2008年中南大学数学建模暑假培训第一次练习题

2008年中南大学数学建模暑假培训第一次练习题（共四题每队选作一题，2008年8月6日交并作报告）第一题：垃圾填埋场的优化设计问题某市平均日产生活垃圾约为1000立方米（以压缩后体积计），现欲建一垃圾填埋场，将垃圾挖坑后填埋，再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被。

现在需要就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策。

考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题，市政当局希望给出花钱最少的预算。

现已知下列情形：1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，无须处理，但须运上地面，并须留出填埋覆盖用土。

2.每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年。

3.填埋场预计使用五十年。

4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中，无须作功。

5.现征地费用为20万元/亩，根据统计资料知，此前三年地价涨幅为平均10% /年。

6.机械使用柴油，效率为30%。

在平地作业时，将一立方土移动一米需作功100KJ，但随挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基础上下降10%。

7.当前银行贷款年利率为5%，存款利率为3%。

8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等)。

问题：试按市政当局要求，建立数学模型，为该项目计算出最佳的挖掘深度，评价模型优缺点；作出征购土地，购买机械的方案及预算。

第二题：运输问题某运输公司为10个客户配送货物，假定提货点就在客户1所在的位置，从第i个客户到第j个客户的路线距离（单位公里）用下面矩阵中的位置上的数表示（其中表示两个客户之间无直接的路线到达）。

运送员在给第二个客户卸货完成的时候，临时接到新的调度通知，让他先给客户10送货，已知送给客户10的货已在运送员的车上，请帮运送员设计一个到客户10的尽可能短的行使路线（假定上述矩阵中给出了所有可能的路线选择）。

现运输公司派了一辆大的货车为这10个客户配送货物，假定这辆货车一次能装满10个客户所需要的全部货物，请问货车从提货点出发给10个客户配送完货物后再回到提货点所行使的尽可能短的行使路线？对所设计的算法进行分析。

现因资源紧张，运输公司没有大货车可以使用，改用两辆小的货车配送货物。

每辆小货车的容量为50个单位，每个客户所需要的货物量分别为8，13，6，9，7，15，10，5，12，9个单位，请问两辆小货车应该分别给那几个客户配送货物以及行使怎样的路线使它们从提货点出发最后回到提货点所行使的距离之和尽可能短？对所设计的算法进行分析。

如果改用更小容量的车，每车容量为25个单位，但用车数量不限，每个客户所需要的货物量同第3问，并假设每出一辆车的出车费为100元，运货的价格为1元/公里（不考虑空车返回的费用），请问如何安排车辆才能使得运输公司运货的总费用最省？第三题：私家车保有量增长及调控问题我国经济的快速发展为私人汽车提供了巨大的发展空间。

据中国汽车工业协会估算，截止到2006年底，中国私人汽车保有量约为2650万辆，占全国汽车保有量的60%左右。

在2006年，我国汽车销量为710多万辆，私人购买比例超过77%，中国已经成为仅次于美国的全球第二大新车市场。

据世界银行的研究，汽车保有量(尤其是私人汽车)与人均国民收入成正比。

2003年，我国国内人均GDP首次突破1000美元，这预示着中国汽车开始进入家庭消费阶段。

而事实表明，随着中国人均GDP的稳健增长，近年来，我国的家用汽车销量以两位数的增速急剧扩大。

汽车特别是用于消费的私人汽车保有量的多少，与经济发展程度、居民收入以及道路建设等有着密切的联系。

随着私人汽车消费时代的到来，汽车保有量上升的一个重要因素就是国内汽车消费的快速增长。

消费者购买力的增强和个体私营经济的快速发展，也带动了私人汽车的大发展。

私人汽车保有量与一个国家或地区的社会经济发展的有关数据有着密切关系。

附表提供了我国某一经济发达地区的一些相关统计数据。

然而，当我们快速迈进以私人汽车为主体的汽车社会的时候，也面临着新的考验，除了能源紧缺、燃油价格上涨、土地资源有限等诸多不利因素对汽车发展带来巨大的压力外，环境污染也对汽车工业的发展提出了严格的要求。

我国于上世纪1999年对生产的小汽车废气CO、HC、NOX 和PM允许排放量制订了国家标准(相当于欧洲标准)。

规定生产的汽车从2000年1月1日起实施国Ⅰ排放标准，从2005年1月1日起实施国Ⅱ排放标准，从2007年7月1日起实施国Ⅲ排放标准，从2010年1月1日起实施国Ⅳ和国Ⅴ排放标准(实现基本与欧洲标准同步)。

