《二次函数应用》 专题讲义

1 二次函数的应用 一、根据实际问题列二次函数关系式 考点：百分率

1．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（ ） A．y=20（1﹣x）2 B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= ．

考点：长度、面积、体积 1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠ABC=60°，∠BEF=120°，AE=x，DF=y，则y关于x的函数关系式为 ．

2．如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ．

3．用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为x cm，面积是S cm2，则S与x的函数关系式为（ ） A．S=x（20﹣x） B．S=x（20﹣2x） C．S=x（10﹣x） D．S=2x（10﹣x） 2

4．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）

A．y=225𝑥2 B．y=425𝑥2 C．y=25𝑥2 D．y=45𝑥2 5．正方体的表面积S（cm2）与正方体的棱长a（cm）之间的函数关系式为 ．

考点：解析式 1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣12x2 D．y=12x2 2．世纪广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管，喷水最高点A离地面为3米．此时A点离喷水口水平距离为12米，在如图所示直角坐标系中，这支喷泉的函数关系式是 ．（不要求指出自变量x的取值范围）． 3

二、二次函数的综合应用 考点：利润

（2016秋•常熟市校级月考）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件，已知商品的进价为每件40元，为使利润最大，定价应为 ．

（2018•五华区模拟）某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个． （1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？ （2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？

（2018•相城区一模）由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=﹣2x+1000． （1）该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式； （2）若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？ （3）公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？ 4

（2017秋•吴中区期末）某商店经销一种小家电，每个小家电的成本为20元，市场调查发现，该种小家电每天的销售量y（个）与销售单价x（元）的函数图象如图．设这种小家电每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种小家电的销售单价不高于32元，该商店销售这种小家电每天要获得400元的销售利润，销售单价应定为多少元？

（2017秋•太仓市期末）某专卖店经市场调查得知，一种商品的月销售量Q（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨）的关系可用下图中的折线表示． （1）写出月销售量Q关于销售价格x的关系； （2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，专卖店销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值． 5

（2017•高安市一模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？ （2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？ ②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．

考点：长度、面积、体积 （2014秋•防城区期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）． （1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

（2017秋•吴中区月考）若用24m长的篱笆围成长方形的生物园来饲养动物，则生物园的最大面积为 m2． 6

（2015•潍坊）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）

A．√3cm2 B．32√3cm2 C．92√3cm2 D．272√3cm2 （2017秋•苏州期中）如图，某农场老板准备建造一个矩形养兔场ABCD，他打算让矩形养兔场的一边完全靠着墙MN，墙MN可利用的长度为24米，另外三面用长度为50米的篱笆围成（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分） （1）若要使矩形养兔场的面积为300平方米，则垂直于墙的一边长AB为多少米？ （2）该矩形养兔场ABCD的面积有最大值吗？若有最大值，请求出面积最大时AB的长度，若没有最大值，请说明理由．

（2015秋•张家港市期末）为了节省材料，某农户利用一段足够长的墙体为一边，用总长为40m的篱笆围成如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等． （1）求AE：EB的值； （2）设BC的长为xm，矩形区域的面积为ym2．求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 7

（2015•南宁）如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米． （1）用含a的式子表示花圃的面积． （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽． （3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

考点：解析式（能否） （2014秋•吴江区期末）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）间的关系为y=﹣112（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是（ ） A．2m B．8m C．10m D．12m

（2015秋•河南期中）如图是一座抛物线形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降2m时，水面的宽为 m．

（2015秋•苏州校级期中）如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后 8

呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为 ．

（2015秋•张家港市校级期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（ m）之间的关系为y=﹣19（x﹣4）2+4，由此可知铅球推出的距离是 m．

（2015秋•姑苏区校级期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=﹣19x2+79x+2．则他将铅球推出的距离是 m．

（2018•亭湖区一模）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面 9

离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m． （1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽； （2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？ （注：结果保留根号．）

（2017•蚌埠二模）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值． （2）求支柱MN的长度． （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

（2017秋•东莞市校级期中）如图，在一次高尔夫球比赛中，小明从山坡下O点打出一球向