有理数[下学期]--北师大版

第二章：有理数及其运算知识重点：绝对值的概念和有理数的运算（包括法则、运算律、运算顺序、混合运算）是本章的重点。

知识难点：绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。

考点：绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。

知识点：一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义：（1）正数：像1、2.5、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数。

2、有理数的分类：（1）按定义分类： （2）按性质符号分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。

0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。

5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。

（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下：（3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

二、有理数的运算 1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

（2）有理数加法的运算律：加法的交换律 ：a+b=b+a ；加法的结合律：( a+b ) +c = a + (b +c)用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。

北师大版有理数加法的说课稿(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标 准质量0.02克记作＋0.02克，那么﹣0.03克表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着：“净重量： 10kg±150g”， 这里的“10kg±150g” 表示什么？
解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；
（2）-0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量 0.03克；
例4、把下列各数填在相应的大括号里：
1
- 11，4.8，+73，12，- 100.5…
2，7， 6
7
，12
Hale Waihona Puke ，- 83，正数集合：｛4.8，+73，7，1 ，7 ，12… ｝
6 12
负数集合：｛ -11，-2，- 8 ，-100.5… ｝
3
三、实际应用
例 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向 转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
…………
西
东
解：-60m表示向西走60m
1、填空：
（1）－50元表示支出50元，那么＋100元表示 _收__入__1_0_0_元___．
（2）正常水位为0m ，水位高于正常水位0.2m记 作_+_0_._2_m_，低于正常水位0.3m记作
-_0_._3_m__．
（3）乒乓球比标准重量重0.039kg记作 +_0_._0_3_9_k_g__； 比标准重量轻0.019kg记作_-_0_._0_1_9_k_g； 同标准重量一致记作_0_k_g___．
正整数:如1，2，3
整数 零：0
有理数
分数
负整数:如-1，-2，… 正分数:如 12，13 5，.2 … 负分数:如 15， 3.5 ， 65 ，…

北师大版暑假小升初数学衔接之知识讲练专题02《有理数》教学目标1.理解正、负数的概念，会判断一个数是正数还是负数.（重点）2.会用正负数表示具有相反意义的量.（难点）3.能按一定的标准对有理数进行分类．（难点）新课导入新知引入：正负数的意义观察下列图片，体会数的产生和发展过程.结绳计数：由记数、排序，产生数1,2,3…产生数0：由表示“没有”“空位”，由分物、测量，产生分数，，…新课教授思考：你能用小学学过的数能表示下列数吗？用正、负数表示具有相反意义的量红色所表示的得分比0分低。

