第23卷第5期2006年10月
工程数学学报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol.23No.5
Oct.2006
文章编号:1005-3085(2006)05-0843-06
一个自动确定信赖域半径的信赖域方法?
李改弟
(北京工业大学应用数理学院，北京100022)
摘要:本文对无约束优化问题提出一个自适应的信赖域方法，每次迭代都充分利用当前迭代点包含的二次信息自动产生一个信赖域半径，所用的计算信赖域半径的策略没有增加额外的计算量。在通常条件下，证明了全局收敛性及局部超线性收敛结果，数值结果验证了新方法的有效性。
关键词:无约束；信赖域方法；自适应；全局收敛
分类号:AMS(2000)5K10;90C30中图分类号:O221.2文献标识码:A
1问题的提出
考虑无约束优化问题
min f(x),(1)
其中f:R n→R是一个二次连续可微函数。
无约束优化信赖域方法最先由Powell[1]提出。从那时起，信赖域方法因为其强收敛性，强适性和稳定性等优点引起许多研究者的兴趣。信赖域方法是一种迭代方法，每次迭代，解信赖域子问题
min d∈R n g T
k
d+1
2
d T B k d:=Φk(d)
s.t.||d||≤?k,
其中g k= f(x k),B k∈R n×n是近似于Hessian阵 2f(x k)的对称矩阵，?k是信赖域半径。
在当前迭代点x k，通过求解信赖域子问题得到试探步d k，我们称
Pre d k=Φk(0)?Φk(d k)(2)
为预估下降量，称
Are d k=f(x k)?f(x k+d k)(3)
为真实下降量。定义真实下降量与预估下降量之比
r k=Are d k
Pre d k
(4)
信赖域方法利用这一比值的信息来调节信赖域半径。粗略地讲，r k越大，d k使函数f(x)下降就越多，因而可考虑扩大信赖域半径?k；反之，则得考虑拒绝接收d k，并缩小信赖域半径?k。
收稿日期:2004-06-24.作者简介:李改弟(1977年生)，女，博士，讲师，研究方向：最优化理论及应用.
?基金项目:北京工业大学博士启动基金；国家自然科学基金(10231060).
万方数据