【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练16含答案
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题组层级快练(十六)
1．函数y＝x2(x－3)的单调递减区间是( )
A．(－∞，0) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－2,2)
答案 C
解析 y′＝3x2－6x，由y′＜0，得0＜x＜2.
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故选D.
3．(2015·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )
A．(0，1a) B．(1a，＋∞)
C．(－∞，1a) D．(－∞，a)
答案 A
解析 由f′(x)＝1x－a>0，得0
∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．
4．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－33，33)，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0 B．－1＜a＜0
C．a＞1 D．0＜a＜1
答案 A
解析 y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－33＜x＜33.
∴f(x)＝x3－x在(－33，33)上为减函数．
又y＝a(x3－x)的单调递减区间为(－33，33)，
∴a＞0.
5．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为(
)
A．y＝1125x3－35x B．y＝2125x3－45x
C．y＝3125x3－x D．y＝－3125x3＋15x
答案 A
解析 设所求函数解析式为y＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f′(±5)＝0，代入验证易得y＝1125x3－35x符合题意，故选A.
6．若函数f(x)＝(x2－2x)ex在(a，b)上单调递减，则b－a的最大值为( )
A．2 B.2
C．4 D．22
答案 D
解析 f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，
令f′(x)<0，∴－2
即函数f(x)的单调递减区间为(－2，2)．
∴b－a的最大值为22.
7．(2015·冀州中学模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．(0,1) B．[0,2]
C．(2,3) D．(2,4)
答案 C
解析 由f′(x)<0⇔x2－4x＋3<0，
即1
∴函数f(x－1)在(2,4)上单调递减．
故D为充要条件，C为充分不必要条件．
8．若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( ) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
答案 C
解析 f′(x)＝－x＋bx＋2≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．又x(x＋2)＝(x＋1)2－1>－1，∴b≤－1，故选C.
9．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则( )
A．a
C．c
答案 B
解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．
又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0.
即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)
10．已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]
C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)
答案 C
解析 根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x20－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1
11．已知函数y＝xf′(x)的图像如下图所示．下面四个图像中y＝f(x)的图像大致是(
)
答案 C
解析 由题意知，x∈(0,1)时，f′(x)<0.f(x)为减函数；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)为增函数；
x∈(－1,0)时，f′(x)<0.f(x)为减函数．
12．函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的单调增区间为________．
答案 (π3，5π3)
解析 ∵y′＝1－2cosx，∴由 y′>0，0
即 1－2cosx>0，0
∴函数y＝x－2sinx在(0,2π)内的增区间为(π3，5π3)．
13．若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．
答案 (2，＋∞)
解析 令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1.
由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．
∵g(2)＝f(2)－2＝0，
∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．
14．若函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋a，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，
则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．∴a≥－3.
15．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0,4)．
(1)实数k的值为________；
(2)若在(0,4)上为减函数，则实数k的取值范围是________．
答案 (1)13 (2)0
(2)由f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x≤0并结合导函数的图像可知，必有－2k－1k≥4，解得k≤13.又k>0，故0
16．已知a是实数，求函数f(x)＝x(x－a)的单调区间．
答案 ①a>0时，单调递减区间为[0，a3]，单调递增区间为[a3，＋∞)
②a≤0时，f(x)单调递增区间为[0，＋∞)
17．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
答案 (1)k＝1 (2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)
解析 (1)由f(x)＝lnx＋kex，
得f′(x)＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝1xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．
令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
18．(2015·山东师大附中)已知函数f(x)＝x－ax－lnx，a>0.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)>x－x2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 答案 (1)0
(2)0
解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由于f′(x)＝1＋ax2－1x＝x2－x＋ax2，
令m(x)＝x2－x＋a，
①当Δ＝1－4a≤0，即a≥14时，f′(x)≥0恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
②当Δ＝1－4a>0，即00，得01＋1－4a2.
所以f(x)在(0，1－1－4a2)，(1＋1－4a2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a2，1＋1－4a2)上是减函数．
综上知，当0
当a≥14时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)f(x)>x－x2，即x2－ax－lnx>0，
因为x∈(1，＋∞)，所以a
令g(x)＝x3－xlnx，h(x)＝g′(x)＝3x2－lnx－1，h′(x)＝6x－1x＝6x2－1x，
在(1，＋∞)上h′(x)>0，得h(x)>h(1)＝2，即g′(x)>0，故g(x)＝x3－xlnx在(1，＋∞)上为增函数，g(x)>g(1)＝1，所以0
已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