带“－”的得分比0分低这里出现了比0分低的得分，我们可以用带有“－”号的数来表示，如－10（读作：负10）表示比0低10的数；对于比0分高的得分，可以在前面加上“＋”号，如＋10（读作：正10）表示比0高10的数. 概念学习 像10、 1.2、17…这样的数叫做正数，它们都比0大在正数前面加上“－”号的数叫做负数，例如－10，－3 …0既不是正数，也不是负数典例分析 零上5ºC零下5ºC 你认为0应该放在什么地方？【例题1】天气预报某天北京的温度为:－3~3°C，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？【例题2】下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？【例题3】唐寨镇办4家民营企业今年第一季度的产值与去年同期相比的增长情况如下表，含义是什么？解：面粉厂，砖瓦厂的增长是真正意义的增长，而油厂，针织厂的增长是减少.零上与零下盈利与亏损具有相反意义的量加分与扣分高出与低于牛刀小试【例题1】(1)某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？解：沿顺时针方向转了12圈记作-12圈（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么-0.03克表示什么？解：-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g（3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g” 表示什么？解：每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有150g误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+150g，最少是10kg-150g.【例题2】加工一根轴，图纸上注明它的直径是Ф30 (单位：mm)，请问：这种零件直径的标准尺寸是多少？合格产品的最大直径是多少？最小直径又是多少？解：30＋0.03＝30.03(mm)，30－0.02＝29.98(mm)，所以这种零件直径的标准尺寸是30 mm，合格产品的最大直径是30.03 mm，最小直径是29.98 mm.新知引入：有理数的概念及分类思考：我们学过了哪些数？请举出相应的例子.1，2，3 ……正整数0 ……零－1，－2，－3 ……负整数……正分数……负分数有理数的分类:注意:小数≠分数想一想：有理数还可以进行其他分类吗？典例分析【例题1】把下面各数填在相应的括号里：正数集合{ …}；负数集合{ …}；整数集合{ …}；正分数集合{ …}；负分数集合{ …}；分数集合{ …}．【例题2】把下列各数分别填在相应集合的圈里：有理数的分类中的四点注意:1.相对性：正数是相对负数而言的，整数是相对分数而言的.2.特殊0： 0既不是正数，也不是负数，但0是整数.3.多属性：同一个数，可能属于多个不同的集合.如5既是正数又是整数.4.提醒： 分数包括有限小数和无限循环小数.1．（2019秋•商河县期末）现实生话中，如果收人100元记作100+元，那么800-表示( )A ．支出800元B ．收入800元C ．支出200元D ．收入200元 【解答】解：收人100元记作100+元，那么800-表示“支出800元”，故选：A ．2．（2019秋•松江区期末）已知：x 是正整数，且14x 是假分数，16x 是真分数，则x 等于( ) A ．14B ．15C ．14或15D ．15或16 【解答】解：14x 是假分数，16x 是真分数，1416x ∴<，x 是正整数，14x ∴=或15，故选：C ．3．（2019秋•云梦县期末）如果水位升高5米记为5+米，那么水位下降3米应记为( )A ．3+米B ．3-米C ．2米D ．2-米【解答】解：水位升高5米记为5+米，那么水位下降3米应记为：3-米，995%18,0,2001整数集合 分数集合故选：B．4．（2019秋•闵行区期末）在分数512，38，1815，17220能化为有限小数的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：能化为有限小数的有38，1815，17220，共3个；故选：C．5．（2019秋•肇庆期末）如果水库水位上升2m记作2m+，那么水库水位下降6m记作6m-．【解答】解：“正”和“负”相对，水位上升2m，记作2m+，∴水位下降6m，记作6m-．故答案为：6m-．10．（2019秋•禅城区期末）如果某学生向右走10步记作10+，那么向左走5步，应记作5-．【解答】解：把向右走10步记作10+，那么向左走5步应记作5-，故答案为：5-．6．（2019秋•无棣县期末）如果水位上升5米记作5+米，那么水位下降6米可记作6-米．【解答】解：如果水位上升5米记作5+米，那么水位下降6米可记作6-米，故答案为：6-．7．（2019秋•长清区期末）检查商店出售的袋装白糖，白糖每袋按规定重500g，一袋白糖重499g，就记作1g-，如果一袋白糖重503g，应记作3g+．【解答】解：根据题意可得：超出标准质量记为+，所以低于标准质量记为：-，因此，503克高于标准质量3克记为3+克．故答案为：3g+．8．（2019秋•和平区期中）请把下列各数填入相应的集合中：5，2-，27， 3.6-，0，193-，98%-正数集合：{5，27}⋯整数集合：{}⋯负分数集合：{}⋯【解答】解：正数集合：{5，2} 7⋯整数集合：{5，2-，0}⋯负分数集合：2{7， 3.6-，193-，98%}-⋯，故答案为：5，27；5，2-，0；27， 3.6-，193-，98%-．9．（2018秋•定州市期末）有20袋胡萝卜，以每袋25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：（1）20袋胡萝卜中，最重的一袋比最轻的一袋重多少千克？