“矩阵论”课程研究报告
科目：矩阵理论及其应用教师：XXX
姓名：XXX 学号：20140802XXX 专业：仪器科学与技术类别：学术
上课时间：2014年9月至2014年12月
考生成绩：
阅卷评语：
阅卷教师(签名)
矩阵数的应用
摘要： 矩阵是工程程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具，凡
是用到矩阵的地方，基本上都要涉及矩阵数。是数学上向量数对矩阵的一个自然推广。在工程实际中应用很广，本文先对矩阵数知识做一个梳理，然后结合应用实际介绍了矩阵数的具体应用。
关键字：矩阵数，基本知识，相关应用
一、引言
用矩阵的理论与方法来处理现在工程技术中的各种问题已越来越普遍。在工
程技术中引进矩阵理论不仅是理论表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，例如系统工程，优化方法，稳定性理论等，无不与矩阵理论发生紧密的结合。
在工程及计算数中，特别是数值代数中，研究数值方法的收敛性稳定性及误
差分析等问题，数理论显的十分重要。矩阵理论是数学的一个重要分支，在多种工程学科中都有极其重要的应用。特别是对线性控制系统深入研究的需要推动了矩阵理论的发展，使矩阵理论的容更加丰富多彩。
矩阵数在网络理论、数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许
多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了矩阵数的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。
二、预备知识
2.1 矩阵数的定义
由于一个n ×n 矩阵可以看成是一个拉直了的n ×n 维向量，因此可以按定义向
量数的方法来定义矩阵数，但矩阵之间还有乘法运算，因此，对于n ×n 矩阵A ，定义数如下：
设A 、B ∈n C ⨯n ，C ∈c ,按某一法则在n C ⨯n 上定义一个A 的实值函数，极为A ,
它满足以下4个条件
1. 非负性 如果A ≠0，则A >0
2. 齐次性 如果A=0，则A =0;
3. 三角不等式 B A +B A +≤
4. 相容性 B A AB ≤ 则称A 为矩阵数或乘积数。
对于n C ⨯n 中的矩阵A(m ≠n 时），只要第4条的B A AB ≤要求AB 有意义就行。
2.2 矩阵数的几个常见性质
性质1：如果任意向量及任意n 阶方阵A ∈n C ⨯n ，对于给定的向量数χ和矩阵数A 满足不等式
χχA A ≤ 则称矩阵数A 和向量数χ相容。
性质2：设A ∈n C ⨯n ,P,Q ∈n C ⨯n , P,Q 皆为酉矩阵，则
F F F AQ A PA ==
(在A 是n 级实方阵时，P 、Q 都是正交矩阵）
2.3 几种常见矩阵数
根据向量数是其分量的连续函数这个性质，则对于每个矩阵A 来说，χ
χA 的最大值都是可以达到的。即是说，总可以找到这样的向量0χ≠0，10=χ，使
,max 0χχA A =于是定义
χA A max =
相关定理 1：设A ∈n C ⨯n ,n C ∈χ,χ=(T n )......,21ξξξ，则从属于向量χ的三种数
∞χχχ，，21的矩阵算子数分别为
1. 1A =∑=n i ij a 1
j max 2. 12λ=A 1λ为A A T 的最大特征值
3. ∑=∞=n
j ij i a A 1max
相关定理2：对任意的方阵数A ,A ∈n C ⨯n ,必在n C 上存在与之相容的向量数
0,,n ≠∈∀=∞αχχαχC T 。
2.4 诱导数
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量数诱导出矩阵数
║A ║ = max{║Ax ║：║x ║=1}= max{║Ax ║/║x ║： x ≠0} ，
它自动满足对向量数的相容性
║Ax ║ ≤ ║A ║║x ║，
并且可以由此证明
║AB ║ ≤ ║A ║║B ║。
注：
⒈上述定义中可以用max 代替sup 是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有
限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。
⒉显然，单位矩阵的算子数为1。
常用的三种p-数诱导出的矩阵数是
1-数：║A ║1= max{ ∑|a i1|，∑|a 2i |，……，∑|a in | } （列和数，A 每
一列元素绝对值之和的最大值其中∑|a 1i |第一列元素绝对值的和∑
|a 1i |=|a 11|+|a 22|+...+|a 1n |，其余类似）；
2-数：║A ║2 = A 的最大奇异值 = (max{ λi(A^H*A) }) ^{1/2} （谱数，即
A^H*A 特征值λi 中最大者λ1的平方根，其中A^H 为A 的转置共轭矩阵）； ∞-数：║A ║∞= max{ ∑|a j 1|，∑|a j 2|,...，∑|a mj | } （行和数，A 每一行元素
绝对值之和的最大值）其中为∑|a j 1| 第一行元素绝对值的和，其余类似）；
其它的p-数则没有很简单的表达式。对于p-数而言，可以证明║A ║p=║A^H ║q ，其中p 和q 是共轭指标。简单的情形可以直接验证║A ║1=║A^H ║∞，║A ║2=║A^H ║2，一般情形则需要利用║A ║p=max{y^H*A*x ：║x ║p=║y ║q=1}。
2.5 非诱导数
有些矩阵数不可以由向量数来诱导，比如常用的Frobenius 数（也叫Euclid
数，简称F-数或者E-数）：║A ║F = （∑∑ ij a ^2）^1/2 (A 全部元素平方和的平方根）。
容易验证F-数是相容的，但当min{m,n}>1时F-数不能由向量数诱导
（||E11+E22||F=2>1）。
可以证明任一种矩阵数总有与之相容的向量数。例如定义║x ║=║X ║，其中
X=[x,x ，…，x]是由x 作为列的矩阵。
由于向量的F-数就是2-数，所以F-数和向量的2-数相容。另外还有以下结论：
F AB <= ║A ║F ║B ║2 以及 ║AB ║F ≤ ║A ║2 ║B ║F
