内蒙古呼和浩特市2020届高三数学下学期第二次质量普查调研考试试题 文(含解析)

华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡上交.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}{}225,log 2M x x N x x =≤≤=≤，则M N =A. {}1,2,3,4,5B. {}2,3,4C. {}05x x <≤D.{}24x x ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】分别对集合M 和N 中关于x 的不等式进行求解，得到x 的范围，然后取交集，得到答案. 【详解】集合M 中：25x ≤≤，集合N 中：2log 2x ≤，解得04x <≤ 所以{}24M N x x ⋂=≤≤ 故选D 项.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题. 2. 若,a b 都是实数，且11a bi i+=+，则+a b 的值是 A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】对条件中的式子进行化简，根据复数相等，得到相应的,a b 的值，得到答案. 【详解】11a bi i+=+()()11ai b i i i++=+，()1b a b i i++=-+，所以11ba b=-⎧⎨+=⎩，解得21ab=⎧⎨=-⎩，所以1a b+=故选C项.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于简单题.3. 国家统计局统计了我国近10年(2009年2018年)的GDP(GDP是国民经济核算的核心指标，也是衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标)增速的情况，并绘制了下面的折线统计图．根据该折线统计图，下面说法错误的是A. 这10年中有3年的GDP增速在9．00％以上B. 从2010年开始GDP的增速逐年下滑C. 这10年GDP仍保持6.5％以上的中高速增长D. 2013年—2018年GDP的增速相对于2009年—2012年，波动性较小【答案】B【解析】【分析】利用折线统计图，逐一作出判断即可.【详解】由图可知，这10年中有3年GDP的增速在9．00％以上，则选项A正确；2017年相比于2016年GDP的增速上升，则选项B错误；这10年GDP增速均超过6.5％，则选项C正确；显然D 正确. 故选B【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4. 已知向量()()1,,2,3a m b ==-，且向量,a b 满足()a b b -⊥，则m = A. 2 B. －3C. 5D. －4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量运算得到a b -的坐标表示，然后利用向量垂直得到关于m 的方程，得到答案. 【详解】由题意，()3,3a b m -=-， 因为()a b b -⊥，所以()0a b b -⋅= 即()()32330m ⨯-+-⨯=，解得5m = 故选C 项.【点睛】本题考查向量坐标的运算，向量垂直的转化，属于简单题.5. 一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花．现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为 A.45B.710C.35D.12【答案】B 【解析】 【分析】将所有情况全部列出，然后找到符合要求的情况数量，根据古典概型的概率公式，得到结果. 【详解】所有会出现的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（红1，红2），（红1，红3），（红2，红3），（黑1，梅1） 共10种.其中符合花色不同的情况有：（红1，黑1），（红1，梅1），（红2，黑1），（红2，梅1），（红3，黑1），（红3，梅1），（黑1，梅1），共7种根据古典概型的概率公式得710P = 故选B 项.【点睛】本题考查通过列举法求古典概型的概率，属于简单题.6. 已知双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过点2F 作x 轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P ，线段2PF 的中点M 2c ，则双曲线的渐近线方程为 A. 2y x =± B. 12y x =±C. 4y x =±D. 14y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出P 点的坐标，从而得到M 点的坐标，根据OM 长度得到关于,,a b c 的方程，从而得到ba的值，得到渐近线方程. 【详解】设双曲线的渐近线方程为()0,0b y x a b a =±>>，根据题意可知P 点坐标,bc c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为2PF 中点，所以可得,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以222222bc OM c c a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以224a b =，即2b a = 所以双曲线的渐近线方程为2y x =± 故选A 项.【点睛】本题考查通过双曲线中，线段的几何关系求双曲线渐近线方程，属于简单题. 7. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 满足22sin sin B C ++21sin sin sin 02B C A -=，则cos2A = A.78B. 78-C.34 D. 716-【答案】B 【解析】 【分析】根据条件中的式子进行角化边，从而根据余弦定理得到cos A 的值，再由二倍角公式得到cos2A 的值.【详解】2221sin sin sin sin sin 02B C B C A ++-=在ABC 中，由正弦定理sin sin sin a b c a B C==， 可得22212b c a bc +-=-由余弦定理可得2221cos 244b c a bc A bc bc +--===-.所以2217cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故选B 项.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，二倍角公式，属于简单题. 8. 如下图，执行程序框图，若输出结果为140，则判断框内应填A. n≤7?B. n>7?C. n≤6?D. n>6? 【答案】D【解析】【分析】根据框图的循环语句进行循环，然后当输出结果为140时，得到n的值，从而得到判断框内填写的语句.详解】根据框图循环可知==；n T1,12==+=；n T2,1252==+=；n T3,53142==+=n T4,144302==+=；n T5,305552==+=；n T6,5569127,917140n T ==+=.此时7n =，结合选项可知，选D 项.【点睛】本题考查程序框图循环结构，根据输出结果填写判断语句.9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱111,B C C C 的中点，则异面直线1BD 与MN 所成的角的大小是（ ）A. 30B. 45︒C. 60︒D. 90︒【答案】D 【解析】 【分析】连结11,B C BC ，可得11BC B C ⊥，由11D C ⊥面11B BCC 得111D C B C ⊥， 可得1B C ⊥平面11BC D ，则11B C D B ⊥，有1MN B C ，可得1MN D B ⊥，即1BD 与MN 所成的角的大小是90︒，故选D 项. 【详解】连结11,B C BC正方体1111ABCD A B C D -，11D C ⊥面11BB C C1B C ⊂面11BB C C ，所以111B C D C ⊥正方形11BB C C 中，11B C BC ⊥111,D C BC ⊂面11BD C ，1111D C BC C ⋂=所以1B C ⊥面11BD C ，而1BD ⊂面11BD C 所以11BD B C ⊥又M 为11B C 中点，N 为1CC 中点，可得1MNB C所以1BD MN⊥，即异面直线1BD与MN所成的角的大小是90︒.故选D项.【点睛】本题考查正方体内异面直线所成的角，通过线线垂直证明线面垂直，属于中档题.10. 已知函数()()()sin cos0,02f x x xπωϕωϕωϕ⎛⎫=++><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x-=，则A. ()f x在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 B. ()f x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减C. ()f x在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增 D. ()f x在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增【答案】B【解析】【分析】对()f x进行化简，根据最小正周期为π得到ω的值，再由()f x为偶函数得到ϕ的值，然后对()f x解析式进行化简，从而得到其单调区间，得到答案.【详解】()()()()1sin cos=sin222f x x x xωϕωϕωϕ=+++因为()f x最小正周期为π，22Tπω=，得1ω=因为()()f x f x-=，所以()f x为偶函数，所以2,2k k Zπϕπ=+∈，而02πϕ<<，所以4πϕ=即()11sin2cos2222f x x xπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭根据四个选项，可知B项正确.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦型函数的性质，属于简单题.11. 已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，焦距为2c ，直线2:l y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AB c =，则椭圆C 的离心率为3B.34C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据题意表示出A 点坐标，然后代入椭圆方程，得到关于,,a b c 关系，求出离心率. 【详解】设直线与椭圆在第一象限内的交点为(),A x y ，则24y x =由2AB c =，可知22OA x y c =+=2224x x c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得223x c =， 所以221,3A c ⎫⎪⎪⎝⎭ 把点A 代入椭圆方程得到2222221331c c a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，整理得4281890e e -+=，即()()2243230e e --=， 因01e <<，所以可得32e = 故选A 项.【点睛】本题考查通过对已知条件的转化，将椭圆上一点的坐标用,,a b c 表示，再代入椭圆方程求出离心率，属于中档题.12. 已知函数()f x 满足：()()2f x f x -=，当()[)[)22,1,2,14,2,,x x x f x x x ⎧-∈⎪≥=⎨-∈+∞⎪⎩时，若不等式()6f x x a ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是A. 13a ≤-B. 13a ≥C. 12a ≥D. 12a ≤-【答案】A 【解析】 【分析】先画出()f x 图像，由()6f x x a ≥+恒成立，可求出()f x 斜率为6的切线，然后求出a 的取值范围.【详解】由()()2f x f x -=，可知函数()f x 图像关于直线1x =对称，作出函数()f x 示意图，如图所示.显然，当2x ≥时，()24f x x =-，()2f x x '=，由题意，切线斜率为6 所以26x =，解得3x =所以在切点()3,5的切线方程为()563y x -=-，即613y x =-，由()6f x x a ≥+恒成立，可得()y f x =图像与613y x =-的图像相切或恒在613y x =-图像的上方，故所求a 的范围为13a ≤- 故选A 项.【点睛】本题考查分段函数图像，不等式恒成立问题，数形结合的数学思想，属于中档题. 二、填空题13. 已知函数()22ln f x x x a =-+的最小值为2，则a =___________.【答案】1 【解析】【分析】对()f x 求导，得到()f x 的单调区间和最值，根据其最小值等于2，得到a 的值. 【详解】()22ln f x x x a =-+()()22122x f x x x x-'∴=-=所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增 所以()()min 112f x f a ==+=，所以1a =.【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，属于简单题.14. 设变量,x y 满足约束条件40,220,10,x y x y x --≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =-的最大值为______.【答案】6 【解析】 【分析】根据约束条件，画出可行域，然后将目标函数转化为斜截式，找到最优解，求出z 的最大值. 【详解】根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数2z x y =-转化为2y x z =-，为斜率为2的一簇平行线，其中z -为纵截距， 所以当直线经过点A 时，z -取得最小值，即z 的最大值. 解40220x y x y --=⎧⎨++=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩即()2,2A -所以()max 2226z =⨯--=【点睛】本题考查通过线性规划求目标函数的最大值，属于简单题. 15. 已知2tan 2sin 2cos 4πααα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，则___________. 