2020年内蒙古呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试 数学(理数)卷(含答案)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016届呼和浩特市高三一模考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5 BDCBC 6-10 BBA C B 11-12 DB二、填空题 13.34 14. 43π 15. －108 16.940π 三、解答题17. （1）证明： ∵0≠+n a n ………………………………………………1分 2)1()1(2)1()2(2)1(.11111=-+-+=-++-+=-++∴-----n a n a n a n n a n a n a n n n n n n）或者（0)),1((21≠+-+=+-n a n a n a n n n --------------------------------3分∴{}n a n +是首项为4，公比为2的等比列…………………………………5分(首项和公比各给1分)∴ 11224+-=⋅=+n n n n ana n n -=∴+12- -------------------------------------------------------------------------7分2341(2)(222.......2)(123......)n n S n +=+++-++++……………………9分（会分组给2分） 22822n n n +++=-……………………………………………………………………12分（两个和，每一个和给2分）18.（I ）证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ，∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，………………………………………………..2分又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC………………………………….4分（Ⅱ）法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．………………………….5分∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，………………………………………………….6分∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．……………………………………………7分.（Ⅱ）法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，…………………………………………5分∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．…………………………………..6分.分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），33,,cos =⋅>=<→→→→→→n m nm n m 所以二面角Q ﹣PB ﹣A 的余弦值为33-------------------------------------12分19. 解：（1）由已知在[70,80]之间的初中学生的人数为15人…………………1分记至少有1名女同学为事件A 则741)(215210=-=C C A p ……………………………………………………………4分（写出算式2分，结果1分） （2）成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数 合计高中组 7030 100 初中组 5050 100 合计120 80 200 ........ ................. 7分(列联表完全正确才给分) ∴， ............. ........... ........ .10分(公式1分结果2分) ∴有99%的把握认为两个学段的学生对“四大名著”常识了解有差异”． ..... ........ ........ .................... 12分20.（1）设两圆切点为N ，|CN|+|CP|=4，|CN|=|CM|,所以|CP|+|CM|=22>2,所以圆心C 的轨迹是椭圆.且2a=22,2c=2 所以方程为1222=+y x ........................................................................................4分 (2)联立椭圆和直线方程得：0224)12(222=-+++m kmx x k.. ......... ......... ........................... 5分12,08816)22)(12(41622222222<->+-=-+-=∆k m m k m k m k 即 设交点),(),,(2221y x B y x A12222221+-=k m x x ， 124221+-=+k km x x ，...........................................................................7分122))((2222121+-=++=k k m m kx m kx y y所以 21222.2222121-=--==m k m x x y y k k OB OA 即 2122=-k m ......................................................9分12124)(122212212++=-++=k k x x x x k AB ...................... ................................................... 10分 12+=k md ................... ...................... ..................... ................ ................ ............................................ 11分 所以 22.21==d AB s 所以为定值。

3.早在19世纪末有医生发现，癌症患者手术后意外感染酿脓链球菌，其免疫功能增强、存活时间延长，从而开启了“癌症免疫疗法”的大门。

“癌症免疫疗法”是指通过自身免疫系统来抗击癌细胞的疗法。

下列相关叙述正确的是A.癌症免疫疗法主要是通过增强患者的细胞免疫功能来杀死癌细胞B.癌症免疫疗法通过改变癌细胞的遗传信息来达到治疗目的C.患者免疫功能增强是因为酿脓链球菌侵入癌细胞使其裂解死亡D.酿脓链球菌激活患者的非特异性免疫功能从而消灭癌细胞4.转座子是一段可移动的DNA 序列，这段DNA 序列可以从原位上单独复制或断裂下来，插入另一位点，转座子可在真核细胞染色体内部和染色体间转移，在细菌的拟核DNA、质粒或噬菌体之间自行移动，有的转座子中含有抗生素抗性基因，可以很快地传播到其他细菌细胞，下列推测不合理的是A.转座子可能引起酵母菌发生染色体变异B.转座子复制时以四种脱氧核糖核苷酸为原料C.转座子从原位上断裂时有磷酸二酯键的断裂D.含有转座子的细菌对抗生素具有抗性5.唐代诗人曾用“先春抽出黄金芽”的诗句形容早春茶树发芽的美景。

茶树经过整形修剪，去掉顶芽，侧芽发育成枝条。

研究表明，外源多胺能抑制生长素的极性运输。

下列相关叙述错误的是A.在侧芽发育成枝条的过程中赤霉素、生长素、细胞分裂素发挥了协同作用B.施用适宜浓度的外源多胺能促进侧芽发育C.生长素主要在顶芽合成，细胞分裂素主要在侧芽合成D.光照、温度等环境因子会影响植物激素的合成6.用放射性同位素分别标记培养基中的U 和T，将标记后的碱基用来培养某种生物的细胞，测定其培养过程中这两种碱基被细胞利用的速率，绘制成如图所示的曲线。

