工科数学分析期末试卷答案

n
1
f ( x0 )
f '( x0 )
lim x
n f (x0 )
e =（ f ( x0 )
）
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三．计算题： （每小题 4 分，本题满分 34 分）
1．设 x1
2, xn 1
2 xn (n 0) 求： lim xn 。 x
解：先证明 xn 2. x1 2 ，假设 xn 2 则
n
n
可得 lim xn 2 n
2．求 lim n
n
1
2
n
1
2
n2
1
2
。
nn
解：
nn
2
nn
1 n2
n
1
2
n2
1
2
nn
n2
又
lim n
n2
n
n2
1,lim n
n2
1，
由两边夹定理，可得
lim n n
1
2
n
1
2
n2
1
2
=1
nn
nn
2
n
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3．设 lim x0
x t2 dt
0 a t2 bx sin x
t
dln(t
1)
1 ex dx
t
e x ln(1 ex )
ex
ex 1 ex dx
e x ln(1 e x )
11
t1
ex
(
) dt ln
t1 t
t
C
ln ex
，
1
原式 =
e x ln(1 ex )
ex
ln 1
ex
C
dx
7．
。
1 (1 x) x
dx
令 xt
2t
1
解：
1 (1 x) x
1
(1
t 2)
dt t
9．试确定所有函数 f ( x) C (R) ，使其满足 x R 使得
x
eu f ( x u)du cosx 1。
0
解：令 x u v, 则 du dv ，
x eu f ( x u) du
ex
x
e
v
f
(v)dv
cosx 1
0
0
x
e
v
f
( v) dv
0
两边同时求导：
cos ex
x
，
e x f (x) e x ( si nx c o sx) ，
即
ba
f (a) g' ( ) g (a) f '( )
f (a) g(b) g (a) f (b) (b a)[ f (a) g' ( ) g( a) f ' ( )]
即在（ a,b）内至少存在一点 ，使得
f ( a) f (b)
f (a) f '( )
(b a)
g(a) g(b)
g(a) g'( )
x ( x 1) 2
x ( x 1) 2 0,
f ( x) 为递增函数，且 f (1) 0,
当x
1时，恒有 f (x)
0 ，即 ln x
2 ( x 1)
.
x1
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2．设 f ( x), g ( x) 在[a,b] 上连续，在（ a,b）内可导。证明在（ a,b）内至少存在一
f ( a) f (b)
f ( x) 存在的（ B ）条件
x x0
(A) 充分条件 （ C）充要条件
（ B）必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
s
2．设 f ( x) 为连续函数， I t t f (tx)dx ，其中 t 0, s 0 ，则 I 的值（ 0
(A) 依赖于 s 不依赖于 t （ C）依赖于 s 和 t
（ B）依赖于 t 不依赖于 s （ D）依赖于 s, t 和 x
3．若 f ( x)
1 cos x
x2
x
1 x
2
(A) 连续且可导 （ C）不连续但可导
0 ，则 f (x) 在点 x
0
0 处（ A ）
（ B ）连续但不可导 （ D）不可导且不连续
A）
1
lim 4．
1x (1
sin 2u) u du
（ C）
x 0 x0
1
(A)
e （ C） e2
（B） e 1
（ D） e2
f (a) f ' ( )
点 ，使得
(b a)
。
g (a) g(b)
g (a) g' ( )
证：设 F ( x) f (a) g (x) g (a) f (x) ，显然 F ( x) 满足拉格朗日中值定理条
件，
(a,b) ，使
F (b) F (a) F'( )
ba f (a) g (b) g(a) f (b)
xn 1
2 xn
22 2
由数学归纳法可知 xn 2 . xn 0 ， xn2 1 xn2 ( x xn ) 2 xn2
( xn 2)( xn 1) 0 ，
xn 1 xn , 数列 { xn} 为单调递增数列，且 xn 2 .
lim 数列 { xn } 收敛，
xn 存在 .