【答案】710【解析】 【分析】利用44ππαα=+-，和tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得到tan α的值，将2sin2cos αα+进行转化，得到关于tan α的式子，从而得到结果.【详解】tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+-=⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭21312--==- 所以2222222sin cos cos 2tan 12317sin 2cos =sin cos tan 13110ααααααααα++⨯++===+++ 【点睛】本题考查根据已知角的三角函数值求其它角的三角函数值，构造齐次式将弦化切，属于简单题.16. 如图，在三棱锥P-ABC 中，侧面PAB 垂直于底面ABC ，△ABC 与△PAB 都是边长为3正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为___________.【答案】20π 【解析】 【分析】根据条件分别作过PAB △和CAB △中心且分别垂直于面的垂线，找到三棱锥外接球的球心，然后得到相应线段的长度，求出外接球的半径，再计算出外接球的表面积. 【详解】如图，设PAB △和CAB △中心分别为点M 和点N ，过点M 和点N 分别作面ABC 和面PAB 的垂线，则两条垂线相交于O 点， 则三棱锥O PAB -和三棱锥O ABC -都是正三棱锥， 则OA OB OC OP ===，所以O 为三棱锥P ABC -的外接球球心. 设AB 中点为Q ，连接,,PO PQ CQ ，PAB △和CAB △都是边长为23的正三角形，则3CQ PQ ==则223PN PQ ==，113ON MQ CQ === 在直角PNO 中，22215PO =+= 故三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()245=20ππ.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的半径，需要通过条件寻找其外接球球心和半径，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17. 已知数列{}n a 的前n 项和为,239n n n S S a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()31log nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a +=；（2）,23,2n nn T n n ⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为偶数为奇数【解析】 【分析】（1）由n S 和n a 的关系式，得到1n a +和n a 的递推关系式，从而得到n a 的通项公式； （2）根据（1）中求得的n a 通项，求出n b 通项公式，然后分奇偶，分别求出其前n 项的和n T . 【详解】（1）当1n =时，11239S a =-. 因为11S a =，所以11239a a =-，所以19a =. 因为239n n S a =-，所以11239n n S a ++=-. 两式相减，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += 又因为19a =，所以0n a >.所以数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列. 所以11933n n n a -+=⨯=.（2）由（1）可知()()()31log 11nnn n b a n =-=-+故当n 为偶数时，()()()234512n nT n n ⎡⎤=-++-++⋯+-++=⎣⎦ 当n 为奇数时，()()()()()123451112n n T n n n n -⎡⎤=-++-++⋯+--+-+=-+⎣⎦ 32n +=-所以,23,2nnnTn n为偶数为奇数⎧⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩【点睛】本题考查通过n S与n a的关系求通项公式，分奇偶求数列的前n项和，属于中档题.18. 光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x 1 2 3 4 5 6 7 8新增光伏装机量y兆瓦0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2 某位同学分别用两种模型：①2y bx a=+，②y dx c=+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于i iy y-）：经过计算得()()8172.8i iix x y y=--=∑，()82142iix x=-=∑，()()81686.8i iit t y y=--=∑，()8213570iit t=-=∑，其中2i it x=，8118iit t==∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y关于x的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）模型①的拟合效果相对较好；详见解析（2）回归方程为20.190.16y x =+；预测该地区2020年新增光伏装机量为19.16（兆瓦） 【解析】 【分析】（1）根据残差图的带状区域越窄，其模型的拟合效果越好即可判断；（2）利用换元的思想，令2t x =，把非线性的回归方程2y bx a =+转化为线性的回归方程y bt a =+，结合题中的数据和ˆb公式求出ˆb ，再由回归直线经过样本中心点(),t y ，求出ˆa 即可求出回归方程；把10x =代入回归方程求出ˆy即为所求的预测值. 【详解】（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2t x =，则y bt a =+.由所给数据可得()8111149162536496425.588i i t t ===⨯+++++++=∑，()81110.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2588i i y y ===⨯+++++++=∑，所以()()()81821686.80.193570iii ii tty y b tt==--==≈-∑∑， 由线性回归方程经过样本中心点(),t y 可得，50.1925.50.16a y bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x回归方程为20.190.16y x =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为20.19100.1619.16y =⨯+=（兆瓦）.【点睛】本题考查利用残差图判断回归模型的拟合效果和利用换元思想求非线性的回归方程；考查运算求解能力和数据分析能力；熟练掌握残差的概念和线性回归方程的求解方法是求解本题的关键；属于中档题.19. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=2，AB//DC ，AB=2CD ，∠BCD=90°．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点C 到平面PAB 的距离． 【答案】（1）见解析；（22【解析】 【分析】（1）取AB 中点为M ，通过勾股定理证明AD BD ⊥，再得到AD ⊥平面PDB ，从而证明AD PB ⊥.（2）根据三棱锥C PAB -等体积转化，以ABC 为底，PD 为高，求出三棱锥C PAB -的体积，再求出PAB 的面积，以PAB 为底，C 到平面PAB 的距离为高，从而得到C 到平面PAB 的距离.【详解】（1）如图，取AB 中点为M ，连接,,PM DM BD 因为2,,2,,90AB CD AM MB DC BC CD AB BCD ︒====∠= 所以四边形BCDM正方形.所以2,DM BC AM MB ==== 所以2,22,4AD BD AB ===. 所以222AB BD AD =+ 所以AD BD ⊥因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥. 又因为BD PD D ⋂= 所以AD ⊥平面PDB ，而PB ⊂平面PDB ，所以AD PB ⊥（2）连接AC ，设点C 到平面PAB 的距离为h ， 则11184223263C PAB P ABC V V AB BC PD --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 因为,,AB PD AB DM ⊥⊥且PD DM D ⋂= 所以AB ⊥平面PDM ，所以AB PM ⊥.Rt PDM 中2228,PM PD DM =+=即22PM =.所以114224222PABSAB PM =⨯⨯=⨯⨯=. 所以14233C PAB PAB V S h h -=⨯⨯=. 所以84233h =，所以2h =. 所以点C 到平面PAB 的距离为2.【点睛】本题考查通过证明线面垂直证明异面直线互相垂直，通过三棱锥等体积转化，求出点到面的距离，属于中档题.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,P a 在此抛物线上，2PF =，不过原点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆M 过坐标原点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：直线l 恒过定点；(3)若线段AB 中点的纵坐标为2，求此时直线l 和圆M 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）定点()4,0；（3）4y x =-，()()226240x y -+-=【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，将2PF =转化为抛物线上的点P 到准线的距离，从而求出p ，得到抛物线方程.（2）直线与抛物线联立，得到1212,x x x x +，然后利用以AB 为直径的圆M 过坐标原点，即0OA OB ⋅=,代入1212,x x x x +，求出斜率与截距的关系，得到直线过的定点.（3）根据AB 中点坐标，求出直线的斜率，得到直线方程，再求出OM 长度，即圆的半径，得到圆的方程.【详解】（1）抛物线()2:20C y px p =>，其准线为2px =-点()1,P a 在此抛物线上，2PF =，∴点P 到准线的距离等于PF ,即122p+=，得2p =∴所求抛物线方程为24y x =（2）①当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，易知0,0k m ≠≠.联立方程组得24y x y kx m⎧=⎨=+⎩，从而可得方程()222240k x km x m +-+=由题意可知()2222440km k m ∆=-->212122242,km m x x x x k k-+== 所以()()()22121212124my y kx m kx m k x x km x x m k=++=+++=因为以AB 为直径的圆M 过坐标原点，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，所以2240m mk k+=，所以4m k =-.所以直线l 的方程为4y kx k =-，即()4y k x =-，所以直线l 恒过定点()4,0.②当直线l 的斜率不存在时，易求得点,A B 坐标分别为()4,4，()4,4-，直线l 也过点()4,0.综合①②可知，直线l 恒过定点()4,0.（3）由题意可知直线l 斜率存在，设线段AB 中点坐标为()0,2x由（2）中所得212122242,km m x x x x k k-+==， 则()()()1212124448y y k x k x k x x k k+=-+-=+-=所以2022422k x k k⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得01,6k x ==所以直线l 方程为4y x =-.因为线段AB 中点坐标为()6,2，即为圆M 的圆心坐标，设圆:M ()()22262x y r -+-=. 代入()0,0，得240r =所以圆M 的方程为()()226240x y -+-=【点睛】本题考查抛物线定义，抛物线与直线的位置关系，以及设而不求的方法解决直线过定点问题，属于中档题.21. 已知函数()()xf x e x a a R =--∈．(1)当0a =时，求证：()f x x >；(2)讨论函数()f x 在R 上的零点个数，并求出相对应的a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点. 【解析】 【分析】（1）构造函数()()g x f x x =-，利用导数研究函数的单调性和最小值，证明最小值大于0.（2）先利用导数得到()f x 的最小值，然后分类讨论，根据零点存在定理，得到每种情况下()f x 的零点情况.【详解】（1）当0a =时，()xf x e x =-， 令()()e e 2x xg x f x x x x x =-=--=-，则()e 2xg x '=-. 令()0g x '=，得ln2x =.当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增. 所以ln2x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，即()()ln2min ln22ln22ln 02e g x g e ==-=> 故当0a =时，()f x x >成立.（2） ()1x f x e '=-，由()0f x '=，得0x =.所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即()()min 01f x f a ==-.当10a ->，即1a <时，()f x 在R 上没有零点.当10a -=，即1a =时，()f x 在R 上只有一个零点.当10a -<，即1a >时，因为()()e e 0a a f a a a ---=---=>，所以()f x 在()0，-∞内只有一个零点； 由（1）得2x e x >，令x a =，得2a e a >，所以()20a af a e a a e a =--=->，于是()f x 在()0,+∞内有一个零点； 因此，当1a >时，()f x 在R 上有两个零点.