究1：已知函数(),0 { 21,0lnx x f x x x >=+≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点 ()(),A m f m ， ()(),B n f n ， ()(),C t f t （其中m n t <<），则12n m + +的取值范围是__________． 探究2： 已知k 为常数，函数()2,0{ 1 ,0 x x f x x lnx x +≤=->，若关于x 的方程()2f x kx =+有且只有4个不同解，则实数k 的取值集合为__________． 例2. 【2015高考天津，文8】已知函数错误！未找到引用源。,函数错误！未找到引用源。,则函数错误！未找到引用源。的零点的个数为________. 复合函数零点问题 例1：设定义域为R 的函数()1 ,111,1x x f x x ?≠? -=??=? ，若关于x 的方程 ()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则22212 3x x x ++=______ 思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >≠）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为 ()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。所以()1i f x =，可解得： 1230,1,2x x x ===，所以222 1235x x x ++= 答案：5 例2：关于x 的方程( ) 2 2 213120x x ---+=的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路：可将21x -视为一个整体，即()21t x x =-，则方程变为2320t t -+=可解得： 1t =或2t =，则只需作出()21t x x =-的图像，然后统计与1t =与2t =的交点总数即 可，共有5个 答案：C 例3：已知函数 11 ()||||f x x x x x =+ --，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 ． 思路：所解方程 2 ()()0f x a f x b ++=可视为()()2 0f x a f x b ++=，故考虑作出 ()f x 的图像：()2 ,12,01 2,102 ,1x x x x f x x x x x ?>?? <≤?=? --≤时，()()121,0212,22 x x f x f x x -?-<≤? =?->??，则关于x 的方 程()()2 610f x f x --=????的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程()()2 610f x f x --=????可解，得 ()()1211,23f x f x ==-，只需统计11,23 y y ==- 与()y f x =的交点个数即可。由奇函数可先做出 0x >的图像，2x >时，()()1 22 f x f x = -，则(]2,4x ∈的图像只需将(]0,2x ∈的图像纵坐标缩 为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例5：若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程 ()()()2 320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 高中数学解题技巧剖析：函数零点问题 作者：xbomath 倾情分享 今天跟大家分享一下每日一题：函数零点问题。本题难度中等偏上，对于同学们的综合能力有较高要求，着重考察数形结合、绝对值的意义等思想。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。 本道题目的主旨在于将一个未知函数拆分为两个常见的函数，然后运用数形结合的思想来解决问题。令f (x )=0，将等式移项变换，可以得到两个新函数， g (x )=1x 和?(x )=|2x ?m |的绝对值型一次函数，最后画图求交点，根据图像 数m 的取值范围即可。 解析： 易知 f (0)=?1，故函数f (x )有三个不同的零点，可以转化为|2x ?m |=1x 有 三个不同的非零实数根，即函数y =|2x ?m |与y =1x (x >0)的图像有三个不 习题2.1 已知函数f (x )=??2x 2+mx ?1, x 同的交点，作图，当x ≥m 2时，直线y =2x ?m 与曲线y =1x (x >0)，有且仅 有一个交点，当0 图像法完美解决“分段函数”零点问题-中学数学论文 图像法完美解决“分段函数”零点问题 南昌大学附属中学(330047)温伟明 函数是中学数学的重要内容，其中分段函数是一类特殊函数。它不仅体现了一般函数所具备的性质、方法、思想，更能有效地考查学生的阅读理解、分类讨论、发散思维、数形结合等多种能力，为学生更加灵活地运用数学知识去分析解决问题留下了一个可供探索、益于创新的思维空间。正是基于这一点，它在高考试题中由一个不起眼的考点迅速成为热点。 分析近几年的高考试题，分段函数不再拘于只对函数解析式的理解，会求解简单的函数值，而开始从图像单调性、对称性、最值、零点等多方面，多种形式考查学生的综合能力。而零点问题在2015年的高考试卷中尤为突出，下面将通过其中两个具体实例，来研究与探讨图像法在分段函数零点问题中的运用。 例1（2015年北京卷）设函数f(x)=2x－a,x1, 4(x－a)(x－2a),x≥1。 ①若a=1，则f(x)的最小值为； ②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是。 分析：①若a=1，则分段函数各段范围和解析式已经确定，可以分别求出各段的值域，进而求出其最小值；②若f(x)恰有2个零点，则函数与x轴有两个交点，可利用其函数图像分别对两段上的零点进行分析，由于a不确定，所以需要对a 进行分类讨论。 解析：①当a=1时，函数f(x)=2x－1,x1, 4(x－1)(x－2),x≥1。 当x1时，－12x－11；当x≥1时，4(x－1)(x－2)≥－1, 所以f(x)最小值为－1。 ②（1）当a=0时，f(x)=2x,x1, 4x2,x≥1。由图像易知函数与x轴没有交点，故舍去； （2）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴0h(x)2－a，令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，顶点坐标(32a,－a2)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，可以画出其大致图像，如图1，发现函数与x轴也无交点，故舍去； 图1 （3）当a0时，令h(x)=2x－a(x1)，∴－ah(x)2－a，当2－a0时，h(x)与x轴有1个交点，当2－a≤0时，h(x)与x轴无交点； 令g(x)=4(x－a)(x－2a)(x≥1)，与x轴交于(a,0),(2a,0)，当2a1时，g(x)与x轴无交点，当a1≤2a时，g(x)与x轴有1个交点，当a≥1时，g(x)与x轴有2个交点。所以，要使函数f(x)与x轴有2交点，如图所示两种情况： 图2图3 ⅰ)h(x)与x轴有1交点时，0a2；当g(x)与x轴有1交点时，12≤a1; ⅱ)当a≥2，h(x)与x轴无交点；g(x)与x轴有2交点。 综上所述，12≤a1或a≥2。 赏析：本题是分段函数的零点问题，参数出现在各段解析式中，需要分别对其讨论零点个数，即讨论与x轴的交点，而利用图像法能够很清晰直观的将各种情形展示出来。 例2（2015年天津卷）已知函数f(x)= 2－|x|,x≤2,微专题分段函数及零点问题1
复合函数零点问题专题
高中数学解题方法技巧：函数零点问题
图像法完美解决“分段函数”零点问题
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