据有关资料介绍，在城市交通中，小汽车与公共汽车相比，单位小汽车排放的污染物比公共汽车高9倍。

如果对这种快速增长不从战略的高度加以科学引导和调整，汽车的迅猛增长将不再单纯体现经济建设成就，巨大的负面效应也将成为社会发展的阻碍因素。

请研究下述问题：根据附表中的相关数据建立数学模型，分析影响该地区私人汽车保有量的因素，并预测到2010年该地区私人汽车保有量有多少？自2007年以来，CPI指数累创新高，为了稳定宏观经济，控制投资与物价的过快上涨，防止过大的资产价格泡沫和过度的投机, 政府决定自去年开始及今后一段时期内采取从紧的货币政策，如，加息、提高人民币存款准备金等等. 据统计, 2007年政府5次升息，9次上调存款准备金率，分析这些措施对该地区私人汽车保有量有什么样的影响？假设私人汽车的年运行公里数是公交车年运行公里数的五分之一。

按照汽车废气国III排放标准（欧III）（要求CO排放量每公里不超过2.3克，HC+NOX排放量每公里不超过0.56克，PM排放量每公里不超过0.05克）,如何根据该地区的汽车废气的排放情况，来调控公交车和私人汽车保有量？附表：1996-2008年某地区相关的统计数据年份人均国内生产总值(元)全社会消费品零售总额(亿元)全社会固定资产投资总额(亿元)运营公交车辆数（辆）公交营运总数(亿人次)城市交通干线噪音均值(分贝)公交车营运总里程(万公里)道路总长(公里)居民人均可支配收入（元）居民储蓄款余额(亿元)汽油(93号)年均价 (元/升)私人汽车保有量(万辆)1996 27000　297.35 327.53 2658 6.31 68.3 15948 737 16316 583.89 1.96　3.1　1997 30619　325.00 390.51 2763 6.94 69.6 17130 789 18600 707.672.283.6 1998 33282　423.00 474.632801 5.73 69.7 17866 894 19886 861.88 2.32 4.2 1999 33689 467.57 569.55 2887 7.76 69.8 189611015 20249 941.99 2.38 4.8 2000 41020 538.17 616.25 2920 8.23 69.7 19688 1198 21626 1082.6 2.73 6.72001 43344 832.04 686.37 3495 8.87 68.3 24465 1361 23544 1373.4 2.89 9.1 2002 46030 941.94 788.153495 9.57 68.2 24814 1710 24941 1756.5 2.8213 2003 53887 1095.13 969.1 4885 9.65 68.7 361492100 25936 2199.5 3.08 18.9 2004 59271 1250.64 1092.6 5376 10.11 69.2 43008 2314 26596 2625.4 3.56292005 64507 1437.67 1176.1 6091 15.05 69.2 51946 2500 28494 3229.4 3.98 51.1 2006 70597 1671.29 1273.77305 16.81 69.2 65745 2614 29628 3744.7 4.98 78.2 07.1季20505 528.67 342.25 7867 5.24 69.3 177002693 7309 874.5 4.90 93.4 07.2季19619　487.75 336.98 7962 4.54 69.2 16720 2769 7412 908.7 5.01 100.607.3季19874　479.79 333.52 8074 4.32 69.1 17094 2832 7731 968.2 5.13 107.1 07.4季19223 408.82 332.258188 4.5 68.6 18832 2897 7611 1041.2 5.34 113 08.1季19703　551.97 231.79 8328 5.13 67.9 174722964 7726 987.91 5.21 128第四题奥运会奖牌预测2008年8月第29届奥运会将在中国北京举行，届时中国体育健儿将和来自世界各地的选手一同争夺奥运奖牌。