下列对此结果的分析中不正确的是A.在c～e 段主要进行DNA 分子的复制B.显微镜下观察时，处于a～f 段的细胞数量较多C.处于e 点的细胞中染色体数目是处于a 点细胞中的两倍D.用化学药物阻断碱基T 的利用，可抑制癌细胞的增殖7.下列有关物质的性质与其应用不相对应的是A.MgO 和Al 2O 3的熔点很高，可用作耐高温材料B.NaHCO 3能与碱反应，可用作食品工业上焙制糕点的膨松剂C.Al 具有良好的延展性和抗腐蚀性，可制成铝箔包装物品D.利用钠蒸气放电可发出射程远、透雾能力强的黄光，可用于制造高压钠灯注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}，则A∩（?R B）=（）A. {x|0＜x≤1}B. {x|0＜x＜1}C. {x|l≤x＜2}D. {x|0＜x＜2}2.若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A. -2B. 2C.D.3.已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A. B. C. D.4.函数f（x）=x cosx-x3的大致图象为( )A. B. C. D.5.在等比数列{a n}中，a2-a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A. 9B. 27C. 54D. 816.政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分评分越高表明市民的满意度越高绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是A. 这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B. 估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C. 这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D. 该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A. 7B. 4C. 5D. 119.圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A. 6π+4B. 5π+2C. 5π+4D. 20π+1610.设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A. 乙是丙的充分而不必要条件B. 乙是丙的必要而不充分条件C. 乙是丙的充分且必要条件D. 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11.已知函数f（x）=2x-1+2x+3与g（x）=x-x-1的零点分别为x1，x2，h（x）=（）x且h（x3）=，则x1，x2，x3的大小关系为（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x2＜x3＜x1D. x3＜x1＜x212.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2=a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A. y=B. y=C. y=D. y=二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知||=2，是单位向量，且与夹角为60°，则?（-）等于______．14.在（2x-）5的展开式中，x2的系数为______．15.设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，PA⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为-，那么以PF为直径的圆的标准方程为______．16.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n=（-1）n-1，则数列{b n}的前100的项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，．(1)若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；(2)若BD＝2DC，且，求AD的长．18.如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，将△ABD沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E-BC=A的大小．19.某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n=EX时取得最大值？20.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21.已知函数f（x）=x2-2x+m ln x+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1-≤＜1．22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，不与坐标轴重合的直线1的极坐标方程为θ=θ0（ρ∈R），设1与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0=时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|x-3|．（1）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，∴?R B={x|-1＜x＜1}，∴A∩（?R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．根据补集、交集的定义即可求出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.【答案】D【解析】解：∵（2a+i）（1+i）=（2a-1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a-1=0，即a=．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）===，故选：B．由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）===，得解．本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（-x）=-x cos（-x）-（-x）3=-x cosx+x3=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）=cos-（）3=-（）3＜0，排除B，故选：A．5.【答案】B【解析】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2=3a1+a3，变形可得4a1q=3a1+a1q2，即q2-4q+3=0，解得q=1或3；又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，则q=3，a1=1，则a n=3n-1，则有a4=33=27；故选：B．根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2=3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2-4q+3=0，解得q，又a2-a1=2，即a1（q-1）=2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n=4代入计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为=0.1，=0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是=67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A=1，?=-，∴ω=2．再利用五点法作图可得2?+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin （2x+）．