综上，1a <时，函数()f x 在R 上没有零点；当1a =时，函数()f x 在R 上有一个零点；当1a >时，函数()f x 在R 上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值，利用零点存在定理判断函数零点个数，属于难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)． (1)求曲线C 和直线l 的普通方程，(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，若1AB =，求直线l 的方程．【答案】（1）见解析；（2）39391313y x =-或392391313y x =-+ 【解析】【分析】 （1）对曲线C 和直线l 的参数方程分别消参，得到它们的普通方程；（2）利用直线参数的几何意义，代入到曲线C 中，得到1212,t t t t +，表示出AB ，利用1AB =，求出倾斜角α的三角函数值，得到直线l 的斜率，从而求出直线l 的方程.【详解】（1）曲线C ,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩消去参数θ，得221x y +=.对直线:l 2,x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩消去参数t ，当cos 0α=时，:2l x =；当cos 0α≠时，():tan 2l y x α=-.（2）把2,x tcos y tsin αα=+⎧⎨=⎩代入221x y +=中，得24cos 30t t α++=. 因为216cos 120α∆=->，所以23cos 4α>. 因为1212124cos ,3,1t t t t AB t t α+=-==-=所以()()222121212416cos 121t t t t t t α-=+-=-= 所以213cos 16α=，所以222sin 3tan cos 13ααα==. 所以39tan α=，即直线l 斜率为39. 所以直线l 的方程为39391313y x =-或392391313y x =-+. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，直线参数的几何意义，通过圆的弦长求直线方程，属于中档题.[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()2f x x x =+-．(1)解不等式()4f x ≤；(2)若不等式()()10mx f x m +≤>对于x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）[]1,3-；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】 （1）根据零点分区间法去绝对值，将()f x 写成分段函数，然后分别求出每段小于等于4的解集，再取并集.（2）对()f x 分段表示，然后利用参变分离处理恒成立问题，求出m 的取值范围.【详解】（1）利用零点分区间法，对()f x 去绝对值得()22,02,0222,2x x f x x x x -+<⎧⎪=<⎨⎪-⎩当0x <时，由224x -+≤，得1x ≥-，所以[)1,0x ∈-当02x ≤<时，24≤成立，所以[)0,2x ∈当2x ≥时，由224x -≤，得3x ≤，所以[]2,3x ∈综上可知，不等式()4f x ≤的解集为[]1,3-.（2）由题意，可知0m >，由（1）得当0x <时，122mx x +≤-+恒成立，即12m x ≥-+恒成立， 因为120x-+<，所以0m >时，不等式恒成立. 当0x =时，12≤恒成立，所以0m >时不等式恒成立. 当02x <<时，12mx +≤恒成立，即1m x ≤恒成立， 而112x >，所以102m <≤时不等式恒成立. 当2x ≥时，122mx x +≤-恒成立，即32m x ≤-恒成立，而13222x ≤-<. 所以102m <≤不等式恒成立. 综上，满足要求的m 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【点睛】本题考查零点分区间法去绝对值，解绝对值不等式，参变分离解决函数恒成立问题，属于中档题.。

内蒙古呼和浩特市2020届高三数学上学期质量普查调研考试试题文（含解析）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题时,考生各必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分,答题时间120分钟.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干浄后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本武卷无效. 考试结束,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z 满足(1i)2i Z +=,则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】试题分析：由(1)2i Z i +=得()()22(1)1111i i i Z i i i i -===+++-,所以复数z 在复平面内对应的点在第一象限,故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合{}2|60A x x x =--<,集合{}|10B x x =->,则A B =U （ ）A. ()1,3B. ()2,3-C. ()1,+∞D.()2,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A,B ,根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得{}|23A x x =-<<,{}|1B x x =>, 所以{}|2A B x x =>-U ,即：A B =U ()2,-+∞. 故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算,不等式的解法,解题关键在于正确求解不等式,并用数轴表示集合之间的关系,属于容易题. 3.已知2sin 3α=,则3sin 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A. 5-B. 19-C.5 D.19【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式即可求解.【详解】()22321sin 2cos 212sin 12239πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式,三角恒等变换求值,选择合理的二倍角公式是求解的关键,属于中档题. 4.在同一直角坐标系中,函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况,分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和,结合选项,判断得出正确结论.题目不难,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时,函数xy a =过定点(0,1)且单调递减,则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增,函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减,D 选项符合；当1a >时,函数x y a =过定点(0,1)且单调递增,则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减,函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.【点睛】易出现的错误有,一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟,导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围,认识函数的单调性.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4724a a +=,648S =,则{}n a 的公差为（ ） A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质,等差数列的通项公式,化简即可求解. 【详解】由等差中项得475624a a a a +=+=, 因为()()1663463482a a S a a +==+= 所以3416a a +=,所以()()563448a a a a d +-+== 所以d =2. 故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前n 项和公式,等差中项,等差数列的性质,属于中档题.6.已知a 是函数3()12f x x x =-的极小值点,则a =（ ）A. -4B. -16C. -2D. 2【答案】D 【解析】 【分析】求导并化简可得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-,列表即可求出极小值点,得解.【详解】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-所以可得x ,()f x '和()f x 如下表由表知函数的极小值点为2. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值,属于容易题.7.若函数()f x 为R 上的奇函数,且当0x ≥时,()xf x e m =+,则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. -2B. -3C. -4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可知0(0)0f e m =+=解得1m =-,利用奇函数可知()()1ln ln 3ln 33f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】∵()f x 为R 上的奇函数, ∴0(0)0f e m =+=,解得1m =-,∴0x ≥时,()1xf x e =-；∴()()()ln31ln ln 3ln 31(31)23f f f e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了奇函数的性质,对数的运算,属于中档题. 8.函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后,得到的图像对应的函数解析式为（ ） A. sin 2y x =B. cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D.cos2x y =-【答案】B 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后得sin 2()2y x π=+,化简即可求解.【详解】sin 2y x =左移2π个单位,得到()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,四个选项中,首先排除A 和D , 选项B 中,cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图象的变换,诱导公式,属于中档题.9.若命题甲是命题乙的充分非必要条件,命题丙是命题乙的必要非充分条件,命题丁是命题丙的充要条件,则命题丁是命题甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,设命题甲为集合A ,命题乙为集合B ,命题丙为集合C ,命题丁为集合D ,转化为集合之间的包含关系,可探求命题之间的关系,判断命题丁能否推出命题甲,及命题甲能否推出命题丁,即可得出结论.【详解】设命题甲为集合A ,命题乙为集合B ,命题丙为集合C ,命题丁为集合D ；命题甲是命题乙的充分非必要条件A B ≠⇔⊂；命题丙是命题乙的必要非充分条件⇔命题乙是命题丙的充分非必要条件B C ≠⇔⊂,命题丁是命题丙的充要条件C D ⇔=,综上得到A B C D ≠≠⇔⊂⊂=,可知A D ≠⊂,及命题甲是命题丁的充分非必要条件⇔命题丁是命题甲的必要非充分条件, 故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,真子集,属于中档题.10.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A. ()1621n +-B. ()2621n-C. 63n- D.()621n -【答案】A 【解析】 【分析】根据数列为等比数列可得22q =,可证明3523,,,n a a a +⋅⋅⋅是以36a =为首项,22q =为公比的新等比数列{}n b ,根据等比数列前n 项和计算即可.【详解】∵22313a a q q =⋅=,44513a a q q =⋅=,∴2413533321a a a q q ++=++=,整理得4260q q +-=及()()22230q q -+=解得22q =或-3（舍）,对于3523n a a a +++⋅⋅⋅+, 设21n n b a +=,则13b a =,25b a =,123n n b a ++=其本质是以36a =为首项,22q =为公比的新等比数列{}n b 的前1n +项和,∴()()11352361262112n n n a a a +++-++⋅⋅⋅+==--故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和公式,考查了等比数列基本量的运算,属于中档题.11.已知ABC 的三边a ,b ,c 满足：333a b c +=,则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由题意∠C 为三角形ABC 中的最大角,只需分析∠C 即可,由333a b c +=可得01a c ＜＜,01bc＜＜,从而由余弦定理得变形可知∠C 为锐角,即可求解.【详解】333a b c +=可知,∠C 为三角形ABC 中的最大角,且331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以01a c ＜＜,01b c＜＜亦即32a a c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜,32b bc c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ 将两式相加得：22331a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+＞ 所以∠C 为锐角,三角形ABC 为锐角三角形, 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,不等式的性质,放缩法,属于中档题 .12.