必修一数学第二章指数函数与对数函数知识点

必修一数学第二章指数函数与对数函数知识点

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中n>1且∈*． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。

当是奇数时，，当是偶数时，

2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

，

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）· ； （2）

； （3）

．

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，

函数的定义域为R ．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． a>1

0

定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0

在R 上单调递增 在R 上单调递减 非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）

a x n

=x a n n N 00=n

n a a n

n =n ⎩⎨⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n

n

)1,,,0(*

>∈>=n N n m a a a

n

m

n

m )

1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m r a s

r r a

a +=),,0(R s r a ∈>rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>s r r a a a

b =)(),,0(R s r a ∈>)1,0(≠>=a a a y x

且0

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a ，b]上，

值域是或； （2）若，则；取遍所有正数当且仅当；

（3）对于指数函数

，总有；

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，

记作：

（— 底数，— 真数，— 对数式）

说明：○1 注意底数的限制，且； ○2

；

○3 注意对数的书写格式．

两个重要对数：

○1 常用对数：以10为底的对数；

○2 自然对数：以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

)1a 0a (a )x (f x

≠>=且)]b (f ),a (f [)]a (f ),b (f [0x ≠1)x (f ≠)x (f R x ∈)1a 0a (a )x (f x ≠>=且a )1(f =N a x

=)1,0(≠>a a x a N N

x a log =a N N

a log 0>a 1≠a x

N N a a x =⇔=log N lg 71828.2=e N

ln

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么： ○1

·＋；

○2

－；

○3 ．

注意：换底公式

（，且；，且；）．

利用换底公式推导下面的结论

（1）；（2）．

（二）对数函数

1、对数函数的概念：函数

，且叫做对数函数，其中是自变量，

函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

○2 对数函数对底数的限制：，且．

0>a 1≠a 0>M 0>N M

a (log =)N M a log N

a log =N M

a

log M a log N

a log n a M log n =M a log )

(R n ∈a

b

b c c a log log log =

0>a 1≠a 0>c 1≠c 0>b b m n b a n

a m log log =a

b b a log 1log =0

(log >=a x y a )1≠a x x y 2log 2=5log 5

x

y =0(>a )1≠a

（三）幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如

的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

α

x y =)(R a ∈α0>α),0[+∞1>α10<<α0<α),0(+∞x y y x ∞+x x