为了得到g（x）=sin（ωx+）=sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x ）得解析式，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由程序框图可得：m=2a-3，当i的值为1时，m=2（2a-3）-3=4a-9，当i的值为2时，m=2（4a-9）-3=8a-21，当i的值为3时，m=2（8a-21）-3=16a-45，当i的值为4时，m=2（16a-45）-3=32a-93，此时不满足循环条件，输出m=32a-93=67，解得：a=5．故选：C．模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S=2π×12+π×12+π×2+2×2=4+5π．故选：C．该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10.【答案】C【解析】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．判断乙是丙的什么条件，即看乙?丙、丙?乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．【解答】解：由f（x）=2x-1+2x+3=0得2x-1=-2x-3，即2x=-4x-6，作出函数y=2x与y=-4x-6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足-2＜x1＜-1，由g（x）=x-x-1=0得x-1=x，作出y=x-1和y=x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）=（）x和y=，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选B．12.【答案】B【解析】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|=|F1F2|=2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|=|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2=|F1O|2-a2=c2-a2，所以|F1E|=b=|MF1|①又|MF1|=|MF2|+2a=2c+2a②，c2=a2+b2③由①②③可得c2-a2=（）2，即为4（c-a）=c+a，即3c=5a，b===a，则双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|=|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：∵||=2，是单位向量，且与夹角为60°，∴?（-）=-?=4-2×1×=3，故答案为：3．依题意，利用平面向量的数量积即可求得?（-）的值．本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14.【答案】80【解析】解：（2x-）5的展开式中，通项公式T r+1=（2x）5-r=（-1）r25-r，令5-r=2，解得r=2．∴x2的系数=23=80．故答案为：80．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】（x-2）2+（y-）2=4【解析】解：∵抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|=|PA|，F（1，0），准线l的方程为：x=-1；设F在l上的射影为F′，又PA⊥l，依题意，∠AFF′=60°，|FF′|=2，∴|AF′|=2，PA∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2=4x0，∴x0=3，∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x-2）2+（y-）2=4故答案为：（x-2）2+（y-）2=4．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|PA|．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1=1，所以：a n=1+2（n-1）=2n-1，所以：b n=（-1）n-1=，所以：，==，故答案为：首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（Ⅰ）∵∠BAD=60°，∠BAC=90°，∴∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得：，∴sin∠ADC=sin∠DAC=，∴∠ADC=120°，或60°，又∠BAD=60°，∴∠ADC=120°；（Ⅱ）∵BD=2DC，∴BC=3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2=AB2+AC2，可得：9DC2=6+3DC2，∴DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2=AD2+BD2-2AD?BD?cosθ，在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD?CD?cos（π-θ）,可得：，∴解得：AD2=2，可得：AD=.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由已知可求∠DAC=30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC=，即可解得∠ADC=120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC=1，BD=2，AC=，令∠ADB=θ，由余弦定理，即可解得AD的值．18.【答案】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB=BC=CD=2，BD=2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD=BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2=AB2+BC2=8，AD2=AB2+BD2=12，AD2=AC2+CD2=12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB=A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B 作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴=（，0），=（0，，1），令平面BCE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为=（-，0），∴cos＜，＞==，∴二面角E-BC=A的大小为45°．【解析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-BC=A的大小．