已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=,且()01f =,则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B 【解析】 【分析】根据()()1'x f x f x e +=,可得()'1x e f x ⎡⎤=⎣⎦,即有()xe f x x c =+,可推出()1xx f x e +=,解方程()0g x =,得()0f x =或()16f x =,判断零点个数即可. 【详解】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e+=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦,∴()x e f x x c =+,()x x c f x e +=,∵()01f =代入,得1c =,∴()1xx f x e+=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =, ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166xx x f x e x e +=⇒=⇒=+, 如图所示,函数xy e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个,所以()16f x =的解得个数为2个；综上,零点个数为3个, 故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用,以及函数与方程问题,函数的零点个数,数形结合,属于难题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包含必考题和选考题两部分,第13题～21题为必考题,每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案直接填在题中横线上.)13.已知()1,4a =r ,()2,b k =-r,且()2a b +r r ∥()2a b -r r ,则实数k =___________.【答案】8- 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+r r ,()24,8a b k -=-r r,根据向量平行即可求出k .【详解】由己知得,()23,42a b k +=-+r r ,()24,8a b k -=-r r,由于()2a b +r r ∥()2a b -r r ,所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算,向量平行的充要条件,属于中档题.14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩,则3z x y =+的最大值为________.【答案】5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域,如图,由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩, 将3z x y =+变形为3y x z =-+, 平移直线3y x z =-+,由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时, 直线在y 轴上的截距最大,所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人,使每人所得份量成等差数列,且较大的三份之和的17是较小的两份之和,则最小一份的量为___. 【答案】【解析】【详解】设此等差数列为{a n },公差为d,则1455100,2a d ⨯+=（a 3+a 4+a 5）×17=a 1+a 2,即111(39)27a d a d +⨯=+,解得a 1=53,d=556．最小一份为a 1, 故答案为．16.下列命题：①若等差数列{}n a 的公差d 不为0,则给n ,对于一切()k N k n *∈<,都有2n k n k n a a a -++=；②若等差数列{}n a 的公差d <0.且38S S =,则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项；③命题P ：(),0,1x y ∀∈,2x y +<,的否定为：()00,0,1x y ∃∉,002+≥x y ；④若函数()3x f x =,则()3ln x f x x '=.其中真命题的序号为____________.【答案】①②.【解析】【分析】由等差中项的概念可判断①的正误；根据数列项的符号变化及60a =可判断②；由命题的否定的定义可确定③的正误；根据求导公式可知④的正误.【详解】①根据等差中项可知,是正确的；②对于d <0,38S S =,可得60a =,所以5S 和6S 都是数列中的最大项；③命题P 的否定为：()00,0,1x y ∃∉,002+≥x y ,所以③错；对于④因为()3ln 3x f x '=所以④错误.故答案为：①②【点睛】本题主要考查了等差中项,等差数列的前n 项和,命题的否定,求导公式,属于中档题.三、解答题(本大题共6个小题,满分70分,解答写出文字说明,证明过程或演算过程)17.己知函数()ln f x x =.(1)若()f x 在x t =处的切线l 过原点,求切线l 的方程；(2)令()()f x g x x =,求()g x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）1y x e =（2）最大值1e,最小值e - 【解析】【分析】（1）求函数()f x 的导数,()k f t '=,点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性,确定极值,即可求出函数的最大值,最小值.【详解】(1)设切线的方程为y kx =1()f x x '=,则1()k f t t'== x t =,则()ln f t t = 切线方程为1ln ()y t x t t-=- 1ln 1y x t t=+- ln 10t -=则t e =∴切线l 的方程为1y x e =. (2)21ln ()x g x x-'=, 当1x e e<<时,()0g x '>；2e x e <<时,()0g x '<, 所以最大值1(e)g e= ∵1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,221()g e e =,且22e e -< 所以最小值1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了导数几何意义,切线方程,利用导数研究函数的单调性,极值,最值,属于中档题. 18.已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭,()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角,且()f α=,求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值,及最大值对应的x 的取值.【答案】（1）()95g α=（2）()()f x g x +的最大值为3,此时()223x k k Z ππ=+∈【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =,()22sin 1cos 2x g x x ==-,由()5f α=求sin α,根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f xg x +=2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,根据正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭ sin cos cos sin cos cos sin sin 6633x x x x ππππ=-++11cos cos 2222x x x x =-++x =,()22sin 1cos 2x g x x ==-,则()5f αα==,则3sin 5α=, ∵α是第二象限角,∴4cos 5α=-, ∴()49155g α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）()()cos 1f x g x x x +=-+2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时,()()f x g x +取得最大值3,此时()262x k k Z πππ-=+∈,即()223x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数,结合三角函数图像求最值,属于中档题.19.已知n S 为数列n a 的前n 项和,已知0n a >,2243n n n a a S +=+,且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ；(2)求满足122311 (7)n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【答案】（1）121n b n =+（2）n 的最大值为9. 【解析】【分析】 （1）根据n a 与n S 的关系可推出12n n a a --=,写出等差数列的通项公式即可（2）利用裂项相消法求和,解不等式即可.【详解】(1)当1n =时,13a =；当2n ≥时,2243n n n a a S +=+①2111243n n n a a S ---+=+②①-②整理得12n n a a --=21n a n =+,所以121n b n =+. (2)设111(21)(21)n n n c b b n n --==-+ 所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭令11110 23217n⎛⎫--<⎪+⎝⎭,解得10n<所以n的最大值为9.【点睛】本题主要考查了n a与n S的递推关系,裂项相消法,等差数列的定义,属于中档题.20.（1）当()k k zαπ≠∈时,求证：1costan2sinααα-=；（2）如图,圆内接四边形ABCD的四个内角分别为A、B、C、D.若6AB=,3BC=,4CD=,5AD=.求tan tan tan tan2222A B C D+++的值.【答案】（1）证明见解析（2）4103【解析】【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD为圆的内接四边形可知sin sinA C=,sin sinB D=,cos cosA C=-,cos cosB D=-,由（1）结论原式可化为22sin sinA B+,连接AC、BD,设AC x=,BD y=由余弦定理即可求解.【详解】（1）证明21cos22sin1cos22sin sin22sin cos222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan2α=.（2）因为ABCD为圆的内接四边形,所以sin sinA C=,sin sinB D=,cos cosA C=-,cos cosB D=-,由此可知：tan tan tan tan2222A B C D+++1cos1cos1cos1cossin sin sin sinA B C DA B C D----=+++22sin sin A B=+ 连接AC 、BD ,设AC x =,BD y =由余弦定理可得：22536cos 256y A +-=⨯⨯,2916cos 234y C +-=⨯⨯, 2369cos 263x B +-=⨯⨯,22516cos 254x D +-=⨯⨯, 解得281919x =,22477y =, 那么3cos 7A =,1cos 19B =, sin A =sin B =所以原式=. 【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用,四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用,属于难题.21.己知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+- (1)设2a >时,判断函数()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数； (2)当()()(1)ln g x f x a x x =++-,是否存在实数a ,对()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠,有1212()()0g x g x a x x -+>-恒成立,若存在,求出a 的范围：若不存在,请说明理由. 【答案】（1）()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点（2）存在,a 的取值范围是[2,+∞) 【解析】【分析】（1）利用导数可知函数()f x 在(0,1),(1,+∞)单调递增,在(1,1a -)上递减,可得()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增且1(1)02f a =-<可知无零点（2）化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+,由1212()()0g x g x a x x -+>-可得1122()()g x ax g x ax +>+（120x x >>）恒成立,构造函数()()h x g x ax =+,需有()()0h x g x a ''=+≥恒成立,分离参数求解即可.