非参数统计讲义——沈思
1 第一章 绪 论
本章主要内容： 1．非参数方法介绍
2．预备知识
第一节 非参数方法介绍
一． 非参数方法的概念和实例
复习参数方法定义：设总体X的分布函数的形式是已知的，而未知的仅仅是分布函数具体的参数值，用样本对这些未知参数进行估计或进行某种形式的假设检验，这类推断方法称为参数方法。
先来看两个实例。
例1.1 供应商供应的产品是否合格？
某工厂产品的零件由某个供应商供应。合格零件标准长度为（8.5±0.1）cm。这也就是说合格零件长度的中心位置为8.5cm，允许误差界为0.1cm，即长度在8.4－8.6cm之间的零件是合格的。为评估近年来供应的零件是否合格，随机抽查了n=100个零件，它们的长度数据X见第一章附表1.1。
解答：
根据我们已学过的参数统计的方法，如何根据数据来判断这批零件合格否？
用参数数据分析方法，在参数统计中，运用得最多的是正态分布，所以考虑假设供应商供应的零件长度X服从正态分布，即
X～),(2N
其中两个参数均未知，但可用样本均值估计，样本方差估计2。
由已知的数据计算可得：零件的平均长度，即样本均值为x=8.4958cm，样本标准差为s=0.1047cm。
则零件合格的可能性近似等于
)/)4.8(()/)6.8(()6.84.8(XP
)1047.0/)4958.84.8(()1047.0/)9458.86.8((
%66
这个说明：约有三分之一的零件不合格，该工厂需要换另一个供销商了。
但这个结论与实际数据符不符合呢？这是我们要思考的问题。
我们可以对数据做一个描述性分析，先对这100个样本数据做一个频率分布。
观察到：在这100个零件中有91个零件的长度在8.4cm～8.6cm之间，所以零件合格的比例为91%，超过66％很多！
非参数统计方法介绍
非参数统计方法是一种在统计学中常用的方法，它不依赖于总体分布的具体形式，而是根据样本数据的秩次或距离来进行推断。相比于参数统计方法，非参数统计方法更加灵活，适用范围更广，能够处理更为复杂的数据情况。本文将介绍非参数统计方法的基本概念、常用的方法以及应用场景。
一、基本概念
非参数统计方法是指在统计推断中，不对总体分布做出任何假设的一类方法。它不依赖于总体的具体分布形式，而是根据样本数据的排序或距离来进行推断。非参数统计方法的主要特点包括：
1. 不依赖总体分布：不对总体的分布形式做出任何假设，更加灵活。
2. 适用范围广：适用于各种类型的数据，包括连续型数据、离散型数据以及顺序型数据。
3. 鲁棒性强：对异常值不敏感，能够更好地处理数据中的噪声和异常情况。
4. 数据要求低：不需要对数据做出太多的假设，适用于小样本和非正态分布的情况。
二、常用的非参数统计方法
1. 秩和检验（Mann-Whitney U检验）：用于比较两组独立样本的中位数是否存在显著差异。
2. 秩和相关检验（Spearman相关分析）：用于衡量两个变量之间的相关性，不要求数据呈线性关系。 3. Kruskal-Wallis检验：用于比较多组独立样本的中位数是否存在显著差异。
4. Wilcoxon符号秩检验：用于比较一组配对样本的中位数是否存在显著差异。
5. Friedman检验：用于比较多组配对样本的中位数是否存在显著差异。
三、应用场景
非参数统计方法在各个领域都有着广泛的应用，特别适用于以下情况：
1. 数据不满足正态分布假设：当数据的分布不符合正态分布假设时，可以使用非参数统计方法进行推断。
2. 样本量较小：在样本量较小的情况下，参数统计方法可能不够稳健，非参数统计方法则更适用。
3. 数据存在异常值：非参数统计方法对异常值不敏感，能够更好地处理数据中的异常情况。
60,88,88,87,60,73,60,97,91,60,83,87,81,90);length(
scores)# 输入向量求长度build.price<-
c(36,32,31,25,28,36,40,32,41,26,35,35,32,87,33,35 );build.price
hist(build.price,freq=FALSE)# 直方图
lines(density(build.price),col="red")# 连线
# 方法一： m<-mean(build.price);m# 均值
D<-var(build.price)# 方差
SD<-sd(build.price)# 标准差 S
t=(m-37)/(SD/sqrt(length(build.price)));t#t 统计量
计算检验统计量
t=
[1] -0.1412332
# 方法二： t.test(build.price-37)# 课本第 38 页
例 2.2
binom.test(sum(build.price<37),length(build.price),
0.5)# 课本 40 页
例 2.3
P<-2*(1-pnorm(1.96,0,1));P
[1] 0.04999579
P1<-2*(1-pnorm(0.7906,0,1));P1
[1] 0.4291774
> 例 2.4
> p<-2*(pnorm(-1.96,0,1));p
[1] 0.04999579
>
> p1<-2*(pnorm(-0.9487,0,1));p1
[1] 0.3427732
例 2.5( P45)
scores<- c(95,89,68,90,88,60,81,67,60,60,60,63,60,92,
ss<-c(scores-80);ss
t<-0 t1<-0
for(i in 1:length(ss)){
if (ss[i]<0) t<-t+1# 求小于 80 的个数
非参数统计 第 次作业
第二章习题 2.1 解：（1）0110001000H:hH:h
建立的猜想应该与样本表现一致。换句话说，正是样本表现使我们对总体的均值产生怀疑，进
而才有了假设检验。因此，0H是我们就与样本想要推翻的假设，所以才要检验。
（2）由上一问，这样的假设脱离样本，样本呈现出落后于旧过程的情形，而非要用一种优于旧
过程的假设，这样的假设是毫无意义的，也并不会带来好的结果。
2.2 解：
（1）有问题。假设检验在原假设条件成立下，得到拒绝域1645x.，意思是拒绝0，接
受0。而1000只是其中的一种情况，故不能接受1000。
改进方法：可直接提出假设对均值为1000进行检验。
即0110001000H:H:
（2）不合理。样本2的样本量太小，不具备代表性，用其进行假设检验风险太大。
改进方法：若样本来自同一总体，独立观察，且需要对总体样本均值做出判断，可将两样本合
并后再进行假设检验；若样本来自两个总体，需对两总体的均值做出比较，可取（12xx）作
为检验统计量进行检验。
（3）x
t
s/n
x
为样本均值，为总体均值，s为样本标准差
01pPr(t(n)t)，其中0
0x
t
s/n
p值是拒绝原假设0H的最小显著水平。若p，
则拒绝0H；反之，接受0H
（4）对总体均值进行双侧检验： 000
12
112211
1
11-H:
|t(n)t(n)|
ss
(xt(n),xt(n))
nn
拒绝域：
故，置信区间为：
（5）双侧检验：
0010
12
1122
1122''H:H:
|u|u
x
uu
/n
[xu,xu]
nn
拒绝域：
故置信区间为：-
当样本量很大时，依然可以用上法：
2
222
1
2211
11
1_n
i
i
_s(xx)[n(x(x))]
