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有限元程序进行网格划分时的差异表现

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1 如图所示正方形弹性体的厚度t=0.1m，材料的弹性模量E=2*10^10N/m^2, 泊松比u=0.3，水平均布荷载集度q=3*10^4 N/m^2，弹性体的自重不计。

图1

分析：这是一个平面应力问题，将弹性体剖分成8个单元9个节点，如上图第一种剖分方式，建立的数据文件如下：

9, 8, 2, 1, 1

1, 1, 2, 4

1, 2, 3, 4

1, 3, 5, 4

1, 4, 5, 6

1, 4, 6, 7

1, 4, 7, 8

1, 4, 8, 9

1, 4, 9, 1

1, 0.0 0.0

2, 0.5, 0.0

3, 1.0, 0.0

4, 0.5, 0.5

5, 1.0, 0.5

6, 1.0, 1.0

7, 0.5, 1.0

8, 0.0, 1.0

9, 0.0, 0.5 1, 1, 1, 0.0, 0.0 2 8, 1, 0, 0.0, 0.0

1, 2.0E+10, 0.3, 0.1, 0.0

0, 0, 1

2

3, 3.0E+4, 0.0, 3.0E+4, 0.0

4, 3.0E+4, 0.0, 3.0E+4, 0.0

使用三角形节点程序P3运行后得到如下结果：

DISPLACEMENTS

NODE U V

1 .000000E+00 .000000E+00

2 .135529E-05 .109695E-06

3 .232435E-05 .291461E-06

4 .176132E-05 -.251569E-06

5 .222324E-05 .358618E-06

6 .922216E-06 .362159E-06

7 .654225E-06 -.338898E-06

8 .000000E+00 -.748510E-06

9 .122152E-05 -.342448E-06

REACTIONS

NODE X-FORCE Y-FORCE

1 -.187500E+04 .196421E-03

8 -.112500E+04 .000000E+00

ELEMENT X-STRESS Y-STRESS XY-STRESS

1 .54809E+05 .19922E+04 .79343E+04

2 .37832E+05 -.31010E+04 .90431E+04

3 .21189E+05 .90431E+04 .78319E+04

4 .20350E+05 .62468E+04 -.10628E+05

5 .10628E+05 -.30472E+03 -.62468E+04

6 .27606E+05 .47885E+04 -.10731E+05

7 .18373E+05 -.10731E+05 -.17394E+05

8 .19212E+05 -.79343E+04 .20191E+05

Z-STRESS MAX P.S. MIN P.S. ANGLE

1 .00000E+00 .55975E+05 .82606E+03 8.3613

2 .00000E+00 .39741E+05 -.50098E+04 11.9191

3 .00000E+00 .25027E+05 .52055E+04 26.1044

4 .00000E+00 .26054E+05 .54375E+03 -28.2178

5 .00000E+00 .13463E+05 -.31391E+04 -24.4057

6 .00000E+00 .31859E+05 .53498E+03 -21.6230

7 .00000E+00 .26500E+05 -.18857E+05 -25.0424

8 .00000E+00 .29968E+05 -.18690E+05 28.0446

使用第二种剖分方式同样将正方形弹性体剖分为8个单元9个节点，剖分方式 3 如下图：

图2

数据文件如下：

9, 8, 2, 1, 1

1, 1, 2, 8

1, 2, 9, 8

1, 2, 3, 9

1, 3, 4, 9

1, 4, 5, 6

1, 4, 6, 9

1, 6, 7, 9

1, 7, 8, 9

1, 0.0, 0.0

2, 0.5, 0.0

3, 1.0, 0.0

4, 1.0, 0.5

5, 1.0, 1.0

6, 0.5, 1.0

7, 0.0, 1.0

8, 0.0, 0.5

9, 0.5, 0.5 4 1, 1, 1, 0.0, 0.0

7, 1, 0, 0.0, 0.0

1, 2.0E+10, 0.3, 0.1, 0.0

0, 0, 1

2

4, 3.0E+4, 0.0, 3.0E+4, 0.0

5, 3.0E+4, 0.0, 3.0E+4, 0.0

使用P3程序运行后得到的结果为：

DISPLACEMENTS

NODE U V

1 .000000E+00 .000000E+00

2 .127629E-05 -.382252E-06

3 .207351E-05 -.323084E-06

4 .223434E-05 -.389838E-06

5 .188413E-05 -.561679E-06

6 .108097E-05 -.714433E-06

7 .000000E+00 -.897044E-06

8 .121316E-05 -.673706E-06

9 .158391E-05 -.476225E-06

REACTIONS

NODE X-FORCE Y-FORCE

1 -.150000E+04 -.231348E-03

7 -.150000E+04 .000000E+00

ELEMENT X-STRESS Y-STRESS XY-STRESS

1 .47217E+05 -.12783E+05 .12783E+05

2 .15057E+05 .75831E+03 .77707E+04

3 .33803E+05 .63821E+04 .56428E+04

4 .27710E+05 .56428E+04 .38033E+04

5 .33038E+05 .30377E+04 -.30377E+04

6 .25449E+05 -.18936E+04 -.64084E+04

7 .44374E+05 .37840E+04 -.49281E+04

8 .13352E+05 -.49281E+04 -.15626E+05

Z-STRESS MAX P.S. MIN P.S. ANGLE

1 .00000E+00 .49827E+05 -.15393E+05 11.5396

2 .00000E+00 .18467E+05 -.26515E+04 23.6919

3 .00000E+00 .34919E+05 .52663E+04 11.1852

4 .00000E+00 .28347E+05 .50057E+04 9.5096

5 .00000E+00 .33342E+05 .27332E+04 -5.7241

6 .00000E+00 .26877E+05 -.33210E+04 -12.5574

7 .00000E+00 .44964E+05 .31942E+04 -6.8242

8 .00000E+00 .22314E+05 -.13891E+05 -29.8380 5 结果分析：图1的6节点u,v方向位移分别为：9.2*10E-7、3.6*E-7，图2的5节点u，v方向位移分别为：1.9*E-6、-5.6*E-7;图1的5节点u，v方向位移分别为：2.2*E-6、3.6*E-7图2的4节点u，v方向位移分别为：2.2*E-6、-3.9*E-7;图1的3节点u,v方向位移分别为：2.3*E-6、2.9*E-7图2的3节点u,v方向位移分别为：2.1*E-6、-3.2E-7;由三组相同位置的节点进行对比发现在u方向的位移由于两种不同的网格划分带来的差异比在v方向位移的差异小很多，在对图1和图2 1、2、3三个节点的x、y方向的应力时，差别很大，由此得到结论是，在对模型进行三角形单元划分时，不同的网格划分方式对计算结果将产生很大影响。