【详解】(1)()f x 的定义域是(0,+∞)2a >,211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+== 令()0f x '=得到：11x =,21x a =-,且21x x >所以函数()f x 在(0,1),(1,+∞)单调递增,在(1,1a -)上递减 因为()21,10,1e ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增, 因为1(1)02f a =-<, 所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点. (2)因为()()(1)ln g x f x a x x =++-, 所以21()(1)ln 2g x x ax a x x =-++- 化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+ 不妨设120x x >>可化为1122()()g x ax g x ax +>+；考查函数()()h x g x ax =+则()()0h x g x a ''=+≥ 即210a x a x -+++≥,整理可得2221x x a x +-≥+ 令222()1x x G x x +-=+,则2223()(1)x x G x x ++'=-+,因此()G x 单调递減,所以()()2G x G x <-所以2a ≥综上：a 的取值范围是[2,+∞)【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间,极值,零点,利用导数证明不等式恒成立,属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时清写清题号.22.在极坐标系中,直线l 过点2,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭,且与直线()3R πθρ=∈垂直.（1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(),ρα,用ρ表示cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）在以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中,曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）,若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ,求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度.【答案】（1）cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）答案不唯一,具体见解析 【解析】【分析】 （1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标,利用两点间距离公式求PQ 的长度即可.【详解】（1）由已知条件可得：直线l sin cos 0θρθ+-=,∵动点(),M ρα在直线l 上,∴cos 3πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=,联立曲线C 与直线()3R πθρ=∈解得：3,3Q π⎫⎪⎭或()0,0Q , ∴①当3,3Q π⎫⎪⎭时：()2223223cos 16PQ π=+-⨯⨯⨯=,②当()0,0Q 时：2PQ =.∴1PQ =或2PQ =. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用,以及极径的几何意义,属于中档题.23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立,求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立的条件下,正数a,b 满足22a b M +=,证明：a b 2ab +≥.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得()1min f x =,则原问题等价于11m -≤,据此可得实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤,结合均值不等式的结论有ab ab a b ≤+,据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法,原问题等价于()2224a b a b +≥,进一步,只需证明()2210ab ab --≤,分解因式后只需证1ab ≤,据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩,所以()1min f x =, 所以只需11m -≤,解得111m -≤-≤,∴02m ≤≤,所以实数m 的最大值2M =.（2）证明：法一：综合法∵222a b ab +≥,∴1ab ≤,1≤,当且仅当a b =时取等号,①2a b +≤,12≤,∴2ab a b ≤+,当且仅当a b =时取等号,② 由①②得,∴12ab a b ≤+,所以2a b ab +≥. 法二：分析法因为0a >,0b >,所以要证2a b ab +≥,只需证()2224a b a b +≥,即证222224a b ab a b ++≥,∵22a b M +=,所以只要证22224ab a b +≥,即证()2210ab ab --≤,即证()()2110ab ab +-≤,因210ab +>,所以只需证1ab ≤,因为2222a b ab =+≥,所以1ab ≤成立,所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解,不等式的证明方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

学调联盟2020届高三数学下学期第二次调研试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.2.用2B铅笔将考生号及试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合，根据并集的概念即可得结果.【详解】由，，则故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.2.设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.【详解】可设当时，取最大值即当，即时，取最大值此时，；；，且该图形为等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据的模长将假设为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长.3.已知函数的图象过两点，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由在内有且只有两个极值点可得，再由，，得到或，分别对进行讨论即可.【详解】在内有且只有两个极值点，则，，又，，所以或；当时，，解得，若时，在内极大值点为，极小值点为，满足题意；当时，，解得，若时，在内极小值点为，极大值点为，不符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档题.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC 所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选C．【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．5.若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用列举法，将从5人中抽调2人的基本事件总数求出，再找到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】记两名男性为，三名女性为，则从5人中抽调2人有，，，，，，，，，共10种不同结果，抽调的两人刚好为一男一女有，，，，，共6种不同结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，注意要做到不重不漏，是一道容易题.6.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由，得因为，所以，即，解得，所以【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．7.已知函数为奇函数，且函数的图象关于直线对称，当时，，则（）A. 2020B.C.D. 0【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数的对称性可得，即，进而可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数为奇函数，即函数的图象关于点对称，则有，函数的图象关于直线对称，则，变形可得：，即，则有，即函数是周期为4的周期函数，；故选：D．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.8.在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以为坐标原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设直线与平面所成角为θ，异面直线与所成角为，运用向量的数量积的夹角公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最小值.【详解】解：如图，以为坐标原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，可设P（0，y，z），由A（0，1，0），（1，0，1），，，，设直线与平面所成角为θ，异面直线与所成角为，由平面的一个法向量为，可得，，由，可得，则，当时，线段DP长度的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查线面角和异面直线所成角的求法，注意建立空间直角坐标系解决，考查化简运算能力，属于中档题.9.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，∴椭圆的离心率，故选：A．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其中涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.10.如图，斜满足，，，其中表示a，b中较大的数（时定义）．线段AC的中垂线上有一点D，过点D作于点E，满足，则点D到外接圆上一点的距离最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】由，知为锐角，设的中垂线交于，过作的垂线，垂足为，由得到，，再由得到，所以，再利用几何意义即可得点D到外接圆上一点的距离最大.【详解】由，知为锐角，设的中垂线交于，过作的垂线，垂足为，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，又，，所以，即，又易得，所以，由正弦定理可得，，故点D到外接圆上一点的距离最大为.故选：C【点睛】本题考查动点到圆上一点距离的最值问题，涉及到正弦定理与三角恒等变换，考查学生逻辑推理与数学运算能力，是一道中档题.11.设，则二项式展开式的常数项是A. 160B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】利用微积分基本定理求出，利用二项展开式的通项公式求出通项，令的指数等于，求出常数项．【详解】展开式的通项为令得故展开式的常数项是本题正确选项：【点睛】本题考查微积分基本定理、二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．12.已知，，其中是常数，且的最小值是，满足条件的点是双曲线一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，由题意，所以，又，故，设弦的两端点为，则，，两式相减得，所以，选D．考点：基本不等式，圆锥曲线的弦中点问题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数（，）有两个不同的零点，，和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为______.【答案】【解析】【分析】由函数的零点与方程的关系，运用韦达定理，以及等比数列的中项性质可得b＝4，再由等差数列的中项性质，解方程可得a，进而得到所求解析式.【详解】解：函数（，）有两个不同的零点，，可得，且，和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，可得，再设−2，，为等差数列，可得，代入韦达定理可得，即有，解得a＝−5（4舍去），则.故答案为：.【点睛】本题考查函数的零点和二次方程的韦达定理，以及等差数列和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.14.方程在区间上解为_______________．【答案】或.【解析】【分析】，即，原方程等价于，再解方程即可.【详解】由题意，，即，原方程等价于，解得或（舍），故或.故答案为：或.【点睛】本题考查解三角函数方程，涉及到二倍角公式，考查学生的等价转化思想，注意要先求x的有意义的范围.15.已知在平面直角坐标系中，椭圆：的左、右顶点分别为，.直线l：（）交椭圆于P，Q两点，直线和直线相交于椭圆外一点R，则点R 的轨迹方程为______.【答案】【解析】【分析】由已知，可得直线l恒过，由题意知，直线斜率不为0，设的方程为，，，联立椭圆方程，解得，再由由三点共线可得，由三点共线可得，两式相除可得，再将代入化简即可.【详解】因为，所以，由得，故直线l恒过，由题意知，直线斜率不为0，设的方程为，，，联立椭圆方程，得，则，，，由三点共线可得，由三点共线可得，两式相除可得，解得，所以点在定直线上，故点R的轨迹方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道难度较大的题.16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为______．【答案】（0，）【解析】【分析】先由题易证PF⊥平面ABCEF，设，然后利用体积公式求得五棱锥的体积，再利用导函数的应用求得范围.【详解】因为PF⊥AF，PF⊥EF，且AF交EF与点F，所以PF⊥平面ABCEF设,则所以五棱锥的体积为或（舍）当递增，故所以的取值范围是（0，）故答案为（0，）【点睛】本题考查了立体几何的体积求法以及利用导函数求范围的应用，属于小综合题，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ），;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比方程组,解方程组可得，，再代入等差与等比数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以试题解析：（Ⅰ）设数列的公差为，的公比为，依题意得解得，，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则①②①-②得：所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．