1一、函数f(z)=cos z和函数f(z)=z∗是否是解析函数，并给予证明。
二、求积分
∮
|z|=1cos z
z n
d z，n为整数。
三、在区间[0,T]内，将函数f(x)=x/3展开为傅里叶级数。
四、均匀杆一端温度保持为0。
另一端温度保持为u0，并且与外界绝热。
初始时，杆中的温度梯度为恒定。
求温度函数。
五、方程y′′−2xy′+2αy=0,α为一常数。
讨论y的收敛性，并说明什么
条件下，无穷级数变为有限多项式。
六、长为l的均匀弦两端固定，弦中拉力为T，在距一端x0的一点受到
以力F0把弦拉开，然后突然撤出此力。
求解弦的振动。
若考虑弦的重力，则结果会有怎么样的变化。
七、设⃗e r,⃗eθ,⃗eφ为球坐标下的三个单位矢量，求
∂⃗e r ∂θ,
∂⃗eθ
∂θ
,
∂⃗eφ
∂θ
.。
03级数理方法期末卷 任课老师：王均益（历年重复率：15%）
一、（20分）半无限长弦的初试位移和速度都是0，端点作小振动0|sin x U a t ω==，试求解弦的振动
二、（20分）两块无限大导体平板垂直相交，将空间划分为四个区域，置其中四个区域分别位于四个象限，试在第一象限内研究电势的空间变化规律，设导体板上电势为0V
三、（20分）试以级数解法求解下列方程：
2
(1)0n m m y y x +==
四、（20分）一端固定在匀角速ω转动竖自轴上的轻质软绳，其横振动满足下列方程：
2
22'[()]0l U U a l x x x ∂∂--=∂∂ 2
2()2a ω= 0|0|x x l
U U ===⎧⎨=⎩有限
五、（20分）氘核的基态波函数=ψf(r)r
满足下列薛定谔方程： 2/222()0r a d f E Ae f dr μ-++=
0|0|0
r r f f =→∞=⎧⎨=⎩ 试求f 与E （提示：作代换/2r a y e -=）
六、（10分，附加题）试研究地表上空的自由落体问题的量子解，方程为：
22
2
()02d mgx E m dx ψψ+-=- 设粒子在地面上的反射是完全弹性的。
南京大学工程管理学院 2010 级 专业2011—2012 学年第一学期《概率论与数理统计》期末试卷A 答案注：(1)0.8413Φ=，(1.50.9332Φ)=，(3.1)0.999Φ=，0.05(16) 1.7459t =，0.025(16) 2.1199t =，0.052,25=3.39F （），0.0252,25=4.29F （）以下每题10分。
1. 病树的主人外出，委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率为0.8。
若浇水，则死去的概率为0.15，有0.9的把握确定邻居会记得浇水。
（1）求主人回来树还活着的概率。
（2）若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。
解：（1）记A 为事件“树还活着”，记W 为事件“邻居记得给树浇水”，即有()0.9P W =, ()=0.1P W ，(|)=0.85P A W ，(|)0.2P A W =,()(|)()(|)()P A P A W P W P A W P W =+0.850.90.20.10.785=⨯+⨯=(2) [1(|)]()0.80.1(|)0.3721()0.215P A W P W P W A P A -⨯===-.2. 设随机变量X 的分布函数为0,()arcsin(/),1,x a F x A B x a a x a x a ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪>⎩，（1）求A 和B ； （2）X 的密度函数。
解：（1）因为()F x 在x a =±处右连续，而(0)1F a +=，(0)π/2F a A B -+=-⋅。
且由题设条件()π/2F a A B =+⋅，()0F a -=，于是，由分布函数的右连续性得π/21A B +⋅=，π/20A B -⋅=，解之得，1/2A =，1/πB =。
（2）在(,)a a -内求导得，密度函数()F x '=，其他地方为0.3. 设X 、Y 相互独立，分别服从(0,1)N ，试求/Z X Y =的密度函数。
色不同的概率为: ;(A) 59 (B) 518(C) 2081(D) 40816.在区间[0,1]上任取两个数,则这两个数之和小于1/2的概率为 ;(A) l/8 (B) 3/8(C) 5/8(D) 7/87.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃生的可能性是 .(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3(D) 1/68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。
设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N(D)(2)π9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 . (A) 51 (B) 50(C) 49(D) 4810.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。
