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论文 n维欧氏空间上的次正交与次对称

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贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 2 页 第一章 次正交 1.1 关于次转置的定义与基本性质 定义 ]2[1设nm矩阵：



nmnmmmnmnmmmnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa,1,2,1,,11,12,11,121,2222111,11211.......................................A

则称mn矩阵





11211,11,12222,12,1,11,21,11,12,1,........................................aaaaaaaaaaaaaaaammmmnnnmnmnnnmnm

为矩阵A的次转置，记A的次转置为STA。由定义1立即可得 命题 ]2[11121,,aaaaaannSTn

命题 ]2[2设pqppqqAAAAAAAAAA212222111211是一个分块矩阵，其中ijA是子块。则



STSTpSTpSTqSTqpSTqpSTqSTqpSTpqSTAAAAAAAAAA

111,111,11,11,

1,1



 贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 3 页 定义 ]1[2给定nR中向量Tnaaa),,(21，Tnbbb),,(21则称ST为向量，的次内积。

ST=nnnnnnnbababababbbaaa1122112111,,

次内积所具有的性质： 1）STST 2）STSTkk 3）STSTST 说明：次内积也具有与内积相似的几个性质，但由于两者在定义上的不同。次内积就不具有正定性。即当0ST时，不一定等于0。这是和内积不同的，正是由于这点不同，在内积中向量长度可以用,来定义，但在次内积中ST是没有意义的。

引理 ]3[1设A是一个nm矩阵，则 TmSTnAJAJ 或STmTnAJAJ 其中，J是次对角线上的元素全为1其余元素全为0的方阵，TA是A的转置矩阵。 证明：设nmijaA，记ijSTijmSTnbAcCJAJ,。

首先容易看出mSTnJAJ与TA都是mn矩阵。其次，ijngJ，其中

时。当时；当1,01,1jnijnigij minkmlljklikljnkklikijgbggbgc1111

nkjijminjmkikabbg11,11, 贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 4 页 TmSTnAJAJ

推论 ]2[1（1）AASTST)( （2）STSTSTBABA)(（A与B是同级矩阵） （3）STSTAA)(（是常数） （4）STSTSTABAB)(（A是sm矩阵，B是ns矩阵）。 证明：（4）设A是一个nm矩阵，B是一个pn矩阵，由引理1，有 mSTnnSTpTTTmSTpJAJJBJABABJABJ)()( mSTSTpJABJ 等式两边分别左乘pJ和右乘mJ后，即证出。 引理 ]3[2设A是n阶方阵，则STAA。 证明：STSTSTSTSTTAIAJJAJJJAJJJAAA 引理 ]3[3设A是可逆的n阶方阵，则STA也可逆，且STSTAA11。 显然， EEST1。 证明： EEAAAASTSTSTST11

STSTAAA11可逆，并且 1.2 次正交规范基与次正交矩阵 定义 ]1[3若两个向量和的次内积为零，即ST=0，那么和称为次正交的。 在考虑次正交时，同样勾股定理也成立，勾股定理写为，若ST=0则 STSTST



因为 STSTSTSTSTST2 贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 5 页 仿照正交时的情形，不难将勾股定理推广到多个向量的情形，即若向量

m,,21两两次正交，那么

mSTmSTSTmSTm22112121 定义 ]1[4欧氏空间V中的一组非零向量s,,21，如果它们两两次正交，即),2,1,,(0sjijijSTi

则称此向量组为次正交向量组。 在正交情形下一组正交向量组是线性无关的。但在次正交的情形下，这一点就不得而知了。这也是因为次内积不具备正定性。 n维欧氏空间中，在正交的情形下。任意一组基,,,,21n都可以找到一组标

准正交基n,,,21使得

的结论。即 定理1n维欧氏空间nR中，存在一组基,,,,21n使得其次度量矩阵形式为



pnpjSTiEE

)(

证明：我们用归纳法进行证明， 当n=1时，aST （a为非零常数），所以成立。 假设 在1n维时命题也成立， 现在来看n维的情形，在空间中存在一组基,,,,21n满足