（1）证明：；（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2)【解析】【分析】（1）连结、且，连结，先证明平面，可得，再利用线面平行的性质定理证明，从而可得结论；（2）利用（1）可证明平面,利用与平面所成的角为求出线段间的等量关系，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】（1）连结、且，连结．因为，为菱形，所以，，因为，，所以，，因为，且、平面，所以，平面，因为，平面，所以，，因为，平面，且平面平面，所以，，所以，．（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，，所以，平面,所以与平面所成的角为，所以，所以，，，因为，，所以，.以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系记，所以，，，，，，，，所以，，，记平面的法向量为，所以，即，令，解得，，所以，，记与平面所成角为，所以，.所以，与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示：（1）求出月利润；y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X的分布列和数学期望.参考数据：，，，附：线性回归方程中，，【答案】（1）（2）预估该月月利润是104.8万元（3）详见解析【解析】【分析】（1）根据公式可求得，进而可得回归方程；（2）通过回归方程可估计9月份的月利润；（3）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率，进而可得期望.【详解】（1）根据参考数据可得，所以，故月利润y关于月养殖量x的线性问归方程为；（2）若2019年9月份，该企业月养殖量为1.4万只，则此时，把代入，，所以预估该月月利润是104.8万元；（3）由题中数据可知，1月，2月，3月，4月这4个月该企业考核都为优秀，所以X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，故X的分布列为：.【点睛】本题考查回归方程的求解，考查离散型随机变量的分布列，期望，考查学生计算能力，是基础题.20.已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直线可得椭圆右焦点的坐标为,由中点可得,且由斜率公式可得,由点在椭圆上,则,二者作差,进而代入整理可得,即可求解；（2）设直线,点到直线的距离为,则四边形的面积为,将代入椭圆方程,再利用弦长公式求得,利用点到直线距离求得,根据直线l与线段AB （不含端点）相交,可得,即,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.【详解】（1）直线与x轴交于点,所以椭圆右焦点的坐标为,故,因为线段AB的中点是,设,则,且,又,作差可得,则,得又,所以,因此椭圆的方程为.（2）由（1）联立,解得或,不妨令,易知直线l的斜率存在,设直线,代入,得,解得或,设,则,则,因为到直线的距离分别是,由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以,即,所以,四边形的面积,令,,则,所以,当,即时,，因此四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.21.己知函数．（Ⅰ）当时，函数在上是减函数，求的取值范围；（Ⅱ）若方程的两个根分别为，求证：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题，可将条件进行转化，依题意，在上减函数等价于对恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；（Ⅱ）由于方程的两个根分别为，故有，可解得，化简并联立前式可得，再设，则整体可代换为，求，根据的正负即可得证【详解】（Ⅰ）在上递减，对恒成立.即对恒成立，所以只需.，，当且仅当时取“”，.（Ⅱ）由已知，得，两式相减，得.由知，设，则..在上递增，.，.即.【点睛】本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分22.在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcosθ＝4，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，射线l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）与曲线C交于O，M两点．（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；（Ⅱ）若射线l′与直线l交于点N，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）直线l的直角坐标方程，曲线C的参数方程.【解析】【分析】（Ⅰ）由直线l的极坐标方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，由此能求出曲线C的参数方程．（Ⅱ）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可.【详解】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos＝4，∴直线l的直角坐标方程为x＝4，∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2sinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴曲线C的参数方程为，（α为参数）．（Ⅱ）设M（ρ1，β），N（ρ2，β），则ρ1＝2cosβ+2sinβ，，∴＝＝＝＝＝++，∴，∴的取值范围是（]．【点睛】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．23.已知，函数，其中.（1）求使得等式成立的x的取值范围；（2）（i）求的最小值.（ii）求在区间上的最大值.【答案】（1）（2）（i）（ii）最大值【解析】【分析】（1）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（2）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值.【详解】（1）由于，故当时，，当时，，所以，使得等式成立的x的取值范围为.（2）（i）设函数，，则，，所以，由的定义知，即（ii）当时，，当时，.所以.【点睛】本题考查分段函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，注意分类讨论，是中档题.学调联盟2020届高三数学下学期第二次调研试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上.2.用2B铅笔将考生号及试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得集合，根据并集的概念即可得结果.【详解】由，，则故选B.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.2.设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】假设，根据模长公式构造关于的函数，从而可确定当取最大值时，的取值，从而求得；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.【详解】可设当时，取最大值即当，即时，取最大值此时，；；，且该图形为等腰三角形本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据的模长将假设为，从而可利用三角函数的知识确定的最大值，根据复数几何意义可确定对应的点的坐标，进而可求得三角形的各个边长.3.已知函数的图象过两点，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由在内有且只有两个极值点可得，再由，，得到或，分别对进行讨论即可.【详解】在内有且只有两个极值点，则，，又，，所以或；当时，，解得，若时，在内极大值点为，极小值点为，满足题意；当时，，解得，若时，在内极小值点为，极大值点为，不符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档题.4.在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=，，BC=1，P为BC 中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则在方向上投影的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为，则，则，再由在方向上投影的几何意义可得解．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B（-，0），C（，0），P（0，0），由可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周角为，所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上，且圆心到直线BC的距离为，即圆心为，半径为.所以点A的轨迹方程为：，则，则，由在方向上投影的几何意义可得：在方向上投影为|DP|=|x|，则在方向上投影的最大值是，故选C．【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．5.若深圳人民医院有 5名医护人员，其中有男性 2名，女性 3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用列举法，将从5人中抽调2人的基本事件总数求出，再找到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案.【详解】记两名男性为，三名女性为，则从5人中抽调2人有，，，，，，，，，共10种不同结果，抽调的两人刚好为一男一女有，，，，，共6种不同结果，由古典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为.故选：C【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，注意要做到不重不漏，是一道容易题.6.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.。

2020届内蒙古呼和浩特市高三下学期第一次普查调研考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|03}A x Z x =∈≤≤，{|(1)(2)0}B x x x =+-≤，则A B =I （ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{|02}x x ≤≤D ．{|13}x x -≤≤【答案】B【解析】解不等式可得集合B ，再根据交集运算即可求得A B I . 【详解】解不等式可得集合{|12}B x x =-≤≤，由交集运算可知{0,1,2{|03}{|12}}x Z x x A x B ∈≤≤⋂-≤==≤I ， 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2．若复数cos sin z i αα=+，则当2παπ<<时，复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】根据角的范围，结合复数的几何意义，即可判断出点的符号，进而得复数z 在复平面内对应的点所在象限. 【详解】复数cos sin z i αα=+，在复平面内对应的点为()cos ,sin αα， 当2παπ<<时，cos 0,sin 0αα<>，所以对应点的坐标位于第二象限， 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的几何意义，三角函数符号的判断，属于基础题.3．在等差数列{}n a 中，若125a a +=，3415a a +=，则56a a +=（ ）A ．10B ．20C ．25D ．30【答案】C【解析】根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得56a a +. 【详解】在等差数列{}n a 中，125a a +=，3415a a +=， 根据等差数列通项公式，设公差为d ，可知111152315a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩，解得15452a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故56a a +1145a d d a +=++ 19225a d +==，故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4．如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A ．回答该问卷的总人数不可能是100个B ．回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C ．回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D ．回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D【解析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确， 对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选D ． 【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．5．若5件产品中包含2件废品，今在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是（ ） A ．310B ．25C ．35D ．710【答案】D【解析】根据题意，三件不是废品标记为,,A B C ，两件废品为1,2；利用列举法列举出所有可能，即可得在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率. 