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X=100）==0.2，P（X=300）=，P（X=500）=，∴X的分布列为：X 100 300 500P 0.2 0.4 0.4E（X）=100×0.2+300×0.4+500×0.4=340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，∴E（Y）=2n×0.4+（900-n）×0.4+（300-n）×0.2=420+0.2n，此时，n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，∴E（Y）=2n×（0.4+0.4）+（300-n）×0.2=60+1.4n，此时，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n=340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340=488不是最大值，n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5×300+2（n-300）-3n=900-n，若最高气温低于20，则Y=5×100+2（n-100）-3n=300-n，求出E（Y）=420+0.2n，当n=500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y=5n-3n=2n，若最高气温位于[20，25），则Y=5n-3n=2n，若最高气温低于20，则Y=5×100-（n-100）-300=300-n，E（Y）=60+1.4n，n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n=500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为+=1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为-k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PA的方程为y+1=k（x-2），即y=kx+1-2k联立，得（1+2k2）x2+4（k-2k2）x+8k2-8k-4=0．∴2x1=，即x1=设直线PB的方程为y+1=-k（x-2），同理求得x2=∴x2-x1=-∴y1-y2=k（x1+x2）+2-4k=，∴直线AB的斜率k AB==1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）∵，∴，令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0，令f’（x）=0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2-2x+m=0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【解析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．22.【答案】解：（Ⅰ）当θ0=时，联立得A（-2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|=2-（-2）=2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1=4cosθ，ρ2=4sinθ，P为AB的中点，∴ρ==2cosθ+2sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【解析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=，其图象为（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，即|2x+1|+|x-3|≥|x-m|在x∈[4，5]上恒成立，∴|x-m|≤3x-2，即2-3x≤m-x≤3x-2，∴2-2x≤m≤4x-2，x∈[4，5]上恒成立，∴-6≤m≤14，故m∈[-6，14]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，数形结合思想，是一道常规题．（1）f（x）=，画图即可，（2）关于x的不等式f（x）≥|x-m|的解集包含[4，5]，可得|x-m|≤3x-2在x∈[4，5]上恒成立，解得即可.。

2020届内蒙古呼和浩特市高三上学期质量普查调研考试数学（理）试题一、单选题 1．复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A2．已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{}|10B x x =->，则A B =U （ ）A ．()1,3B ．()2,3-C ．()1,+∞D ．()2,-+∞【答案】D3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D4．设sin2sin αα=-，且α是第二象限的角，则tan2α的值是（ ） A 3B ．23C ．3D ．3±【答案】A5．函数sin y x =和tan y x =的图像在[]2,2ππ-上交点的个数为（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】B6．已知函数()f x 满足()()4f x f x =-，()524f x dx =⎰，则()51f x dx -⎰等于（ ）A ．0B ．2C ．8D ．不确定【答案】C7．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A ．()1621n +-B ．()2621n-C ．63n-D ．()621n-【答案】A8．已知0>ω，若()22cos sin cos f x x x x ωωω=+在区间72,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调时，ω的取值集合为A ，对()2,x ∀∈+∞不等式902x x ω+->-恒成立时，ω的取值集合为B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A9．在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()2,0B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为（ ） A ．-2 B ．0 C ．-3 D ．-4【答案】C10．等差数列的{}n a 公差d 不为0，n S 是其前n 项和，给出下列命题： ①若0d <，且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项； ②给定n ，对一切()*k Nk n ∈<，都有2n k n k n a a a -++=；③若0d >，则{}n S 中一定有最小项； ④存在*k N ∈，使得1k k a a +-和1k k a a --同号. 其中正确命题的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B11．已知函数()f x 满足()()1'xf x f x e +=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．0个【答案】B12．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示1-9的一种方法.则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“=⊥”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9数字表示的两位数的个数为（）A．9 B．13 C．16 D．18【答案】C【解析】根据题意6根算筹可表示数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；其中数字组合3、3，7、7只表示2个两位数；其余7组每组可表示2个两位数，共14个，因此可表示的两位数为16个.【详解】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2714⨯=个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示212⨯=个两位数；则一共可以表示14216+=个两位数.故选:C【点睛】本题主要考查了数学文化，并以数学文化为载体考查考生的阅读能力以及逻辑推理能力，属于中档题.二、填空题13．已知实数,x y满足约束条件0,10,10,y xx yy-≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y=+的最大值为________.【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．如图，在等腰梯形ABCD 中，12DC AB =，BC CD DA ==，DE AC ⊥于点E ，如果选择向量AB u u u r 与CA u u u r 作基底，则DE u u u r可用该基底表示为______.