高数期末考试题及答案
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高数期末考试卷及答案
•选择填空题(每小题 3分，共18 分)
1•设向量 a = (2,0,-2) ,b = ( 3,-4,0)，贝U a b =
2 2 2 3•椭球面x 2y 3z =15在点(1,-1,,2)处的切平面方程为
分析：由方程可得， F (x, y, z) = X2 • 2y2 • 3z2-15，则可知法向量 n =
( Fx,
Fz)。
则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z，则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n = (2,-4,,12)
因此，其切平面方程为： 2(x-1)-4(y 1)・12(z-2)=0，即 x-2y - 6z-15=0
4. ________________________________________________________________ 设D: y =
x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则JJ(y + 2)db= ________________________
D
2 x
分析：画出平面区域 D (图自画)，观图可得， ii(y 2)d dx (y 2)dy = 8
… ・0 • _x
D
2
5. _________________________________________________设L :点(0,0 )到点(1 , 1)的直线段.则［x ds= ______________________________________
分析：依题意可知：L是直线y = x上点(0,0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有
QO O0
6. D提示：级数瓦un发散，则称级数瓦un条件收敛
nF n T
二.解答下列各题(每小题 6分，共36分)
2 i j k
分析：axb = 2 0 _2
3 -4 0 =-6j -8k -8i = (-8,-6,-8) 分析: x2 xy2 -y3.则’u
c^cy
.:u 2
=2x y ,则 ?u 2 '
(2x y ) = 2y
Fy,
L x2ds 二 °x2x2dx 二 '2 1.设 z = x y ln(x y) tan2，求 dz 分析：由dz =空dx •三dy可知，需求—及―
x y :x _y
A A
则有 dz = — dx —dy =(2xy ------ )dx (x2 ------ )dy
ex cy x+y x + y
2•设u = f (4xy,2x-3y),其中f 一阶偏导连续，求 —
-3y ,则—=f — f f'4^ f'(_3) = (4X-3) f :y :v ；y :t ：y
2 2 2 |^^z
3.设 z = z(x, y)由 x y - z -xyz = 100 确定.求.
分析：由 x2 y2 z2 -xyz=100 得，F(x, y,z) =x2 y2 z2 - xyz-100
则有由 Fx = 2x -(yz xyzx), Fy = 2y -(xz xyQ , Fz = 2z -xy
N _ Fy _ 2y -(xz xyzj (xz xyzy) -2y
:y Fz 2z -xy 2z -xy
4.求函数 f (x, y) =x3 - y3 • 3x2 3y2 -9x 的极值
提示：详细答案参考高数 2课本第111页例4
2 2
1< x2 y -<9
「1 兰P2 创 ^<3
分析：依题意，得 0空立兀，即 0为兰2兀
x2 y 2 二 3 .：2 9
则有，仃ex^db = J。曲人/戸dP"(e9-e)
D
6.求三重积分！！ I xyz2dV，门：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1 所围区域
Q
0“空
\ 2 3 2 1 2
分析：依题意，得 0乞y辽 则有...xyz dV dXy dy p xyz dz = 3 」xy
:x Z 二 X2 丄
.:y x y
分析：设 v = 4xy , t = 2x
5.求二重积分 ・0S 停 0 0 0
三.解答下列各题(每题 6分，共24 分)
1.求 ydx-xdy , L :圆周X y2 =9，逆时针
