随机过程复习提纲

北邮概率论与随机过程笔记北邮概率论与随机过程笔记第一章绪论1.1 概率论的起源与发展1.2 概率的基本概念1.3 概率论的应用领域1.4 随机过程的起源与发展1.5 随机过程的基本概念1.6 随机过程的应用领域第二章概率论的基本概念2.1 随机试验与随机事件2.2 频率与概率2.3 古典概型2.4 贝叶斯概型2.5 随机变量2.6 随机变量的函数及其分布2.7 条件概率与条件分布2.8 独立性第三章随机变量及其分布3.1 离散型随机变量及其分布3.2 连续型随机变量及其分布3.3 随机变量的数学期望3.4 随机变量的方差与标准差3.5 随机变量的矩与生成函数3.6 概率母函数与特征函数3.7 大数定律与中心极限定理第四章多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布函数4.2 联合分布函数与边缘分布函数4.3 多维离散型随机变量的分布4.4 多维连续型随机变量的密度4.5 条件分布与独立性4.6 随机变量的矩与协方差矩阵4.7 多维随机变量的生成函数与特征函数第五章数理统计基本概念5.1 数理统计的概念与作用5.2 参数估计与假设检验5.3 点估计与区间估计5.4 最大似然估计5.5 矩估计5.6 假设检验5.7 重要的假设检验第六章随机过程基本概念6.1 随机过程的概念与分类6.2 随机过程的样本函数与轨道6.3 随机过程的数学描述6.4 平稳性与各态平衡性6.5 随机过程的独立增量性与平稳增量性第七章随机过程的数学描述7.1 随机过程的数学描述7.2 随机过程的分布函数、密度函数与生成函数7.3 平稳随机过程的均值序列与相关函数7.4 广义平稳随机过程7.5 随机过程的协方差函数与自相关函数7.6 平稳随机过程的功率谱第八章马尔可夫链8.1 马尔可夫链的概念8.2 马尔可夫链的数学描述8.3 长期行为与不可约性8.4 平稳分布与转移概率矩阵8.5 极限分布与转移概率8.6 马尔可夫链的细致平衡方程第九章扩散过程9.1 扩散过程的概念与分类9.2 布朗运动与维纳过程9.3 平稳扩散过程与布朗桥9.4 非平稳扩散过程9.5 随机微分方程及其应用第十章随机过程的数值计算10.1 随机过程的模拟方法10.2 马尔可夫链模拟10.3 扩散过程的数值模拟第十一章随机过程的应用11.1 队列论与排队模型11.2 信道容量与信息论11.3 金融工程与随机过程11.4 生物与生态系统中的随机过程11.5 电力系统中的随机过程第十二章最优控制问题12.1 动态规划问题与最优控制12.2 马尔可夫控制问题12.3 黑塞矩阵与二次型控制问题第十三章随机过程的其他扩展13.1 小波分析与随机过程13.2 分数阶随机过程13.3 非高斯与非马尔可夫随机过程总结：北邮的概率论与随机过程课程涵盖了概率论和随机过程的基础知识和应用，对于理解随机现象和建立数学模型具有重要的意义。

二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。

《应用随机过程》教学大纲英文名称Stochastic Process课程代码0212713适用对象研究生统计学、数量经济学类专业先修课程数学分析、概率论与数理统计考考试方式课程论文一、课程的性质、教学目的和要求（一）性质和目的随机过程是研究随机变量在时间参数的变化过程中所呈现出的统计规律性的一门学科，具有较高的理论和应用价值，是研究生相关专业的选修课。

本课程着重学习在经济金融领域中有较高应用价值的一些内容，如随机过程的基本概念和基本类型，泊松过程，更新过程，马尔可夫链，鞅，等基础知识，从而为学生学习后继课程和毕业论文打下必要的基础。

（二）教学方法主要是理论教学，采取多媒体辅助教学。

（三）教学安排本课程总学时48学时，其中习题课6学时。

二、课程内容和学时分配第一章金融领域中的数学模型（5节）教学重点：资产组合和期权定价理论及套利定价难点：期权定价理论和套利定价第一节债券和利率第二节证券市场和股票的波动第三节资产组合第四节期权定价理论和套利定价第二章随机过程（6节）教学重点：随机过程基本概念难点：Poisson过程第一节随机过程的基本概念第二节随机过程的数字特征第三节离散时间和离散型随机过程第四节正态随机过程第五节 Poisson过程第六节平稳随机过程第三章 Poisson过程（6）教学重点：Poisson过程的几个等价定义难点：更新过程第一节齐次Poisson过程到达时间间隔与等待时间的分布第二节非齐次Poisson过程和复合Poisson过程第三节年龄与剩余寿命第四节更新过程第四章离散参数Markov链（9）教学重点：Markov链在金融中的应用难点：状态空间的分解第一节Markov链的基本概念第二节 Chapman-Kolmogorov方程第三节 Markov链的状态分类第四节闭集与状态空间的分解第五节转移概率的极限状态与平稳分布第六节从随机游动到Black-Scholes公式第七节 Markov链在金融、经济中的应用举例第五章连续时间Markov链（3节）教学重点：生灭过程难点：极限定理第一节连续时间Markov链的定义第二节极限定理和Kolmogorov方程第三节生灭过程第四节生灭过程与股票价格过程第六章 Brown运动（9节）教学重点：Brown运动的推广难点：Brown运动联合分布第一节 Brown运动的背景及应用第二节 Brown运动的定义及基本性质第三节 Brown运动的推广第四节标准Brown运动的联合分布第五节 Brown运动的首中时及最大值第六节 Brown运动轨道的性质第七节 Brown运动在金融、经济中的应用举例第八节 Poisson过程在证券价格波动中的应用第七章鞅及其应用（6节）教学重点：条件期望即鞅的应用难点：随机微分方程第一节鞅的定义及其性质第二节上鞅、下鞅及分解定理第三节停时与停时定理第四节条件期望的投影性及鞅的应用三、教科书和参考书（一）教科书《随机过程及其在金融领域中的应用》王军王娟主编清华大学出版社2007。

即元件将失效的概率强度。
3．生起率 假设寿命分布是指数分布，那么由无记忆性， 一个t 岁的元件的剩余寿命的分布与一个新 元件的寿命分布相同，因此应当是常数。
事实上 于是
(t) f (t) et
F (t) et
指数分布的失效率函数是常数。参数 常
称为分布的生起率（或速率）。
二、无记忆性
若随机变量X满足
P{X s t | X t} P{X s}
则称随机变量X是无记忆的。
s，t 0
如果我们把X看作某仪器的寿命，则X的无记 忆性表示 :
在仪器已工作了t 小时的条件下，它至少工作
s t小时的概率与它原来至少工作s 小时的概率是
相同的。
换句 话说
如果仪器在时刻t是完好的，则它的剩余寿 命的分布就是原来寿命的分布。
由指数分布的无记忆性，这另一个人在邮局再花
费的时间也服从指数分布，其均值仍为 1/ ，
即仿佛他才开始服务 .
因此由对称性，他在A之前结束服务的概率为1，/ 2
首页 故A最后离开邮局的概率也是 1/ 2 。
三、失效率函数
指数变量的无记忆性可有指数分布的失效 率函数（也称风险率函数）进一步予以阐明。
P{t X t dt | X t}
由于 P{t X t dt | X t} P{t X t dt, X t} P{X t}
P{t X t dt} f (t)dt (t)dt
P{X t}
F (t)
首页
可见 (t)表示一个t 岁的元件将失效的可能性大小，
t
即
F (t) 1 exp{0 (t)dt}
（2） F (t) 决定 (t) （有的定义可知）