当使用八节点等参元将该正方形弹性体剖分为3个单元18个节点时，同样有两种不同的剖分方式：

第一种为均匀八节点等参元进行剖分，见下图：

图3

数据文件如下：

18, 3, 2, 1, 1, 3

1, 1, 2, 3, 5, 8 ,7, 6, 4

1, 6, 7, 8, 10, 13, 12, 11, 9

1, 11, 12, 13 , 15, 18, 17, 16, 14

1, 0.0, 1.0

2, 0.0, 0.5 6 3, 0.0, 0.0

4, 0.17, 1.0

5, 0.17, 0.0

6, 0.34, 1.0

7, 0.34, 0.5

8, 0.34, 0.0

9, 0.51, 1.0

10, 0.51, 0.0

11, 0.68, 1.0

12, 0.68, 0.5

13, 0.68, 0.0

14, 0.85, 1.0

15, 0.85, 0.0

16, 1.0, 1.0

17, 1.0, 0.5

18, 1.0, 0.0

1, 1, 0, 0.0, 0.0

3, 1, 1, 0.0, 0.0

1, 2.0E+10, 0.3, 0.1, 0.0

0, 0, 1

1

3, 18, 17, 16

-3E+4, -3E+4, -3E+4, 0.0, 0.0, 0.0

使用P8程序运行后得到结果为：

DISPLACEMENTS

NODE U V

1 -.332684E-06 -.235484E-05

2 .336452E-05 -.211625E-05

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有限元网格分别的基本原则

有限元网格分别的基本原则

有限元网格划分的基本原则

划分网格是建立有限元模型的一个

重要环节，它要求考虑的题目较多，

需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。

为建立正确、公道的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。

1网格数目

网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般来讲，网格数

目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数

目时应权衡两个因数综合考虑。

图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数目收敛的一般曲线，曲线2代表计

算时间随网格数目的变化。可以看出，网格较少时增加网格数目可以使计算精

度明显进步，而计算时间不会有大的增加。当网格数目增加到一定程度后，再

继续增加网格时精度进步甚微，而计算时间却有大幅度增加。所以应留意增加

网格的经济性。实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算

结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。

图1位移精度和计算时间随网格数目的变化

在决定网格数目时应考虑分析数据的类型。在静力分析时，假如仅仅是计算结

构的变形，网格数目可以少一些。假如需要计算应力，则在精度要求相同的情

况下应取相对较多的网格。同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应

比计算位移响应多。在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，

可以选择较少的网格，假如计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。在热

分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少

的网格。

2网格疏密

网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的

分布特点。在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。而在计算数据变化梯度较小的部位，

为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。这样，整个结构便表现出疏密不

同的网格划分形式。

图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。

小圆孔四周存在应力集中，采用了比较密的网格。板的四周应力梯度较小，网

有限元网格剖分

有限元网格剖分