【详解】若5件产品中包含2件废品，则有三件不是废品，标记为,,A B C ，两件废品为1,2； 在其中任取两件的所有取法有：,,,1,2,1,2,1,2,12AB AC BC A A B B C C ； 取出的两件中至少有一件是废品的为1,2,1,2,1,2,12A A B B C C ， 则在其中任取两件则取出的两件中至少有一件是废品的概率是710； 故选：D. 【点睛】本题考查了古典概型概率的求法，列举法求古典概型概率，属于基础题. 6．已知2log 3a =，21log 312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 6c =则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】利用对数的运算性质，结合不等式性质可证明()()1log 2log 1n n n n +++<，从而比较,a c 大小；根据对数性质可比较b 与,a c 大小，即可得解.由对数函数性质可知，()()()33254425log 3log 6log 3log 4log 4log log l g 5o 65-=-++--，而由()()()111log 2l 1og 2log log n n n n n n n n ++++=+⋅+ ()21log 22n n n ++⋅⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦因为()()22221n n n n n +⋅=+<+，所以()21log 212n n n ++⋅⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，因而()()1log 21lo 1g n n n n +++<，即()()1log 2log 1n n n n +++<所以()()()33254542log 3log 6log 3log 4log 4log log log 6055+--=-+-> 则25log 3log 6>，即2a c >>； 而2221log 13log log 3322231b -⎛⎫= ⎪⎝⎭===，所以b a c >>， 故选：A. 【点睛】本题考查了对数函数图像与性质的应用，由不等式证明大小关系，对数的运算与化简，属于中档题.7．古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】B【解析】设球的半径为r ，表示出圆柱和球的体积，即可求得球的体积与圆柱的体积之比. 【详解】设球的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ， 所以球的体积为34=V r ，圆柱的体积为23=22V r r r ππ⨯=圆柱，所以球的体积与圆柱的体积之比为3342332rV V r ππ==球圆柱，故选：B. 【点睛】本题考查了圆柱与球体积公式的简单应用，属于基础题.8．已知抛物线24y x =，F 是焦点，P 是抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义||()||PF d P FQ =.当点P坐标为(-时，()d P =（ ） A． B ．4C．D ．2【答案】B【解析】根据抛物线方程，先求得焦点坐标，由两点间距离公式可得PF ，结合两点间斜率公式求得直线PF 的斜率k ，即可由点斜式表示出直线PF 的方程；联立抛物线与直线方程，即可求得交点坐标，进而求得FQ ，即可由定义求得||()||PF d P FQ =. 【详解】抛物线24y x =，F 是焦点，则()1,0F ，点P坐标为(-，则6PF ==，而直线PF的斜率为011k ==---PF 的方程为)1y x =--，所以联立直线PF 与抛物线可得)214y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍），则32FQ ==， 所以由定义可得||6()43||2PF d P FQ ===，【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，两点间斜率公式及两点间距离公式的应用，属于基础题.9．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为（ ）A ．31020-B ．316-C ．31020D ．316【答案】C【解析】设AB a =，则12AA a =，取1BB 中点N ，AB 中点E ，连接11,,,NE NC EC CE ，由勾股定理及中位线定理表示出1ENC △的三条边长，结合余弦定理即可求得1cos ENC ∠，由异面直线夹角的取值范围即可确定异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值. 【详解】正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，设AB a =，则12AA a =， 取1BB 中点N ，AB 中点E ，连接11,,,NE NC EC CE ，如下图所示：则1ENC ∠即为异面直线1AB 和BM 所成的角或其补角，所以1122EN AB a ==，22222211319444EC EC CC a a a =+=+=，1C N BM ==，所以在1ENC △中由余弦定理可得2221111cos 2NC NE EC ENC NC NE +-∠=⋅2225192a a a +-==， 因为异面直线夹角的取值范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1AB 和BM所成的角的余弦值为20， 故选：C. 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，余弦定理在解三角形中的应用，异面直角夹角取值范围的应用，属于中档题.10．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x >时，其解析式为21()2xf x xe x =+，则()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ）A ．1(21)2y e x e =-+--B ．1(21)2y e x e =+--C ．3(21)32y e x e =-+++D ．3(21)32y e x e =+++【答案】A【解析】根据偶函数性质及分段函数解析式求法，先求得0x <时()f x 的解析式，即可由导数几何意义求得切线方程. 【详解】定义在R 上的偶函数()f x ，所以()()f x f x =-当0x >时，其解析式为21()2xf x xe x =+， 则当0x <时，0x ->，则21()2xf x xe x --=-+，而()f x f x =-，所以当0x <时，21()2xf x xe x -=-+， 则1(1)2f e -=+，所以切点坐标为11,2e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由21()2xf x xex -=-+，可得()x x f x xe e x ---'=+， 所以切线斜率为()(1)121k f e e e -='-=-+-=-- 则切线方程为()()12112y e x e =-++++，化简可得1(21)2y e x e =-+--，故选：A. 【点睛】本题考查了由奇偶性求函数解析式，由导函数求切线方程，属于基础题. 11．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论： ①函数()f x 的最小正周期是π； ②函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数； ③函数()f x 的图象关于直线38x π=-对称；④函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．①③④【答案】C【解析】根据降幂公式和辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数的图像与性质即可判断各选项是否正确. 【详解】由降幂公式和辅助角公式化简可得2()sin 22sin 1f x x x =-+sin 2cos2x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于①，由解析式可知最小正周期为π，所以①正确；对于②，由函数解析式可知，满足3222,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时单调递减，解得5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，当0k =时，单调递减区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以②正确；对于③，由函数解析式可知对称轴满足2,42x k k Z πππ+=+∈，解得,82k x k Z ππ=+∈，所以当1k =-时，对称轴为38x π=-，所以③正确；对于④，函数2y x =的图象向左平移4π个单位可得2242y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与所求解析式不同，因而④错误，综上可知，正确的为①②③， 故选：C. 【点睛】本题考查了降幂公式与辅助角公式化简三角函数式的应用，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.12．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足(2)7f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()3f x '<()x R ∈，则不等式()31f x x <+的解集为（ ）A ．(1,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】根据所要求的不等式及导数不等式，构造函数()()()31g x f x x =-+，可知()g x 在R 上单调递减，结合(2)7f =可知()20g =，即可由单调性得不等式解集.【详解】令()()()31g x f x x =-+， 则()()3g x f x '='-， 因为()3f x '<，()x R ∈，所以()()()31g x f x x =-+在R 上单调递减， 且因为(2)7f =，所以2(2)3210g f =-⨯+=，所以()31f x x <+，即()0g x <的解集为(2,)+∞，故选：D. 【点睛】本题考查了构造函数解不等式，导函数与函数单调性关系，属于中档题.二、填空题13．已知(3,2)a =r ，(1,2)b x x =-r ，若a r 与b r共线，则x =_______. 【答案】12-. 【解析】根据向量共线的坐标关系，即可求得参数x 的值. 【详解】(3,2)a =r ，(1,2)b x x =-r ，a r 与b r共线，则满足()3221x x ⨯=⨯-， 解得12x =-，故答案为：12-. 【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系及简单应用，属于基础题.14．在一次电子邮件传播病毒的事例中，已知第一轮感染的计算机数是6台，并且从第一轮开始，以后各轮的每一台计算机都会感染下一轮的10台，那么到第6轮后，被感染的计算机的台数为_____（用数字作答）. 【答案】666666【解析】根据题意，可知数列为等比数列，即可由等比数列的前n 项和公式求解. 【详解】根据题意可知，新感染的计算机为等比数列，首项为6，公比为10， 所以前6轮的总感染计算机台数为()666110666666110S ⨯-==-，故答案为：666666. 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式在实际问题中的应用，属于基础题. 15．给出下列四个命题：①“3x <-”是“ln(4)0x +<”的必要不充分条件②函数()f x =+的最小值为2③命题“0x ∀>，(2020)20200x +>”的否定是“00x ∃„，0(2020)20200x+„”④已知双曲线C 过点，且渐近线为3y x =±，则离心率3e =，其中所有正确命题的编号是：_______. 【答案】①④【解析】根据充分必要条件的关系和定义，可判断①；根据基本不等式成立条件，结合对勾函数求得最小值，即可判断②；根据含有量词的否定形式，可判断③；根据双曲线的渐近线方程，可设出标准方程，代入点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得离心率，即可判断④. 【详解】对于①，当ln(4)0x +<时，满足43x -<<-，所以433x x -<<-⇒<-，反过来不成立，因而“3x <-”是“ln(4)0x +<”的必要不充分条件，所以①正确；对于②，函数()f x =，令t t =≥，则1(),f t t t t=+≥，由对勾函数性质可知，当t =时取得最小值，2f ==，即()f x 的最小值为2，所以②错误； 对于③，命题“0x ∀>，(2020)20200x+>”的否定是“00x ∃>，0(2020)20200x +≤”，所以③错误；对于④，双曲线渐近线为3y x =±，不妨设双曲线方程为()22,093x yλλ-=≠，且过点，代入可得9293λ-=，所以13λ=，即2213x y -=，所以离心率为c e a ===，所以④正确；【点睛】本题考查了充分必要条件的定义，含有量词命题的否定形式，基本不等式使用条件及最值求法，双曲线标准方程及渐近线的综合应用，双曲线离心率求法，综合性强，属于中档题.三、双空题16．动直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈与圆22:2440C x y x y +-+-=交于点A B 、，则动直线l 必过定点______；当弦AB 最短时，直线l 的方程为______.【答案】(2,1)- 10x y +-=【解析】将直线方程变形，即可求得所过定点的坐标；由圆的几何性质，可知当直线与定点和圆心连线垂直时，直线与圆相交所得弦长最短，进而由垂直时的斜率关系和点斜式求得直线方程. 【详解】将直线:(12)(1)3(1)0,()l m x m y m m R ++--+=∈，变形可得()2330x y m x y +-+--=，所以直线所过定点满足23030x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 必过定点(2,1)A -；圆22:2440C x y x y +-+-=，化为标准方程可得()()22129x y -++=，设圆心为()1,2C -，当直线与AC 垂直时，解得圆的弦长最短， 因为直线AC 的斜率为()12121AC k ---==-，所以直线l 的斜率为1l k =-，因为过定点(2,1)A -，所以由点斜式可得()21y x =---，化简可得10x y +-=； 故答案为：(2,1)-；10x y +-=. 