)1(,0111ddST。

令1111STSTiii，ni,2 则有01STi，ni,2，且n,,,21仍是一组基。由归纳假设

，),,(

2nL

中存在基n,,2，其次度量阵为 pnpjSTiEE1)(，nji,,2,

令 ii，ni,2 贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 6 页 再加上11就构成了n维空间的一组基。 V

nLL,,21 使得其次度量矩阵，

pnpjSTiEE)(，nji,,2,1, 证毕 注，在1d时需适当排列基向量的次序。

定义 ]2[5设A是一个n阶实矩阵，若EAAST（或EAAST），则称A为一个次正交矩阵。

定理 ]2[2设A是一个n阶实矩阵，njaaanjjjj,2,1,21是A的列向量组。则A是

次正交阵的充要条件为时时1,01,1njinjijSTi 证明：因,,,21nA由命题1知STSTnSTnSTA11

于是A是次正交阵EEAAnSTSTnSTnST,,2111

时时1,01,1121111211121njinji

EjSTi

nSTSTST

nSTnSTnSTn

nSTnSTnSTn









定义 ]2[6若n,,21为nR的一个基，适合时时1,01,1njinjijSTi，则称n,,21为欧氏空间nR的一个次正交规范基。 在内积中，n维欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基。在 贵 贵州大学本科毕业论文（设计） 第 7 页 次正交中这是不成立的。因为 ，次正交向量组的定义与次正交规范基的定义本

质上是不同的。次正交基涉及到了向量的次序问题，时时1,01,1nsknsksSTk。所以不能通过次正交向量组得到一组次正交基。 定理 ]2[3n阶实矩阵A是一个次正交阵的充要条件是矩阵A的列向量组为nR的一个次正交规范基。 定理 ]2[4 设n,,21（1）与,,,21n（2）为nR的两 个次正交规范基，A=nnaij)(是（1）到（2）的过渡矩阵，则A是一个次正交阵。 证明：因njankkkjj1,1，于是

nknssSTksjkinsssjnkSTkkinsssjSTnkkkijSTiaaaaaa111111))(()()(

而n,,21为nR的一个次正交规范基，

时时1,01,1nsknsk

sSTk

所以1,nsksjkijSTiaa又,,,21n为nR的一个次正交规范基。 因此时时1,01,11njinjiaansksjki 令niaaaTniiii1,,,

21

为A的列向量。则

时时1,01,11njinji

aa

nsksjkijSTi。而A是可逆矩阵，n,,21是

n

R

的一个基，于是为nR的一个次正交规范基。根据定理3知A是一个次正交阵。 ]2[5 设n,,21为nR的一个次正交规范基，而A=nnaij)(

一个次正交阵。令njankkkjj1,1，则,,,21n为nR的一个次

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高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案

高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案

第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

第六节对称变换

第六节对称变换

2 2 2
阵 A 的全部特征值．
例 3 已知实二次型
f ( x1 , x 2 , x3 ) = 4 x1 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 + 4 x3 + 4 x 2 x3
2 2 2
试用正交线性替换化为 f ( x1 , x 2 , x3 ) 标准形．
1）求出 A 的全部不同的特征值 λ1 , λ 2 , L , λ r ；
2）对每个特征值，逐个地代入齐次线性方程组 (λE − A) X = 0 ，求 出 一 个 基 础 解 系 ． 由 这 组 向 量 出 发 ， 求 出 Vλi 的 一 组 标 准 正 交 基
η i1 ,η i 2 , L ,η ik ；
第九章欧几里得空间6对称变换一对称变换定义定义12设v是欧氏空间a?lv若????v有a???a?则称a是对称变换二对称变换的性质定理7设v是有限维欧氏空间a?lv则下列命题等价
第九章 欧几里得空间
§6对称变换 对称变换
一、对称变换定义
定义 12 设 V 是欧氏空间，/A ∈ L（V） ，若 ∀α ， β ∈ V 有 （/A（ α ） β ）=（ α ，/A（ β ） ， ） 则称/A 是对称变换
例2设
4 2 2 A = 2 4 2 2 2 4
求一个正交矩阵 T 使 T ′AT 为对角阵．
四、实二次型的正交线性替换
定理 13 实二次型 f ( x1, , x 2 , L x n ) = Χ ′ΑΧ 都可以经过正交的线性替 换变成标准形 λ1 y1 + λ 2 y 2 + L + λ n y n ，其中 λ1 , λ 2 , L , λ n 是实对称矩
第八讲 欧氏空间

第八讲 欧氏空间

高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
图形学欧氏空间具体概念

图形学欧氏空间具体概念

2. n 维欧氏空间 中的线性变换 σ 是正交变换 维欧氏空间V中的线性变换 交矩阵． 交矩阵．
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则