（2）与标准重量比较，20袋胡萝卜总计超过或不足多少千克？（3）若胡萝卜每千克售价2.8元，则出售这20袋胡萝卜可卖多少元？【解答】解：（1）最重的比最轻的多2.5(3) 5.5kg--=；（2）31(2)8( 1.5)212 2.5410kg-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯=-，20∴袋胡萝卜总计不足10kg；（3）2.8(252010)1372⨯⨯-=元，∴出售这20袋胡萝卜可卖1372元．10．（2019秋•鞍山期末）某玩具厂计划一周生产某种玩具700件，平均每天生产100件，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）:（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产玩具113 件；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具件；（3）根据记录的数据可知该厂本周实际生产玩具件；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超过部分每件另奖5元；少生产一件扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【解答】解：（1）10013113+= （件)．故该厂星期四生产玩具 113件；（2）13(6)19--= （件)．故 产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具 19件；（3）700(52413663)709++--+-+-= （件)．故该厂本周实际生产玩具709件；（4）709209514225⨯+⨯=（元)．答：该厂工人这一周的工资总额是14225元．故答案为：113；19；709．11．（2019秋•五华区期末）某摩托车厂本周计划每日生产250辆摩托车，由于工人实行轮休，每日上班人数不一一定相等，实际每日的生产量与计划生产量相比情况如表（增加的辆数为正，减少的辆数为负）:根据记录回答：（1）本周总产量与计划量相比是增加了还是减少了？增加了或减少了多少辆？（2）本周共生产了多少辆摩托车？【解答】解：（1）42723141181518-+-++--=-，答：本周总生产量与计划量相比是减少了，减少了18辆；（2）2507(427231411815)1750181732⨯+-+-++--=-=（辆)，答：本周生产了1732辆摩托车．12．（2019秋•怀集县期末）有5筐蔬菜，以每筐10千克为准，超过的千克数记为正，不足记为负，称重记录如下：3+，2-，3-，2+， 1.5-筐蔬菜的总重量是多少千克？【解答】解：3(2)(3)2(1)1++-+-++-=-，105(1)49⨯+-=（千克）， 答：5筐蔬菜的总重量为49千克．提优巩固一．选择题1．（2019秋•盐都区期末）如果向北走2m ，记作2m +，那么5m -表示( )A ．向东走5 mB ．向南走5 mC ．向西走5 mD ．向北走5 m【解答】解：根据题意，可知5m -表示向南走5 m ，故选：B ．2．（2019秋•高淳区期末）一袋面粉的质量标识为“1000.25±千克”，则下列面粉质量中合格的是( )A ．100.30千克B ．99.51千克C ．99.80千克D ．100.70千克【解答】解：“1000.25±千克”的意义为一袋面粉的质量在1000.2599.75-=千克与1000.25100.25+=千克之间均为合格的，故选：C ．3．（2017秋•江都区期末）如图，点A ，B ，C ，D 是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们位于同一对角线上．某人从A 出发，规定向右或向上行走，那么到达点C 的走法共有( )A ．4种B ．6种C ．8种D ．10种【解答】解：由标数法可得：∴某人从A 出发，规定向右或向上行走，那么到达点C 的走法共有6种．故选：B ．4．（2018秋•鼓楼区校级期末）如图，在一个88⨯的方格棋盘的A 格里放了一枚棋子，如果规定棋子每步只能向上、下或向左、右走一格，那么这枚棋子走如下的步数后能到达B 格的是( )A ．7B ．14C ．21D ．28【解答】解：将棋子走的步数分为奇数步和偶数步．首先看A 选项：7步，按照最近的路线即：左，上，左，上，左，上，左，上，上．也要9步，故A 错误； 观察到B ，C ，D 三项都超过最小步数，且B ，D 为偶数，C 为奇数，若选择答案B ，即也可选择答案D ， 故按照逆向思维，只能选择奇数步的C ．再验证可得结果正确．故选：C ．二．填空题5．（2019秋•卢龙县期末）如果把50+元表示收入50元，那么支出200元可表示为 200- 元．【解答】解：50+元表示收入50元，∴支出200元可表示为200-元．故答案为：200-．6．（2019秋•凤山县期末）如果收入500元记作500+元，那么支出200元应记作 200- 元．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入500元记作500+元，那么支出200元应记作200-元．7．2+，3-，0，132-， 1.414-，17-，23． 负数：{ 3-，132-， 1.414-，17-⋯ }； 正整数：{ }；整数：{ }；负分数：{ }；分数：{ }．【解答】解：负数有：3-，132-， 1.414-，17-；正整数有：2+；整数有：2+，3-，0，17-； 负分数有：132-， 1.414-； 分数有：132-， 1.414-，,23故答案为：3-，132-， 1.414-，17-；2+；2+，3-，0，17-； 132-， 1.414-；132-， 1.414-，,238．在一条东西向的跑道上．小亮先向东走6m ．记作6m +．又向西走10m ．