n
对 xn 1
2 xn 两边同时取极限，再由 lim xn 1 lim xn
2 1
1
t 2 dt
2 arctan t |1 2(
)
24 2
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8．如果 f ( x)
1
1x 1
1 ex
x0
2
，求 f (| x 1 |)dx 。
0
x0
2
1
2
解： f ( x 1dx f (1 x)dx f ( x 1) dx
0
0
1
11
21
dx
dx
01 1 x
11 x 1
ln 2 x |10 ln x |12 2 ln 2
其类型分别为（ 第一类间断点，第二类间断点
）。
1
1
lim 2．
(cosx) x2 ( e 2
)。
x0
3．设 y xey 1 ，则 y"xx |x 0 =（ 2e2
）。
4．曲线 y
x3 (x 1) 2 的全部渐近线为
：（ x 1（水平渐近线） y
x 2 （斜
渐近线） ）。
5．设函数 f ( x) 在点 x0 处导数存在，而且 f ( x0 ) 0 ，则
1
3．若 f ( x) 在 [0， 1]上连续，在（ 0， 1）可导，且 3 2 f ( x)dx
3
f (0) 则在
（ 0， 1）内至少存在一点 ，使得 f ' ( ) 0 。
证：由积分中值定理，
c [ 2 ,1], 使得 3
2 3 f (c) (1 ) f ( c) f (0) ，
3
又 [ 2 ,1] (0,1), 3
1 ，求 a,b 。
x2
lim 解：由洛比答法则，原式 =
a x2 1
x 0 b cos x
x 0,
x2 a x2
0, b 1 .
x2
x2
a x2
a x2
原式 = lim x0
1
cosx
lim x0
x2
2
2
lim x0
a
x2
1, a 4
从而求得 a 4,b 1 .
4．设 x
t
arctant, y
ln(1
t 2 ) ，求
d2x
。
dy2
解：
xt'
1 1 1 t2
1
t2 t2
,
y
' t
2t . 1 t2
dx xt' t dy yt' 2
1
d 2x
2
1 t2
dy 2
2t
( 1
t2 )
4t
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5．若 y x x x ，求 y 在点（ 2，6）处的法线方程。
解：两边取对数得 ln( y x) x ln x （先将 y xx x 变换为 y x xx ）
5．设 f ( x) 在 x x0 的某邻域内具有三阶连续导数， 如果 f ' (x0 ) f " (x0 ) 0 ，
而 f " '( x0 ) 0 ，则（ C ）
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（ A) x x0 为 f ( x) 的极值点，但 ( x0 , f ( x0)) 不是拐点
（ B ） x x0 为 f ( x) 的极值点且 ( x0 , f ( x0 )) 是拐点
在 [ 0, c] 上存在两点满足罗尔中值定理条件
.[ 0,c] [0,1] ，
在 (0,1) 内至少存在一点 使得： f ' ( ) 0 .
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两边对 x 求导得
y' 1
1
ln x x
ln x 1]
yx
x
y' 4 ln 2 5 ， 其法线的斜率为
1 4ln 2 5
法线方程为 x (4 ln 2 5) y 8(3ln 2 4) 0
6．
ln(
1 ex
e
x
)
dx
。
解：
ln(1 ex )
ex
dx
ln(1 ex )de x
1 1 ex dx
1
令1
x
e
f (x) si nx c o xs, x R
四．证明题（ 1 题 4 分， 2， 3 题各 5 分，本题满分
2( x 1) 1．当 x 1时， ln x
x1
证：令 f (x) ln x 2(x 1) ln x 4 2,
x1
x1
14 分）
1
4
x 2 2x 1 4x (x 1) 2
又 f ' (x) x ( x 1)2
（ C） x x0 不是 f ( x) 的极值点，但 ( x0 , f ( x0 )) 是拐点
（ D ） x x0 不是 f ( x) 的极值点， ( x0 , f ( x0 )) 不是拐点
二．填空题（每题 2 分，本题满分 10 分）
x2
x1
1． y x 1 x 0 的一切间断点为（ （ -1，-1），（ 0， 0））， 1 x0 x
工科数学分析期末试卷 （答案）
答题时间： 150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩 70%
题 一 二 三 四 五 六 七 八 卷面
平时
课程
号
：
号 学
分
数
总分
成绩 总成绩
： 级 班
: 名 姓
遵 守 考ห้องสมุดไป่ตู้试 纪 律
注 意 行 为 规 范
一．选择答案（每题 2 分，本题满分 10 分）
lim 1． f ( x) 在 x0 的某一去心邻域内有界是