求解复数问题的常用方法
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＝ ２Ｎｚ ＝ 另有 ＝ 这样 大大 简化 计 算． Ｚ， ｚ， ，
例 ６ 设 复 数 ｚ 足 ＝２ 求 ｌ 一 ４Ｉ 满 ， ＋ 的最 Ｚ ２ 大值 和最 小值 ．
解 ： 由 ＝ ， Ｉｌ ・ ＝ ， ２得 ｚ ＝ 三 ４
＝
贝 一 ＋ ＝Ｉ 一 ｚ・ ｌ 一１ ） ０ｚ ｚ ４ｌ ｚ ＋ 三 ＝Ｊ（ ｌ ＋ Ｉ ２Ｉ ｚ一１ 引 ， （ ＋ 下转 第 ６ ｌ页）
’ ．
’
（ ２ ） ３＋ ｉ． １ １＋ ｉｚ ＝ｌ ４ Ｉ １＋ ｉｚ＝ ４ ，． （ ２ ） Ｉ ３＋ ． ’
‘ ．
．
１ １ ２） ｌＩ ３＋ ．１ｌ ， ． （ ＋ ｉ ｌｚ ＝ｌ ４ Ｉ ０ ＝／ ５
点评 ： 本题 直接 利 用课 后 习题 中已证 结 论 ， 而 从 简化 了计 算．
＝ 十
・
ｏ２ｏ １ ．ｏ８＋ ）
．
．
丢 ＝
复数 与其 共 轭 复数 乏 着 紧 密 的 联 系 ， 以 有 可
相互转 化 ， 三 ； 即 ＝ 此外 ， 们 还存 在 等 量关 系 ： ＝ 它 痃 ＝ Ｉ利用 这些 关 系式对 简化 解题 很有 帮助 ． ， 例 ５ 已知 ∈Ｃ， 方程 宏一３ ＝１ ３． 解 ｉ ２ ＋ 解 ： 痃一３ ＝１ ３． ① 将 ＋ｉ 两 边 取共 轭复 数 ， 得 ＋３ 茈＝１ ｉ ② —３． 将 ① 一② ， ｊ 一 ｚ 得 ＝ ２一 ． 代 人① 中 ， 得 ＋（ ２—３） ｉ ＋１— ｉ ． ３ ＝０ 即（ ＋１ （ ） ｚ＋１ ３ ）＝ ． —ｉ ０
・
５９ห้องสมุดไป่ตู้・
《 学之友 》 数
２１ ０ １年第 １ ２期
形 式 ， 而 求 出解来 ． 从 解 ： 方程 可化 为 ： 原
（ ｘ 一１ ５ ）一 ２ ＋（ 一Ｉ 一１ ０ ）＝ ．
６ 构 造 法
例 ８ 解方程 ＋ ＝１ ． 分 析 ： 题若 用乘 方 法解 ， 出现 高次 方 程 ， 本 会 相
因式分 解得 ： ［ ５ 一１ 一１ ］ 亏 一１—１ ０ 一（ ）（ ）＝ ．
当繁 琐． 注意 到方 程 的结 构 特 征 ， 可设
＝
，
＝ ，
贝 √ 一 ＝ １ ／ 一 ＝１ ０ ５ １ 一 或￣ １ ． ５
《 数学之友》
２ １ 年第 １ ０１ ２期
求 解 复 数 问题 的 常 用方 法
解 题 探 索
仲 为 才
（ 江苏省海头高级中学 ，２ １ １ ２２ １）
课 程 改革 后 的高 考 对 复 数 要 求 有 所 降 低 ， 自然 其 难 度也 有所 降低 ， 但也 是 高考 的一个 必考 内容 ． 因 此， 同学们 在复 习这 一章 时 ， 就需 要 用最 短 的时 间达 到最好 的效果 ， 就必 须 紧扣 基 础 知识 和基 本 运 算 方 法 ， 面就 这些 问题作 一 些研 究． 下
２ 化 虚 为 实 ， 化 计 算 简
在 解 决 复数 问题 时 ， 往 把 复 数 问题 进 行 实 数 往 化． 复数 问题 实数 化 的途 径 可 以通 过 复 数 相 等 的充 要条 件 进行 转化 ， 可 以通 过 取 模 达 到 复 数 的实 数 也 化 的 目标． 例 ４ 已知 一 ＝一１ ， ＋ｉ求复 数 五
即（ 一￣ ＋ ／ Ｙ）＋ｙ ＝一１＋ ， ｉ
１ 应 用公 式 和 相 关 结 论
化 简 和求 值 是 复 数 问题 中 的 常规 问题 ， 练 掌 熟 握 复数 的运 算 法则 和一些 基 本公 式 有助 于解题 速 度 和准确 度 的提 高．
根 复 相 的 件 得 ￣ ） 一， 据 数 等 条 ，｛一／ ， ＋ ＝ ２
因此 ｚ 一 ： １或 ｚ 一ｌ＋ ＝ ３． 点 评 ： 用复 数 与 其 共轭 复数 三的 关 系 ： ｚ 利 若 ．
点评 ： 本题 应 用 的 周 期 性 达 到 简化 计 算 的
效果．
例 ３ 已知 （ １＋２） ＝ ４ ， ｉｚ ３＋ ｉ求 ． 解： 我们可 以先求出 ｚ再求 Ｉｌ 可以直接求 ＩＩ ， ｚ， 也 ｚ．
点评 ： 本题 灵 活 运 用 了复 数 的 四 则运 算 和 ｉ的
周期性 ．
等式两边取模 ， 得 ＝￣（ 一 ） １ ／ １ ＋ ． 等式 两边 平方 ， 得 ＝１因 此 ｚ ． ． ＝ｉ
点评 ： 本题 的解 法 １ 通过待 定 系数 法 ， 用复 是 运 数相 等 的充要 条件 把 复数 问题 转化 成 实数 问题 来 解 决 的 ， 解 法 ２是 直接 通过模 的定 义进行 求模 ， 而 而 从 达到 简化 的 目的．
例 ２ 已知 ∞＋＿ ＝一１ 求 ０２ １ ， ） ｏ＋ ｏ
解 ： ∞＋ ：一１ 得 ２ ＋１： ． 由 ， ＋ ０
的值．
３ 利 用 复 数 与 其 共轭 复数 的 关 系进 行 转 化
・ ．
’
一
１ ∞一１ （ ＋ ＋１ ０ ． ∞ ＝１ ＝（ ）∞ ∞ ）＝ ，． ’ ． ・
【 Ｙ＝１ ．
得Ｊ ０因 ． 此 ： ９ ．
Ｌ ，＝ １・ ）
计算
１ ＋ ４ （ ＋３ ＼ ｉ ｉ ｒ ２ １ｌ 一
‘
解 法 ２从 已知条件 出发直接求出 Ｉｌ ： ｚ， 进而求出 五 由已知 ， 得 ＝（ 一１ ． ）＋ｉ
解原 —（ 嵝４ ｉ ｉ ：＋． ：式：．÷ ３ ）＋ｏ １ ｌ ｏ ４ １＋２
解 法 １ 求 复 数 实 际上 是 确 定 实 部 与 虚 部 的 ： 值 ， 以设 ＝ ＋ （ Ｙ∈Ｒ） 可 以将 问题 转 化 为 所 ， 就 实数 问题 来解 决． 设 ＝ ＋ ｉ Ｙ∈Ｒ） ｙ（ ， ，
贝 ＋ ｉ ／ ＋ ２ １ ０ ｙ 一￣ ｙ ＝一 ＋ ，