此时他的位置可记作 4- m ．【解答】解：根据题意得：6104+-=-，则此时他的位置可记作4m -．故答案为：4-．三．解答题9．（2019秋•南充期中）将下列各数填入相应的大括号里．13-，0.618， 3.14-，260，2-，67，0.010010001-⋯，0，0.3． 正分数集合：{ 0.618，67，0.3 }⋯； 整数集合：{ }⋯；非正数集合：{ }⋯；有理数集合：{ }⋯； 【解答】解：正分数集合：{0.618，67，0.3}⋯；整数集合：{ 260，2-，0}⋯；非正数集合：{13-， 3.14-，2-，0.010010001-⋯，0}⋯； 有理数集合：{13-，0.618， 3.14-，260，2-，67，0，0.3}⋯； 故答案为：0.618，67，0.3；260，2-，0；13-， 3.14-，2-，0.010010001-⋯，0；13-，0.618， 3.14-，260，2-，67，0，0.3． 10．（2019秋•乐至县期末）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）．（1）该厂星期五生产自行车192 辆；（2）求该厂本周实际生产自行车的辆数；（3）该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；少生产一辆扣14元，那该厂工人这一周的工资总额是多少元？-=（辆)；【解答】解：（1）星期五生产自行车数量：2008192故答案是：192；+++-+-+++-+++-（2）1400(5)(2)(4)(10)(8)(15)(6)=++++----1400(51015)(2486)=（辆)1410答：该该厂本周实际生产自行车1410辆．⨯+++⨯+----⨯（3）141060(51015)10(2486)1484620=（元)⋯（10分）答：该厂工人这一周的工资总额是84620元．11．（2019秋•平谷区期末）有20筐白菜，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：（1）20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重多少千克？（2）与标准重量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？（3）若白菜每千克售价1.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？（结果保留整数）--=+=（千克），【解答】解：（1）最重的一筐比最轻的一筐多重2.5(3) 2.53 5.5答：20筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐多重5.5千克；-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（千克），（2）32(2)4( 1.5)20313 2.561答：20筐白菜总计超过1千克；（3）(25201) 1.6501 1.6802⨯+⨯=⨯≈（元)，答：白菜每千克售价1.6元，则出售这20筐白菜可卖802元．12．（2019秋•东莞市期末）检修工乘汽车沿东西方向检修电路，规定向东为正，向西为负，某天检修工从A 地出发，到收工时行程记录为（单位：千米）8+，9-，4+，7-，2-，10-，11+，3-，7+，5-；（1）收工时，检修工在A 地的哪边？距A 地多远？（2）若每千米耗油0.3升，从A 地出发到收工时，共耗油多少升？【解答】解：（1）(8)(9)(4)(7)(2)(10)(11)(3)(7)(5)++-+++-+-+-+++-+++-89472101137584117972103530366=-+---+-+-=+++------=-=-（千米）， 答：收工时，检修工在A 地的西边，距A 地6千米；（2）|8||9||4||7||2||10||11||3||7||5|++-+++-+-+-+++-+++-89472101137566=+++++++++=（千米）660.319.8⨯=（升)答：从A 地出发到收工时，共耗油19.8升．13．（2019秋•石城县期末）某粮库3天内进出库的吨数如下( “+”表示进库，“-”表示出库）: 26+，32-，15-，34+，38-，20-（1）经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存放粮有多少吨？（2）如果进出库的装卸费用是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？【解答】解：（1）26(32)(15)34(38)(20)45+-+-++-+-=-，3∴天前库里存放粮有：480(45)525--=（吨)，答：3天前库里存放粮有525吨；（2）由题意可得，这3天要付的装卸费为：5(|26||32||15||34||38||20|)5165825⨯+-+-++-+-=⨯=（元)，答：这3天要付825元装卸费．14．（2019秋•漳州期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：( “+”表示进库，“-”表示出库）31+，32-，16-，35+，38-，20-．（1）经过这6天，仓库里的货品是 减少 （填增多了还是减少了）．（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？【解答】解：（1）)31321635382040+--+--=-（吨)，400-<，∴仓库里的货品是减少了．故答案为：减少了．（2）31321635382040+--+--=-，即经过这6天仓库里的货品减少了40吨，所以6天前仓库里有货品46040500+=吨．（3）313216353820172+++++=（吨)，1725860⨯=（元)．答：这6天要付860元装卸费．。