有限元网格剖分

有限元计算的本质在于可以将连续的场域问题转变为离散的场域问题进行求解，而在这个由连续场域向离散场域转变的过程的核心在于有限元模型的网格划分。

进行有限元计算的主要过程体现在：首先确定出能和边值问题相对应的泛函数及可以相互等价的变分问题，进行有限元网格划分，将连续的场域离散成离散场域，在有限单元上利用一个已知的函数，例如线性的或者二次的，将有限单元上的未知连续函数近似的表示出来，求解泛函数的极值，得到一系列的方程组，进行方程组的求解，求解结束后将计算的结果进行显示，如果需要其它的一些场量时需要进行后处理等。

在上述的有限元求解的过程中，有限元模型的网格划分其中最为关键的一个环节，有限元模型的网格划分直接决定了有限元法在解决实际问题中所体现的能力，更是直接决定了有限元计算软件的计算精度。一个有限元计算软件如果前处理的程序性能不够强大，则它的通用性就不会太强。有限元模型的网格划分模块时有限元计算软件的前处理部分的主要模块。

有限元模型单元的大小和疏密度的合理设置，是保证计算精确性的重要保障，而有限元网格的合理性是建立在网格自动剖分程序所形成的初步网格的基础之上的，需要进一步的细分网格环节来实现合理的网格划分。而有限元软件的自适应网格细分不需要依靠计算机用户的网格划分经验，仅仅凭借着有限元软件自带的功能就可以实现有限元网格的合理细化。

当前随着计算机的快速发展，网格剖分的算法已经得到了更大程度上的完善和发展，一些更为发展的求解域都可以进行网格的合理剖分。有限元网格的自适应剖分软件能够利用软件自身的功能属性自动决定出网格在哪一个地方需要进行网格的进一步细化，细化的具体程度是多少，进而得到一个较为合理的网格划分，并且在该模型上可以获得较为准确的计算结果。

有限元网格的进一步细分的目的在于能够使得软件根据计算场域的特征和计算场量的分布情况合理的设置网格，使得模型中的每一个单元的计算精确性基本相同。网格剖分的自适应软件彻底的改变了以往网格划分计算人员剖分经验的依赖性，而且还能够在数量较小的节点单元的情况下获取较高的计算求解精度。网格剖分的自适应软件体现的是一种网格循环加密与场量计算循环相同步进行的过程。

有限元影响精度的因素

有限元影响精度的因素

有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结

果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密

度、单元的编号以及几何体素。从几何表达上讲，梁和杆是相同的，从物理和数值求解上讲则是有区别的。

同理，平面应力和平面应变情况设计的单元求解方程也不相同。在有限元数值求解中，单元的等

效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均

采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。辛普生积

分点的间隔是一定的，沿厚度分成奇数积分点。由于不同单元的刚度矩阵不同，采用数值积分的求解方式不同，因此实际应用中，一定要采用合理的单元来模拟求解。 CAD模型的“完整性”问题是困扰网格剖分的障碍之一。一方面检查模型的完整性，另一方面

剔除对分析无用的细节特征。

对于同一接口程序，数据传递的品质取决于CAD模型的精度。目前数据传递一般可通过专用数

据接口，CAE程序可与CAD程序“交流”后生成与CAE程序兼容的数据格式。另一种方式是通过标准图形格式如IGES、SAT和ParaSolid传递。

有限元网格划分的指导思想是首先进行总体模型规划，包括物理模型的构造、单元类型的选择、

网格密度的确定等多方面的内容。

有限元分析的精度和效率与单元的密度和几何形状有着密切的关系，按照相应的误差准则和网格

疏密程度，避免网格的畸形。 单元的质量和数量对求解结果和求解过程影响较大，如果结构单元全部由等边三角形、正方形、

正四面体、立方六面体等单元构成，则求解精度可接近实际值，但由于这种理想情况在实际工程

结构中很难做到。

单元质量评价一般可采用以下几个指标：（1）单元的边长比、面积比或体积比以正三角形、正四

面体、正六面体为参考基准。理想单元的边长比为1，可接受单元的边长比的范围线性单元长宽比小于3，二次单元小于10。

有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍

有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍

有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍

1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。