【答案】1122AB CA +u u ur u u u r【解析】由题意可知E 为AC 的中点，根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意可得E 为AC 的中点，所以111222DE DC CE DC CA AB CA =+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故答案为：1122AB CA +u u ur u u u r【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及向量的加、减法则，属于中档题. 15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】【解析】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则（a 3+a 4+a 5）×=a 1+a 2，即，解得a 1=，d=．最小一份为a 1，故答案为：．16．已知常数0a >，函数()22xx f x ax =+的图像过点4,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8,9n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若()32251m n mnf +=，则a 的值是______. 【答案】12【解析】将点代入函数解析式，联立可得2232m na mn +=，结合()32251m nmn f +=，化简得()2162325a mna mn +=，解方程即可求解.【详解】由条件4,5P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，则2425m m am =+，即()4225mmam =+，所以24m am =① 8,9Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，则2829n n an =+，即()8229nnan =+，所以28n an =② ①×②得2232m n a mn +=， 又()()162322515m na mn mn f ++==③ 所以()2162325a mna mn +=④由①，②显然可知m ，n 均不为0，因为()01f =， 故上式④可化为()210200a a a --=>，解之得：12a =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查函数的性质及其运算.，需要有很强的代数变形能力和运算求解能力，属于难题.三、解答题17．已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角，且()5f α=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值. 【答案】（1）()95g α=（2）()()f x g x +的最大值为3，此时()223x k k Z ππ=+∈【解析】（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =，()22sin 1cos 2x g x x ==-，由()f α=求sin α，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f x g x +=2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭sin coscos sincos cossin sin6633x x x x ππππ=-++11cos cos 2222x x x x =-++x =，()22sin 1cos 2xg x x ==-，则()f αα==，则3sin 5α=，∵α是第二象限角，∴4cos 5α=-， ∴()49155g α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）()()cos 1f x g x x x +-+2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()()f x g x +取得最大值3， 此时()262x k k Z πππ-=+∈，即()223x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.18．已知函数()21sin 42f x x x π⎛⎫++ ⎝=⎪⎭. （1）求函数()f x 在()()0,0f 处的切线方程；（2）判断函数()f x 的导函数()'f x 在,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性；并求出函数()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 【答案】（1）1y =（2）()f x 在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；()max 1f x =【解析】（1）根据导数的几何意义可知(0)k f '=，点斜式即可求出切线方程（2）导数()1''cos 2f x x =-在,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上为正，所以()'f x 单调递增，当,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()''0f x <，()'f x 单调递减,同时()'00f =，可知()f x 在,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即可根据极值求函数的最大值(0)f . 【详解】 （1）()2211sin cos 424f x x x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭， ()1'sin 2f x x x =-，()'00k f ==，切点()0,1， 所以切线方程为1y =. （2）()1''cos 2f x x =-，令()1''cos 02f x x =-=得3x π=-，当,23x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()''0f x >，()'f x 单调递增； 当,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()''0f x <，()'f x 单调递减；且()'00f =， 所以()f x 在,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()()max 01f x f ==. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数判断原函数的单调性，函数在闭区间上的最值问题,属于中档题.19．（1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知： tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C D A B C D ----=+++22sin sin A B =+ 连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得：22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯， 2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯， 解得281919x =，22477y =， 那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =sin B =所以原式=. 【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题.20．已知函数2()22ln f x x x a x =-+，若函数()f x 在定义域上有两个极值点1x ，2x ，而且12x x <.