大学数学专业微分几何复习题

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos =36 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为*-Z=04．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为21131--=-=+z y x 5．计算232lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ．6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)tt t e =++g i j ，求0lim(()())t t t →⋅=f g 0．7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2t u =，t v sin =，则d d t=r(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ，2t =θ，则d (,)d tϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知42()d (1,2,3)t t =-⎰r ，64()d (2,1,2)t t =-⎰r ，求4622()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 212t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4d()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章13．曲线3()(2,,)tt t t e =r 在任意点的切向量为2(2,3,)tt e14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x 17．设有曲线tt t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章18．设(,)u v =r r 为曲面的参数表示，如果u v ⨯≠r r 0，则称参数曲面是正则的；如果:()G G →r r 是 一一的，则称参数曲面是简单的．19．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟) 20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一基本形式为22d d u v +，面积元为d d u v21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 2cosh E u =,0F =,2cosh G u =22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =223．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 24．双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为0．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟） 26．方向(d)d :d u v =2227．两个方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++= 28．函数λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--29．方向(d)d :d u v =是主方向的充要条件是d d d d 0d d d d E u F vL u M vF uG v M u N v++=++30．根据罗德里格定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则d d n κ=-n r ，其中n κ是沿(d)方向的法曲率 31．旋转极小曲面是平面或悬链面 第四章32．高斯方程是k ij ij kij kL =Γ+∑r rn ，,1,2i j =，魏因加尔吞方程为,kj i ik i j kL g =-∑n r ，,1,2i j =33．ij g 用ij g 表示为221212111()det()ijij g g g g g g -⎛⎫=⎪-⎝⎭． 34．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率35．,,g n κκκ之间的关系是222g n κκκ=+．36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．37．测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i jk ij i ju u u k s s s +Γ==∑ 38．高斯-波涅公式为1d d ()2kgii GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰39．如果G ∂是由测地线组成，则高斯-波涅公式为1d ()2kii GK σπαπ=+-=∑⎰⎰．二、单选题第一章40．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（ C ）．（内积；易；2分钟） A 2 B 1- C 0 D 141．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程；易；2分钟）A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yxC 11+==+z y xD ⎩⎨⎧==1z yx42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（ D ）．（混合积；较易；2分钟） A 2 B 1- C 1 D 2-43.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（ A ）．（导数；易；2分钟）Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)44．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（ C ）．（导数；易；2分钟） Ａt λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．45.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（ D ）．（微分；较易；2分钟） Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π47．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（C ）． Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（ D ）．（伏雷内公式；较易；2分钟） Ａ()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=，ϕ为()s α的旋转角Ｃ ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r50．对于平面曲线，"曲率恒等于０”是"曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) Ａ 充分不必要条件 Ｂ 必要不充分条件 Ｃ 既不充分也不必要条件 Ｄ 充要条件 51．下列论述不正确的是（ D ）．（基本向量；易；2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ52．对于空间曲线Ｃ，"曲率为零”是"曲线是直线”的（ D ）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 53．对于空间曲线C ，"挠率为零”是"曲线是直线”的（ D ）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 54．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章55．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ=B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ=C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=56．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（D ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =57．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（A ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =58．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（B ）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v =B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =59．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（C ）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u =B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-60．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v + B 2222(d cosh d )R u u v + C 2222(d sinh d )R u u v + D 2222(d cos d )R u u v +62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v -63．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -64．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 65．以下正确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n rB d (d )u =n rC d (d )u v =n r D d (d )=-n r66．以下正确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r67．以下正确的是（A ）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面 第四章 B 69．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -1 B 70．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g A 71．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟）A 1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B 1()2jl ijkl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑C1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D 1()2jl ijkl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．A 0B 1C 2D 3B 73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（*维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD A 74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定三、多选题第一章76.若()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ）．（导数；易；4分钟）Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=r Ｂ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r r Ｄ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r77．m,n 为常向量，()t r 为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）．（积分的性质；中；4分钟）Ａ()d ()d bbaat t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d bbaat t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m rＣ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⎰⎰m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d bbaat t t t =⋅⎰⎰m n r m n rＥ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r第二章78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。

微分几何复习题及其答案微分几何是数学中研究曲线、曲面以及更一般流形的微分性质的分支。

以下是一些微分几何的复习题及其答案，供学习者参考。

题目 1：曲线的切线和法线给定空间曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求曲线在点\( t_0 \) 处的切线和法线。

答案 1：曲线的切线方向由速度向量 \( r'(t) \) 给出。

在点 \( t_0 \) 处，切线的方向向量是 \( r'(t_0) \)。

法线是切线的正交补空间中的一个向量，可以通过求 \( r'(t_0) \) 的向量积来得到。

题目 2：曲线的曲率已知曲线 \( r(t) = (t^2, t^3, t^4) \)，求其在 \( t = 1 \) 时的曲率。

答案 2：首先计算速度向量 \( r'(t) = (2t, 3t^2, 4t^3) \) 和加速度向量\( r''(t) = (2, 6t, 12t^2) \)。