设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为则这种电器的平均寿命为 小时.(A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 100000011.设随机变量X 具有概率密度0.0010.001, 0()0,t e t f t -⎧>=⎨⎩其它,01,()0,其它.x k x f x +≤≤⎧=⎨⎩则常数k = .(A) 1/4 (B) 1/3(C) 1/2(D) 112.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= .(A) 14 (B) 34(C) 18(D) 3813.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 .(A) 336 (B) 436(C) 536(D) 63614.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的最大点数(max{,}U X Y =)为6的概率为 .(A) 736 (B) 936(C) 1136(D) 133615.根据世界卫生组织的数据，全球新生婴儿的平均身长为50厘米，身长的标准差估计为2.5厘米。
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1．设事件A, B仅发生一个的概率为0.3，且P( A)P(B)0.5 ，则 A, B 至少有一个不发生的概率为 __________.答案： 0.3解：P( AB AB)0.3即0.3 P( AB ) P( AB) P(A) P( AB) P(B) P( AB) 0.52P( AB)所以P( AB) 0.1P( A B) P( AB) 1 P(AB) 0.9.2．设随机变量X服从泊松分布，且P ( X1)4P(X2) ，则P(X3)______.答案：1 e16解答：2P( X1)P( X0)P( X1)e e,P( X2)e2 2e 2由 P(X 1)4P( X 2) 知e e即 2 2 1 0解得1，故1 e1P(X3)63．设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 2在区间(0,4)内的概率密度为 f Y ( y)_________.答案：11,0 y4,f Y ( y)F Y ( y)f X ( y ) 4 yy20, 其它.解答：设 Y 的分布函数为F Y( y),X 的分布函数为F X ( x) ，密度为 f X ( x) 则F Y ( y)P( Y y)2X y)P(y X)y X F()y F()yP(X因为 X ~U (0,2) ，所以F X(y )0 ，即 F Y ( y)F X (y )故11,0 y 4,f Y ( y) F Y ( y) 4 yf X ( y )2y0,其它 .另解在 (0, 2) 上函数 y x2严格单调，反函数为h( y)y所以11,0 y 4,f Y ( y) f X ( y) 4 y2y,其它 .4．设随机变量X ,Y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，P( X 1) e 2，则_________ ，P{min( X ,Y)1} =_________.答案： 2 ，P{min( X ,Y)1} 1 e-4解答：P( X 1) 1 P( X 1) e e 2，故2P{min( X ,Y ) 1} 1P{min( X ,Y )1}1P( X1)P(Y1)1e 4.5．设总体X的概率密度为f ( x)(1) x , 0x1,0,其它1.X1 , X 2 , , X n是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为 _________.答案：111 nln x in i1解答：似然函数为n1)n ( x1 , , x n )L( x1 , , x n ; )(1)x i (i1nln L n ln(1)ln x ii 1d ln L n nln x i 0d1i 1解似然方程得的极大似然估计为11.1nln x in i 1二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1．设A, B,C为三个事件，且A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ A）若P(C)1，则AC与BC也独立.（ B）若P(C)1，则A C与 B也独立.（ C）若P(C)0，则A C与 B也独立.（D）若C B，则 A与C也独立.（）答案：（ D） .解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（ A ），（ B），（C）都是正确的，只能选（D） .事实上由图S可见A与C不独立.A BC2．设随机变量X ~ N (0,1),X 的分布函数为( x) ，则 P(| X |2)的值为（ A）2[1(2)] .（B）2(2) 1 .（C）2(2) .（D）1 2 (2).（）答案：（ A ）解答： X ~ N (0,1)所以P(|X|2) 1P(|X| 2) 1P( 2 X2) 1( 2 )( 2 )1[ 2( 2 )1] 2 [ 1应选（ A） .3．设随机变量X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是（A）X与Y独立 .（B）D(XY) DX DY .（C）D(XY) DX DY .（D）D(XY )DXDY .（）答案：（ B）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（ x， y） 0D ( X Y ) DX DY +2cov（ x， y）应选（ B）.4．设离散型随机变量X 和 Y 的联合概率分布为( X ,Y ) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1) (2, 2) (2,3)1111P91836若 X ,Y 独立，则,的值为（ A ） 2 ,1.（ A ）99（ C）1,1（ D ）661 ,2.995 ,1.（）1818答案：（ A ）解答： 若 X ,Y 独立则有1 2 3P( X2,Y 2) P(X2)P(Y 2)11 1 119183(1)(1)2 ( 1)6 11 393 9232131 1 1，992918故应选（ A ）.5．