（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：123()()ln 202f x f x +++>. 【答案】(1) 1(0,)4(2)见证明【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a 的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f （x 1）+f （x 2）的解析式，根据函数的单调性证明即可． 【详解】（1）因为函数()f x 在定义域()0,+∞上有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 所以()2'220af x x x=-+=在()0,+∞上有两个根1x ，2x ，且12x x <， 即20x x a -+=在()0,+∞上有两个不相等的根1x ，2x .所以1400a a ∆=->⎧⎨>⎩，解得104a <<，即a 的取值范围为10,4⎛⎫⎪⎝⎭. （2）证明：由题可知，1212,(0)x x x x <<是方程20x x a -+=的两个不等的实根，所以12121x x x x a+=⎧⎨=⎩，其中104a <<.故()()221211122222ln 22ln f x f x x x a x x x a x +=-++-+()()()212121212222ln x x x x x x a x x =+--++2ln 21a a a =--，令()2ln 21g a a a a =--，其中104a <<.故()'2ln 0g a a =<， 所以()g a 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()13ln242g a g ⎛⎫>=--⎪⎝⎭，即()()123ln202f x f x +++>. 【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”. （1）设{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n c 与{}n a 接近，且在()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅这100个值中，至少有一半是正数，求d 的取值范围. 【答案】（1）数列{}n a 与{}n b 是接近的，详见解析（2）()2,-+∞ 【解析】（1）写出{}n a 与{}n b 的通项公式，计算1111111222n n nn n b a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可证明（2）由题意()11n a a n d +-=，分公差0d >，公差0d =，20d -<<，公整2d ≤-分类讨论，分别取满足条件n c ，利用{}n c 与{}n a 接近的定义，计算()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中所含的正数. 【详解】（1）数列{}n a 与{}n b 是接近的.理由如下：因为{}n a 是首项为12公比为12的等比数列，所以12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 111112n n n b a ++⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以1111111222n n nn n b a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈， 即数列{}n a 与{}n b 是接近的.（2）因为{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n c 满足：{}n a 与{}n c 是接近的， 可得()11n a a n d +-=，①若公差0d >，可取n n c a =，可得110n n n n c c a a d ++-=-=>， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中有100个正数，符合题意； ②若公差0d =，取11n c a n=-，则11111n n c a a a n n -=--=<，*n N ∈，11101n n c c n n +-=->+， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中有100个正数，符合题意； ③若公差20d -<<，可令21211n n c a --=-，221n n c a =+，()2212211120n n n n c c a a d ---=+--=+>，则()11,2,3,,50k k c c k +-=⋅⋅⋅中有50个正数，符合题意； ④若公整2d ≤-，若存在数列{}n c 满足：{}n a 与{}n c 是接近的， 即为11n n n a c a -≤≤+，11111n n n a c a +---≤≤+， 可得()111120n n n n c c a a d ++-≤+--=+≤， 则()11,2,3,,100k k c c k +-=⋅⋅⋅中无正数，不符合题意； 综上：d 的取值范围是()2,-+∞. 【点睛】本题主要考查了对新定义类问题，涉及等差数列的通项公式，绝对值不等式的性质，对运算推理论证能力要求较高，属于难题. 22．在极坐标系中，直线l 过点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线()3R πθρ=∈垂直.（1）设直线l 上的动点M 的极坐标为(),ρα，用ρ表示cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度.【答案】（1）cos 3παρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标，利用两点间距离公式求PQ 的长度即可. 【详解】（1）由已知条件可得：直线l 的极坐标方程为：3sin cos 230ρθρθ+-=， ∵动点(),M ρα在直线l 上， ∴cos 33πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴3cos 3παρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=， 联立曲线C 与直线()3R πθρ=∈解得：3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()0,0Q ，∴①当3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭时：()2223223cos16PQ π=+-⨯⨯⨯=，②当()0,0Q 时：2PQ =. ∴1PQ =或2PQ =. 【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题. 23．已知函数()1f x x x =+-.(1)若()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；(2)记(1)中的m 最大值为M ，正实数a ，满足22a b M +=，证明: 2a b ab +≥. 【答案】(1)2；(2)详见解析.【解析】（1）根据绝对值解不等式求出f （x ）的最小值为1，从而得出|m ﹣1|≤1，得出m 的范围；（2）两边平方，使用作差法证明． 【详解】(1)由()210101211x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩得()1min f x =，要使()1f x m ≥-恒成立，只要11m ≥-， 即02m ≤≤，实数m 的最大值为2； (2)由(1)知222a b +=，又222a b ab +≥ 故1ab ≤，()2222222424a b a b a b ab a b +-=++-()()222242121ab a b ab ab =+-=--+，01ab <≤Q ，()()()222421210a b a b ab ab ∴+-=--+≥ 2a b ab ∴+≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。