【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与圆位置关系的综合应用，圆的几何性质应用，属于中档题.17．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【答案】（1）（2【解析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出sin C 的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出sin A ，最后利用正弦定理求出BC 长；（2）利用余弦定理可以求出AB 的长，进而可以求出BD 的长，然后在BCD ∆中，再利用余弦定理求出AB 边上中线CD 的长. 【详解】（1）(0,)sin C C π∈∴==Q ，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C π=--=⋅+⋅=，由正弦定理可知中： sinsin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒== （2）由余弦定理可知：2AB ===，D 是AB 的中点，故1BD =，在CBD ∆中，由余弦定理可知：CD === 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.18．呼和浩特市地铁一号线于2019年12月29日开始正式运营有关部门通过价格听证会，拟定地铁票价后又进行了一次调查.调查随机抽查了50人，他们的月收入情况与对地铁票价格态度如下表：（1）若以区间的中点值作为月收入在该区间内人的人均月收入求参与调查的人员中“认为票价合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差是多少（结果保留2位小数）；（2）由以上统计数据填写下面22⨯列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁票价的态度有差异”附：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++【答案】（1）差距为11.81（百元）；（2）列联表见解析；没有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异.【解析】（1）设x表示“认为价格合理者”的月平均收入，y表示“认为价格偏高者”的月平均收入，根据所给数据即可求得x、y的值，即可求得x、y的差，即为“认为票价合理者”的月平均收入与“认为票价偏高者”的月平均收入的差.（2）根据所给数据，填写列联表，即可由公式求得2K，与临界值比较，即可判断.（1）设x 表示“认为价格合理者”的月平均收入，y 表示“认为价格偏高者”的月平均收入，20130240350560370450.56123534x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈+++++，204308401250560270138.754812521y ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+++++，所以“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距为11.81（百元）， （2）根据条件可到列联表如下：月收入不低于5500元人数 月收入低于5500元人数 合计 认为票价偏高者 3 29 32 认为票价合理者 7 11 18 合计 104050222()50(311729) 6.27()()()()32181040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为6.27 6.635<所以没有99%的把握认为“月收入以5500元为分界点对地铁定价的态度有差异. 【点睛】本题考查平均数的求法，完善列联表及独立性检验思想的综合应用，卡方计算，属于基础题.19．如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 在DC 边上，且1DE =，将ADE V 沿AE 折到AD E 'V 的位置，使得平面AD E '⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证：AE BD '⊥； （Ⅱ）求三棱锥A BCD '-的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ85.则根据折叠前后关系得OB AE ⊥，OD AE '⊥，再根据线面垂直判定定理得AE ⊥平面OBD '.最后根据线面垂直性质定理得AE BD '⊥；（2）先由面面垂直性质定理得OD '⊥平面ABCE ，即得三棱锥的高，再根据三棱锥体积公式求体积D ABC V '-，最后利用等体积法得三棱锥A BCD '-的体积.试题解析：（Ⅰ）连接BD 交AE 于点O ，依题意得2AB ADDA DE==，所以Rt ABD ~V Rt DAE V ，所以DAE ABD ∠=∠，所以90AOD ∠=︒，所以AE BD ⊥，即OB AE ⊥，OD AE '⊥，又OB OD O ⋂'=，OB ,OD '⊂平面OBD '. 所以AE ⊥平面OBD '.又1,BD OBD ⊂'平面 所以AE BD '⊥；（Ⅱ）因为平面AD E '⊥平面ABCE ， 由（Ⅰ）知，OD '⊥平面ABCE ， 所以OD '为三棱锥D ABC '-的高，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，1DE =，所以5D O '=， 所以A BCD D ABC V V '--'==13ABC S D O ⋅='V 11854232155⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 即三棱锥A BCD '-的体积为8515. 20．已知函数32()1,(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >.【答案】（1）223,39b a a a=+>；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据函数解析式先求得导函数()f x '，由极值点存在条件可知>0∆，可代入求得,a b 等量关系，结合不等式求得定义域.（2）利用分析法分析可知，若证明23b a >，只需证明3232239a a +>转化并求得导函数，结合导函数的单调性和最值证明不等式成立即可. 【详解】（1）函数32()1,(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈,则2()32f x x ax b '=++，因为有极值点，所以24120a b ∆=->， 化简可得23a b >，导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.而导函数()f x '的极值点为二次函数顶点的横坐标，所以2233a ax =-=-⨯是()f x 的零点. 即03a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 代入可得3210333a a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅-+⋅-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简可知2239b a a =+，又23a b >，即222393a a a +⎛⎫>⨯ ⎪⎝⎭，解得3a >，223,39b a a a∴=+>， （2）证明:要证23b a >，3a >，只要证b >只要证2239a a+>只要证3232239a a +> 设32t a =，t >23()9g t t t=+，所以2222222322727()0999t t t g t t t t-+-'=-==>，227t >，23b a ∴>，原式得证. 【点睛】本题考查了导函数与极值点的关系，函数零点定义，由分析法证明不等式，利用导数单调性与最值证明不等式成立，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，12F PF ∆ （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(4,0)A 作关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 分别交椭圆于11(,)M x y 与22(,)N x y ，且12x x ≠，证明直线MN 过定点，并求AMN ∆的面积S 的取值范围.【答案】(Ⅰ)2214x y +=；(Ⅱ)答案见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意利用待定系数法可得椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，与椭圆方程联立可得()2224240n y nmy m +++-=，则212122224,44nm m y y y y n n --+==++，满足题意时1212121204444y y y y x x ny m ny m +=+=--+-+-，据此可得1m =.则直线MN 过定点()1,0B ，且(12y y -=，三角形的面积1212130,222S AB y y y y ⎛=-=-∈ ⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）设222a b c -=，则c a =设(),P x y ，则1212,F PF F PF S c y y b S bc ∆∆=≤∴≤=Q解得21a b =⎧⎨=⎩. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设MN 方程为(),0x ny m n =+≠，联立22440x ny mx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2224240n y nmy m +++-=，212122224,44nm m y y y y n n --∴+==++， 因为关于x 轴对称的两条不同直线12,l l 的斜率之和为0， 即1212044y yx x +=--，即1212044y y ny m ny m +=+-+-， 得()()121212240ny y m y y y y ++-+=， 即()2222224280444n m nmnmn n n --+=+++.解得：1m =. 直线MN 方程为：1x ny =+，所以直线MN 过定点()1,0B ，又12y y -===，令211,0,44t t n ⎛⎫=∴∈ ⎪+⎝⎭(12y y ∴-=，又12121322S AB y y y y ⎛=-=-∈ ⎝⎭. 点睛：求定点，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．已知椭圆1C 的普通方程为：22149x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，（1）写出曲线1C 的参数方程，及点,,B C D 的直角坐标；（2）设P 为椭圆1C 上的任意一点，求：2222||||||||PA PB PC PD +++的最大值.【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数，(B -，(2)C --，(2,D -；（2）100.【解析】（1）根据普通方程与参数方程的转化可得曲线1C 的参数方程，由极坐标与直角坐标的转化可得A 的直角坐标；进而由ABCD 为正方形求得点,,B C D 的直角坐标； （2）设(2cos ,3sin )P θθ，即可由两点间距离公式表示出2222||||||||PA PB PC PD +++，再根据三角函数性质即可求得最大值. 【详解】（1）椭圆1C 的普通方程为22149x y +=，则12cos 3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩，θ为参数， A Q 的极坐标为4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，A ∴的直角坐标为2)，4OA =，曲线2C 的极坐标方程为4ρ=，化为直角坐标方程为2216x y +=，将A 旋转90︒得(B -，同理(2)C --，(2,D -. （2）设(2cos ,3sin )P θθ，2222||||||||PA PB PC PD +++2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ=-+-+++-2222(2cos (3sin 2)(2cos 2)(3sin θθθθ+++++-++()222224cos 129sin 44cos 49sin 12θθθθ=+++++++ ()24205sin θ=+第 21 页 共 21 页 【点睛】本题考查了椭圆参数方程与极坐标方程的转化，两点间距离公式及三角函数性质的应用，属于中档题.23．已知函数()221f x x a x =-++，（1）当1a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集；（2）已知()12g x x =-+，若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(,4][0,)-∞-+∞U 【解析】（1）将1a =代入不等式，分类讨论即可解不等式，求得解集.（2）由()12g x x =-+可知()2g x ≥，结合绝对值三角不等式可知()2f x a ≥+，进而可知22a +≥，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()2122f x x x =-++， 当12x >时，不等式可化为21226x x -++≤，解得54x ≤，1524x ∴<≤ 当112x ≤≤-时，不等式可化为(21)226x x --++≤，解得36<，112x ∴-≤≤ 当1x <-时，不等式可化为(21)(22)6x x ---+≤，解得74x ≥-，714x ∴-≤<- 综上所述，不等式的解集是75|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）()122g x x =-+≥Q ， ()2222f x x a x a =-++≥+由题意得|2|2a +≥0a ≥或4a ≤-a ∴的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞U【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的综合应用，属于中档题.。