设总体X 的数学期望为, X 1 , X 2 ,, X n 为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ A ）X 1是的无偏估计量.（B ） X 1 是的极大似然估计量.（ C ）X 1是的相合（一致）估计量.（D ） X 1 不是的估计量 . （）答案：（ A ）解答：EX 1，所以 X 1 是的无偏估计，应选（A ） .三、（ 7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02， 求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解： 设 A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则（ 1）P( A)P( B)P(A | B)P( B)P( A | B)0.90.95 0.1 0.02 0.857.（2）P(B | A)P( AB) 0.9 0.950.9977 .P( A)0.857四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数，求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解： X 的概率分布为P( X k )C 3k( 2) k( 3)3 kk 0,1,2,3.55X0 1 2 3 即P2754368125125125125X 的分布函数为0 , x 0,27 , 0 x 1,125F ( x)81 1 x2,,125117 , 2x 3,1251 ,x 3.EX3 2 6 ,5 5DX 32 3 1 85 5.2 5五、（ 10 分）设二维随机变量(X ,Y) 在区域 D {( x, y) | x 0, y0, x y 1} 上服从均匀分布 . 求（ 1）( X ,Y)关于X 的边缘概率密度； （ 2）Z X Y 的分布函数与概率密度 .解： y （1） ( X ,Y ) 的概率密度为12, ( x, y) Df ( x, y)x+y=10, 其它 .DD 1xf X ( x)2 2x, 0 x 1 z1f ( x, y)dy0 ,其它x+y=z（ 2）利用公式f Z (z) f (x, zx)dx2, 0 x 1,0 z x 1 x 2, 0 x 1, x z1.其中 f (x, z x)其它0, 其它.0,当 z0 或 z 1时f Z (z) 0zzz=x0 z 1时 f Z ( z) 2z2z0 dx 2x 0故 Z 的概率密度为2z, 0 z1,f Z ( z)0, 其它.Z 的分布函数为0,z00 ,z0,z zf Z ( y)dy z 1z2 ,0z 1,f Z (z)2ydy, 01 ,z 1.1,z1或利用分布函数法0,z0 ,F Z ( z) P( Z z) P( X Y )z 2 d x d, y 0z1 ,D11,z 1.0,z0,z2,0z 1,1,z 1.f Z ( z)F Z2z,0z1, (z),其它.六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标 Y相互独立，且均服从 N (0, 22 ) 分布.求（1）命中环形区域 D {( x, y) |1x2y22} 的概率；（ 2）命中点到目标中心距离Z X 2Y 2的数学期望 .解： y（1）P{ X,Y)D} f (x, y) dxdyD1x2 y212r 2e dxdy28e 8 rdrdD2481012xr 22r 2211 2r ) e 8 e 8 e 2；e 8 d (181x2y2（2）EZ E(X 2Y 2 )x2y 2 1 e8 dxdy812r 21r 2re 8 rdrd e8 r 2dr8040r 2r 22 1 r 2re8e 8dre 8dr 2 .22七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）X ~ N ( , 2) ，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值x 10 ，样本方差s 20.16 . （1）求 的置信度为 0.95 的置信区间；（ 2）检验假设H 0:20.1（显著性水平为 0.05） .（附注） t 0.05 (16) 1.746, t 0.05 (15) 1.753, t 0.025 (15)2.132,2 (16) 26.296,2 (15) 24.996,2 (15) 27.488.0.050.050.025解：（ 1）的置信度为 1下的置信区间为( X t /2 (n 1) s , X t /2 ( n 1) s)nnX 10, s0.4, n 16,0.05, t 0.025 (15) 2.132所以的置信度为0.95 的置信区间为（9.7868， 10.2132）（2）H 0 :20.1的拒绝域为22(n 1) .215S 2 15 1.6 24 ， 02.05 (15)24.9962 0.102.05 (15) ，所以接受H 0.因为24 24.996《概率论与数理统计》期末考试试题（A ）专业、班级：XX ：学号：一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B题号一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二总成绩得 分一、单项选择题 (每题 3 分共 18 分)（1）若事件 A、B 适合 P( AB) 0, 则以下说法正确的是().(A) A 与 B 互斥 (互不相容 );(B) P(A) 0 或 P( B) 0;(C) A 与 B 同时出现是不可能事件 ;(D) P(A) 0, 则 P(B A)0.（ 2）设随机变量X其概率分布为X -1012P0.20.30.10.4则P{X 1.5} （）。
