【全国百强校】长沙市长郡中学高中数学(人教版)：选修4-4 第二章 第四节《2.4.1渐开线与摆线》(第四节)

例1.求直线的极坐标方程
1.过极点, 倾斜角是 的直线；
3
2.求过A(2， )且垂直于极轴的直线的方程．
4
3.设点A的极坐标为(2, ),直线l过点A且与极
6
轴所成的角为 ,求直线l的极坐标方程.
3
第十二页，编辑于星期日：十七点 十四分。
探究4.设点P的极坐标为(1，1)， 直线l过点P且与极轴所成的角为，求
(4)当直线l过点M (a, )(a 0)且平行于极
2 轴时, l的方程为 _____________ .
第十四页，编辑于星期日：十七点 十四分。
常用的直线极坐标方程
(1)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此 直线的角为α，则直线l的极坐标方程为 _ρ_s_i_n_(_θ_－__α_)＝__ρ_0_s_in_(_θ_0_－__α_)________．
第十五页，编辑于星期日：十七点 十四分。
例2.直线的极坐标方程的应用
在极坐标系中,直线l的方程是 sin( ) 1,
6
求点P(2, )到直线l的距离.
6
第十六页，编辑于星期日：十七点 十四分。
例2.直线的极坐标方程的应用
在极坐标系中,直线l的方程是 sin( ) 1,
6
求点P(2, )到直线l的距离.
(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为 __θ_＝__α____.
(3)当直线l过点M(a,0)( a>0)且垂直于极轴 时，l的方程为____ρ_c_o_s__θ_＝__a___.
(4)当直线l过点M (a, )(a 0)且平行于极
2 轴时, l的方程为 __ρ_s_in__θ_＝_a_____ .
标为__________．

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 3−x =0}，B ={x|x 2−x−2<0}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0}C. {0,1,2}D. {−1,0,1}2.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m//α的一个充分条件是( )A. m//n ，n//αB. m//β，α//βC. m ⊥n ，n ⊥α，m⊄αD. m ∩n =A ，n//α，m⊄α3.(x −2x )2025的展开式中的常数项是( )A. 第673项B. 第674项C. 第675项D. 第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为8g/cm 3，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为(注：π≈3.14)( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)<x(f′(x)−1)(f′(x)为f(x)的导函数)，且f(1)=0，则( )A. f(2)<2B. f(2)>2C. f(3)<3D. f(3)>36.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于A ，B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线l ：3x +2y +3=0，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为( )A.3 1326B.5 1326C.3 1313 D.9 13267.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，对于任意的x ∈R ，f(x +π12)=f(π12−x)，f(x)+f(π2−x)=0都恒成立，且函数f(x)在(−π10,0)上单调递增，则ω的值为( )A. 3B. 9C. 3或9D.38.如图，已知长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB =BC =2，AA′= 2，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD−A′B′C′D′绕直线OD′进行旋转.若平面α满足直线OD′与α所成的角为53°，直线l ⊥α，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为( )(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35)A. 43−310B.3 3−410C.3 3+310D. 43+310二、多选题：本题共3小题，共18分。

＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
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已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
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在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．

2017年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{|A x y ==，{|1}B x a x a =≤≤+，若A B A = ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3][2,)-∞-+∞B ．[1,2]-C ．[2,1]-D ．[2,)+∞2. 设复数2()1a i z i+=+，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（ ） A ． 12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3. “0a <”是“函数()|(1)|f x x ax =+在区间(,0)-∞内单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. 设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围为（ ）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e5. 将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是（ ）A ．54π-B ．4π-C ．4πD ．34π 6. 已知点(1,0)M ，,A B 是椭圆2214x y +=上的动点，且0MA MB ∙= ，则MA BA ∙ 的取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[1,9]C ．2[,9]3D ． 7. 如图所示程序框图中，输出S =（ ）A ．45B ．-55C ．-66D ．668. 如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x =>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22B ．1ln 22-C ．1ln 22+D ．2ln 22-9. 在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关 10. 已知点A 是抛物线2:2(0)C x py p =>上一点，O 为坐标原点，若,A B 是以点(0,10)M 为圆心，||OA 的长为半径的圆与抛物线C 的两个公共点，且ABO ∆为等边三角形，则P 的值是（ ）A ．52B ．53C ．56D ．5911. 设,x y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最大值为11，则a b +的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812.设函数61(),0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，[()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则013||||||a a a ++等于 .14.给定双曲线2:1C x -=，若直线l 过C 的中心，且与C 交于,M N 两点，P 为曲线C 上任意一点，若直线,PM PN 的斜率均存在且分别记为,PM PN k k ，则PM PN k k ∙= .15. 已知点(,)P x y的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则的取值范围为 . 16. 在数列{}n a 中，11a =，122133232(2)n n n n n a a n ----=-∙+≥，n S 是数列1{}n a n+的前n 项和，当不等式*1(31)()1()3()m n m n S m m N S m ++-<∈-恒成立时，mn 的所有可能取值为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知函数2()2sin (0)2x f x x ωωω=->的最小正周期为3π. （1）求函数()f x 在区间3[,]4ππ-上的最大值和最小值； （2）已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 中角,,A B C的对边，且满足2,()1b f A ==-，2sin b A =，求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的统计数据：（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程y bx a =+；（2）根据改革方案，预计在2020年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市2023年的居民生活用水量.参考公式：^1221()ni i i n i i x y nx y b xn x ==-=-∑∑，^^^a y b x =-. 19. （本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠= ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ，问12k k +是否为定值？并证明你的结论.21. （本小题满分12分）设1()1xxa f x a +=-（0a >且1a ≠），()g x 是()f x 的反函数.（1）设关于x 的方程2log ()(1)(7)a t g x x x =--在区间[2,6]上有实数解，求t 的取值范围； （2）当a e =（e为自然对数的底数）时，证明：2()n k g k =>∑； （3）当102a <≤时，试比较1|()|n k f k n =-∑与4的大小，并说明理由. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交ABC ∆的外接圆于点F ，连接,FB FC .（1）求证：FB FC =；（2）若AB 是ABC ∆外接圆的直径，120EAC ∠=，BC =AD 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a=+++(0)a >. （1）当2a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）证明：1()()4f m f m+-≥.：。