然后计算切线方向的单位向量\( \hat{T} = \frac{r'(t)}{\|r'(t)\|} \)。

曲率 \( \kappa \) 由下式给出：\[ \kappa = \frac{\| r'(t) \times r''(t) \|}{\|r'(t)\|^3} \]在 \( t = 1 \) 时，代入具体数值计算即可得到曲率。

题目 3：曲面的第一基本形式给定曲面 \( S \) 由方程 \( F(x, y, z) = 0 \) 定义，求 \( S \) 在点 \( P \) 上的第一基本形式。

答案 3：第一基本形式由曲面的度量张量给出，其元素为 \( E \), \( F \),和 \( G \)，定义为：\[ E = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \right\rangle \]\[ F = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]\[ G = \left\langle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v},\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \right\rangle \]其中，\( \mathbf{r}(u, v) \) 是曲面 \( S \) 在参数 \( u \) 和\( v \) 下的参数化表示。

微分几何考试题及答案1. 曲线的切向量和法向量的定义是什么？答：曲线在某点的切向量是该点处曲线的瞬时变化方向，而法向量则是垂直于切向量的方向。

2. 请解释曲面上的高斯曲率和平均曲率。

答：高斯曲率是曲面上某点处的最大和最小主曲率的乘积，而平均曲率是最大和最小主曲率的平均值。

3. 什么是微分几何中的度量张量？答：度量张量是定义在曲面上的一个对称双线性形式，它描述了曲面上点与点之间的距离关系。

4. 计算曲线 \( \gamma(t) = (t^2, t^3) \) 在 \( t = 1 \) 处的曲率。

答：首先计算 \( \gamma(t) \) 的一阶导数和二阶导数，然后使用曲率公式 \( \kappa = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\| \gamma'(t) \|^3} \) 计算，最终得到 \( t = 1 \) 处的曲率为 \( \kappa = 1 \)。

5. 证明曲面上的测地线是局部最短路径。

答：测地线是曲面上连接两点的路径，使得路径长度在所有连接这两点的路径中是局部最小的。

这可以通过变分法和欧拉-拉格朗日方程来证明。

6. 描述黎曼曲率张量的性质。

答：黎曼曲率张量是一个四阶张量，它描述了曲面的内在曲率。

它具有反对称性和双线性性质，且在平行移动下保持不变。

7. 计算曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1,1,2) \) 处的主曲率。

答：首先计算曲面的一阶和二阶基本形式，然后通过解特征方程找到主曲率。

在点 \( (1,1,2) \) 处的主曲率分别为 \( k_1 = 2 \) 和\( k_2 = 0 \)。

8. 什么是微分几何中的平行移动？答：平行移动是指在曲面上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持其长度和方向不变。

9. 证明高斯-博内定理。

答：高斯-博内定理描述了曲面的总曲率与其拓扑性质之间的关系。

微分几何复习题及答案
1. 曲面上的切向量和法向量有何区别？
切向量是沿着曲面的局部方向，而法向量垂直于曲面的局部方向。

切向量位于曲面的切平面内，法向量则垂直于切平面。

2. 什么是高斯曲率？
高斯曲率是描述曲面在某一点处弯曲程度的量，它由该点的主曲率的乘积给出。

3. 曲面上的测地线有何特性？
曲面上的测地线是局部最小化曲面上两点间距离的曲线，它在每一点都与曲面相切，且其曲率向量与曲面的法向量平行。

4. 什么是黎曼曲率张量？
黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量流形上无限接近两点之间的平行移动向量之间的差异来定义。

5. 微分几何中的联络是什么？
联络是微分几何中描述向量场沿曲线平行移动的一种数学结构，它允许定义向量场的协变导数。

6. 什么是度量张量？
度量张量是定义在流形上的对称正定张量，它允许在流形上测量长度和角度。

7. 曲面的第一基本形式和第二基本形式有何不同？
第一基本形式描述了曲面的内在几何，涉及切向量之间的内积，而第二基本形式描述了曲面的外在几何，涉及曲面的法向量和切向量的
内积。

8. 什么是平行移动？
平行移动是一种沿着曲线移动向量场的方法，使得向量场在曲线的每一点都保持与曲线相切，且其协变导数为零。

9. 什么是克利斯托费尔符号？
克利斯托费尔符号是描述在曲面上沿曲线平行移动向量场时，向量场分量变化的系数，它们依赖于曲面的度量张量和其二阶导数。

10. 微分几何中如何定义曲率？
曲率在微分几何中可以通过多种方式定义，例如高斯曲率、平均曲率、黎曼曲率张量等，它们描述了流形或曲面在不同方面的弯曲程度。