（1）请你设计一个数学模型预测中国队在本届奥运会上将获得多少枚奖牌。

附录中给出了88年，92年，96年，00年，04年各国家和地区所获金、银，铜牌数目。

（2）你认为衡量一个国家的体育实力应该以什么为标准，试建立相应的模型，并且从网上收集数据对模型进行求解。

附录：第24---28届奥运会各代表团奖牌榜第二十四届汉城奥运会（１９８８年）国家金牌银牌铜牌 国家金牌银牌铜牌苏联 55 31 46 捷克斯洛伐克 3 3 2民主德国 37 35 30 新西兰 3 2 8美国 36 31 27 加拿大 3 2 5韩国 12 10 11 波兰 2 5 9西德 11 14 15 挪威 2 3 -匈牙利 11 6 5 荷兰 2 2 5保加利亚 10 12 13 丹麦 2 2 5罗马尼亚 7 11 6 巴西 1 2 3法国 6 4 6 芬兰 1 1 2意大利 6 4 4 西班牙 1 1 2中国 5 11 12 土耳其 1 1 -英国 5 9 10 摩洛哥 1 2 -肯尼亚 5 2 2 苏里南 1 - -日本 4 3 7 葡萄牙 1 - -澳大利亚 3 6 5 奥地利 1 - -南斯拉夫 3 4 5第二十五届巴塞罗那奥运会（１９９２年）国家金牌银牌铜牌 国家金牌银牌铜牌独联体 45 38 29 波兰 3 6 10美国 37 34 37 荷兰 2 6 7德国 33 21 28 肯尼亚 2 4 2中国 16 22 16 挪威 2 4 1古巴 14 6 11 土耳其 2 2 2西班牙 13 7 2 印度尼西亚 2 2 1韩国 12 5 12 巴西 2 1 -匈牙利 11 12 7 希腊 2 - -法国 8 5 16 瑞典 1 7 4澳大利亚 7 9 11 芬兰 1 2 2意大利 6 5 7 丹麦 1 1 4加拿大 6 5 7 摩洛哥 1 1 1英国 5 3 12 爱尔兰 1 1 -罗马尼亚 4 2 1 埃赛俄比亚 1 - 2捷克斯洛伐克 4 2 1 阿尔及利亚 1 - 1朝鲜 4 - 5 爱沙尼亚 1 - 1日本 3 8 11 立陶宛 1 - 1保加利亚 3 7 6 瑞士 1 - -第二十六届亚特兰大奥运会（１９９６年）国家金牌银牌铜牌 国家金牌银牌铜牌美国 44 32 25 爱尔兰 3 0 1俄罗斯 26 21 16 瑞典 2 4 2德国 20 18 27 挪威 2 2 3中国 16 22 12 比利时 2 2 2法国 15 7 15 尼日利亚 2 1 3意大利 13 10 12 朝鲜 2 1 2澳大利亚 9 9 23 埃塞俄比亚 2 - 1古巴 9 8 8 阿尔及利亚 2 - 1乌克兰 9 2 12 英国 1 8 6韩国 7 15 5 白俄罗斯 1 6 8波兰 7 5 5 肯尼亚 1 4 3匈牙利 7 4 10 牙买加 1 3 2西班牙 5 6 6 芬兰 1 2 1罗马尼亚 4 7 9 印尼 1 1 2荷兰 4 5 10 南斯拉夫 1 1 2希腊 4 4 - 伊朗 1 1 1捷克 4 3 4 斯洛伐克 1 1 1瑞士 4 3 - 亚美尼亚 1 1 -丹麦 4 1 1 克罗地亚 1 1 -土耳其 4 1 1 葡萄牙 1 - 1加拿大 3 11 8 泰国 1 - 1保加利亚 3 7 5 布隆迪 1 - -日本 3 6 5 香港 1 - -哈萨克 3 4 4 哥斯达尼加 1 - -巴西 3 3 9 叙利亚 1 - -新西兰 3 2 1 厄瓜多尔 1 - -南非 3 1 1第二十七届悉尼奥运会(2000年)名次代表团金牌银牌铜牌总数名次代表团金牌银牌铜牌总数1 美国 40 24 33 97 31 芬兰2 1 1 42 俄罗斯 32 28 28 88 32 奥地利 2 1 0 33 中国 28 16 15 59 33 立陶宛 2 0 3 54 澳大利亚 16 25 17 58 34 阿塞拜疆 2 0 1 35 德国 13 17 26 56 35 斯洛文尼亚 2 0 0 26 法国 13 14 11 38 36 瑞士 1 6 2 97 意大利 13 8 13 34 37 印度尼西亚 1 3 2 68 荷兰 12 9 4 25 38 斯洛伐克 1 3 1 59 古巴 11 11 7 29 39 墨西哥 1 2 3 610 英国 11 10 7 28 40 阿尔及利亚 1 1 3 511 罗马尼亚 11 6 8 25 41 乌兹别克斯坦 1 1 2 412 韩国 8 10 10 28 42 南斯拉夫 1 1 1 313 匈牙利 8 6 3 17 43 拉托维亚 1 1 1 314 波兰 6 5 3 14 44 巴哈马 1 1 0 215 日本 5 8 5 18 45 新西兰 1 0 3 416 保加利亚 5 6 2 13 46 泰国 1 0 2 317 希腊 4 6 3 13 47 爱沙尼亚 1 0 2 318 瑞典 4 5 3 12 48 克罗地亚 1 0 1 219 挪威 4 3 3 10 49 喀麦隆 1 0 0 120 埃塞俄比亚 4 1 3 8 50 哥伦比亚 1 0 0 121 乌克兰 3 10 10 23 51 莫桑比克 1 0 0 122 哈萨克斯坦 3 4 0 7 52 巴西 0 6 6 1223 白俄罗斯 3 3 11 17 53 牙买加 0 4 3 724 加拿大 3 3 8 14 54 尼日利亚 0 3 0 325 西班牙 3 3 5 11 55 南非 0 2 3 526 土耳其 3 0 2 5 56 比利时 0 2 3 527 伊朗 3 0 1 4 57 阿根廷 0 2 2 428 捷克共和国 2 3 3 8 58 中国台北 0 1 4 529 肯尼亚 2 3 2 7 59 摩洛哥 0 1 4 530 丹麦 2 3 1 6 60 朝鲜 0 1 3 4。