L
分析：令 P=y , Q= - x，则：Q = _1 ,
— =1
£x cy
由格林公式得 rQ - P
ydx - xdy = ( )dxdy = (-2)dxdy
!r If If ,r% f-. v !r
L D 「X 「y D
x=r COST
{
作逆时针方向的曲线 L: y=rsi, 0 - r - 2_
石Q FP 2兀
则 ydx -xdy 二( )dxdy 二(-2)dxdy 二 2" - -4二
L D :议:y D 0
2.设7 :平面x 3y 位于第一卦限部分.试求曲面积分 xdS
X
分析：由7 :平面x 3y - z = 1可得z = 1 - x -
3y
则 z^— = -1, Zy二三=—3
玫 dy
则有 i ixdS 二 x 1 (zx)2 (zy)2dxdy = . 11 11 xdxdy
- Dxy Dxy
由于Dxy是匕在xOy面的第一卦限的投影区域，即由 x = 0,y = 0及x 3y = 1所围成的闭
区域.因此
,,xdS =$石..xdxdy = J石.；dx 丫
y 0 0 Dxy 亍xd厂五
0 18
3.设 是z - X y位于平面z 4,z 9之间部分且取下侧，求 11
zdxdy
0 _ ： _ . z
分析：依题意，可得 0 v 2二，由于a 是取下侧，则有
L 4仝兰9
9 2 兀 Vz
zdxdy zdz 厂 ? d =-
— 4 0 0
y 6305
4 (2) f(x) 1 =1
2 (x -1) 2 W(T)n(F)nr 2 nd 2 x-1
2
则 展 开 成 x - 1 的 幕 级 数 为
3n I n 2)
则有，lim *十=lim (nn +1)! =lim 3 =0v1 ,
an 3 (n +1) x^n +1
n!
4•设7 是锥面z二、.、x y 与平面 z = 1所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求
2
I i3xdydz-2yzdzdx z dxdy.
Y
分析：依题意，可令 P = 3x, Q - -2yz, R = z2，则有—=3^-^ - -2z,—= 2z ex cy cz
所以, 9 厂厂
i i3xdydz -2yzdzdx z dxdy 二 (-
- x 鋼 M)dv 二 3dv
：z 门
又v 是锥面z x2 y2与平面 z = 1所围立体区域整个边界曲面的外侧，则有
0_：：_z
0 v 2二
0_zfl 则有 113xdydz - 2yzdzdx z2dxdy = 3dv =
y Q 「13dzJ2；Td日『PdP =
ir
0 0 - 0
四•解答下列各题（第 1,2题每题6分，第3,4题每题5分，共22 分）
1.判断正项级数 二3 5 1的敛散性。
n吕 n!
分析：设 3n( n 1)
a
n .
n! 则 an 1 = 3n"(n 2)
(n 1)!
所以，正项级数 J ©0耳是收敛的
nd n!
2.试将函数 f (x) 1 (1)展开成
1 +x x的幕级数（2）展开成x -1的幕级数.
分析：（1）展开成x的幕级数为: f(x) QO
八(-1)nxn,( -1 :：
x ::: 1)
1 -■ n :
X
[S(x)]‘ 八(一)’n =1 oO
n —1 、• n
X = X
n=0 ,(X<1)
则 S(x) - dx = -ln(1
0 1 _ X -X),^ [-1,1)
4•设 2 2 .
f (x)连续，1 1 : x y _ u,0 _ z _
(1) 2 2
试用柱面坐标化简三重积分 I I I [ f (x y ) 1]dv.
Q
(2) 若 f(u^ ... [f(X2 y2) 1]dv.试求 f(u).
Q
分析: 1)依题意，得 0一二 一2二
1 ，则 d d 30 Y_d °° d
f(x)=TT了(书(石十歹心腋旳丸1
I X 2 nd 2 nV 2
::xn
3•求幕级数 的收敛域及和函数•
n 二 n
x 3)
分析：因为]=lim
X_咨 an 1
an
当x 时级数收敛；当 nxn 1
n =lim
予(n +1)x
X >1时级数发散•所以收敛半径 R=1.
则收敛区间为 X <1,即卩—1cxc1
.：■： 1
当x = 1时，级数成为 £ '，这级数发散；当 x = - 1
n 二 n 时, 这级数收敛
所以，原级数的收敛域为[-1, 1 ).
00 xn
设和函数为S(x)，即 -1,1).
