高考数学不等式证明20法课件

不等式证明方法大全

不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。

1、比较法（作差法）

在比较两个实数a和b的大小时，可借助ba的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。

例1、已知：0a，0b，求证：abba2。

证明：02)(2222baabbaabba，故得abba2。

2、分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。

例2、求证：15175。

证明：要证15175，即证1521635212，即15235，1541935，16154，415，1615，由此逆推即得15175。

3、综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

例3、已知：a，b同号，求证：2abba。

证明：因为a，b同号，所以0ba，0ab，则22•abbaabba，即2abba。

4、作商法（作比法）

在证题时，一般在a，b均为正数时，借助1ba或1ba来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。

例4、设0ba，求证：abbababa。

证明：因为0ba，所以1ba，0ba。而1baabbabababa，故abbababa。

5、反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。

例5、已知0ba，n是大于1的整数，求证：nnba。

证明：假设nnba，则1nab，即1ab，故ab，这与已知矛盾，所以nnba。

6、迭合法（降元法）

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。

例6、已知：122221naaa，122221nbbb，求证：12211nnbababa。

证明：因为122221naaa，122221nbbb，

所以122221naaa，122221nbbb。

由柯西不等式

11122221222212211•nnnnbbbaaabababa，所以原不等式获证。

7、放缩法（增减法、加强不等式法）

在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。

例7、求证：01.0100009999654321••••。

证明：令100009999654321••••p，则

10000110001111000099991431211000099996543212222222222222•••••••p，

所以01.0p。

8、数学归纳法

对于含有)(Nnn的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在)(Nnkn时成立的假设下，还能证明不等式在1kn时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。

例8、已知：Rba,，Nn，1n，求证：11nnnnabbaba。

证明：（1）当2n时，abababba222，不等式成立；

（2）若kn时，11kkkkabbaba成立，则

111111)()(kkkkkkkkkkbababbaababbaaba

=kkkkkkkkkkabbabababbababbaabba21112)()2(，

即kkkkabbaba11成立。

根据（1）、（2），11nnnnabbaba对于大于1的自然数n都成立。

9、换元法

在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。

例9、已知：1cba，求证：31cabcab。

证明：设ta31，)(31Rtatb，则tac)1(31， tattaatattcabcab)1(3131)1(31313131

31)1(3122taa（因为012aa，02t），

所以31cabcab。

10、三角代换法

借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。

例10、已知：122ba，122yx，求证：1byax。

证明：设sina，则cosb；设sinx，则cosy

所以1)cos(coscossinsinbyax。

11、判别式法

通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。

例11、设Ryx,，且122yx，求证：21aaxy。

证明：设axym，则maxy

代入122yx中得1)(22maxx，即0)1(2)1(222mamxxa

因为Ryx,，012a，所以0，即0)1)(1(4)2(222maam，

解得21am，故21aaxy。

12、标准化法

形如nnxxxxxxfsinsinsin),,,(2121的函数，其中ix0，且

nxxx21为常数，则当ix的值之间越接近时，),,,(21nxxxf的值越大（或不变）；当nxxx21时，),,,(21nxxxf取最大值，即

nxxxxxxxxxfnnnn212121sinsinsinsin),,,(。

标准化定理：当A+B为常数时，有2sinsinsin2BABA•。 证明：记A+B=C，则

2sin)sin(sin2sinsinsin)(22CACABABAAf•，

求导得)2sin()`(ACAf，由0)`(Af得C=2A，即A=B

又由0)cos()``(ABAf知)`(Af的极大值点必在A=B时取得

由于当A=B时，0)`(Af，故得不等式。

同理，可推广到关于n个变元的情形。

例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：812sin2sin2sinCBA。

证明：由标准化定理得，当A=B=C时，212sin2sin2sinCBA，取最大值81，故812sin2sin2sinCBA。

13、等式法

应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。

例13（1956年波兰数学竞赛题）、cba,,为ABC的三边长，求证：

444222222222cbacbcaba。

证明：由海伦公式))()((cpbpappSABC，

其中)(21cbap。

两边平方，移项整理得

4442222222222)(16cbacbcabaSABC

而0ABCS，所以444222222222cbacbcaba。

14、函数极值法

通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。

例14、设Rx，求证：812sin32cos4xx。

证明：81243sin2sin3sin21sin32cos)(22xxxxxxf

当43sinx时，)(xf取最大值812； 当1sinx时，)(xf取最小值－4。

故812sin32cos4xx。

15、单调函数法

当x属于某区间，有0)`(xf，则)(xf单调上升；若0)`(xf，则)(xf单调下降。推广之，若证)()(xgxf，只须证)()(agaf及)`()`(xgxf即可，],[bax。

例15、20x，求证：xxxtansin。

证明：当0x时，0tansinxxx，而

)`(tansec`1cos)`(sin2xxxxx

故得xxxtansin。

16、中值定理法

利用中值定理：)(xf是在区间],[ba上有定义的连续函数，且可导，则存在，ba，满足))(`()()(abfafbf来证明某些不等式，达到简便的目的。

例16、求证：yxyxsinsin。

证明：设xxfsin)(，则cos)(sin`)(sinsinyxyxyx

故yxyxyxcos)(sinsin。

17、分解法

按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。

例17、2n，且Nn，求证：)11(131211nnnn。

证明：因为11131121)11(131211nnn

nnnnnnnnn1134232134232•••••• 所以)11(131211nnnn。

18、构造法

在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。

例18、已知：122yx，222ba，求证：22)(22axyyxb。

证明：依题设，构造复数yixz1，biaz2，则11z，22z

所以iaxyyxbbxyyxabiayixzz]2)([]2)([)()(22222221•

2Im2)(22122122••zzzzaxyyxb

故22)(22axyyxb。

19、排序法

利用排序不等式来证明某些不等式。

排序不等式：设naaa21，nbbb21，则有

nntnttnnnbababababababababan221121112121，其中nttt,,,21是n,,2,1的一个排列。当且仅当naaa21或nbbb21时取等号。

简记作：反序和乱序和同序和。

例19、求证：dacdbcabdcba2222。

证明：因为Rdcba,,,有序，所以根据排序不等式同序和最大，即dacdbcabdcba2222。

20、几何法

借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。

例20、已知：Rmba,,，且ba，求证：bambma。